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线性规划及数列错位相减法求和复习与小结2012.11.20-21_图文

线性规划及错位相减法数列求和 复习与小结

一、知识结构梳理
不等关系

不等式(组)

一元二次不等式

二元二次不等式

基本不等式

几 何 意 义

解 法

应 用

几 何 意 义

应 用

证 明

应 用

3.3.1 二元一次不等 式(组)与平面区域
沪教院福田实验学校 高二

结论: 1.二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标 系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面 区域.(虚线表示区域不包括边界直线)

2.直线定界,特殊点定域。
由于对直线同一侧的所有点(x,y),把它代入 Ax+By+C,所得实数的符号都相同,所以只需 在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ,从 Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示 哪一侧的区域。

同侧同号,异侧异号
一般在C≠0时,取原点作为特殊点。

三、例题示范:
例2、用平面区域表示不等式组 y < -3x+12 的解集。 x<2y
y

0 x-2y=0

x 3x+y-12=0

?x ? y ? 5 ? 0 例2、画出不等式组 ? 表示的平面区域 ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ?
(2)求区域围成的面积

?x ? y ? 5 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ?
x+y=0 y
5

x-y+5=0

O

3

x

x=3

例3:根据所给图形,把图中的平面区域 y 用不等式表示出来:
(1)

1

y ? x ?1
x

?1

O

(2)

y

2x ? 3 y ? 6 ? 0

2

O

3

x

(3)

y

2 x ? 5 y ? 10 ? 0

2

O

3

x

(4)

y

2

4 x ? 3 y ? 12 ? 0
3

O

x

?4

(5)

x ? 2y ? 4 ? 0
2

y

y ? 2x

O
?2 ?4

3

x

y ? ?2

y

(6)
3
2

x?3

1 y? x 2
2 y? x 3

O
?2 ?4

2 3

x

x ? y ?3 ? 0

变式、
由直线x+y+2=0,x+2y+1=0,2x+y+1=0 和围成的三角形区域(包括边界)用不等 式可表示为 。

4.若点(1,3)和(-4,-2)在直线2x+y+m=0的两侧,则m 的取值范围是 A.m<-5或m>10 B.m=-5或m=10 (C )

C.-5<m<10
解析

D.-5≤m≤10

由题意可得(2×1+3+m)[2×(-4)-2+m]<0,

即(m+5)(m-10)<0,∴-5<m<10.

二、线性规划复习

问题:设z=2x+y,式中变量满足下列条件:

?x ? 4 y ? ?3 ? ?3x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?
求z的最大值与最小值。

线性规划

目标函数 (线性目标函数)

问题:设z=2x+y,式中变量满足下列条件:

?x ? 4 y ? ?3 ? ?3x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?
求z的最大值与最小值。

线性约 束条件

线性规划
线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.
可行解 :满足线性约束条 件的解(x,y)叫可行解;

可行域 :由所有可行解组 成的集合叫做可行域;
最优解 :使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
可行域

解线性规划问题的步骤:
1、找 找出线性约束条件、目标函数; (1)2、画: 画出线性约束条件所表示的可行域; (2)3、移: 在线性目标函数所表示的一组平行线中, 利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线; (3)4、求:通过解方程组求出最优解; (4)5、答:作出答案。
19

例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生产 这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式, 并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料 各多少车皮,能够产生最大的利润? 解:设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数,于是满足以下条件: y
?4 x+y ? 10 ?18x+ 15y ? 66 ? , x, y ? N ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

x

o

解:设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮,能够产 生利润Z万元。目标函数为Z=x+0.5y,可行域如图: 把Z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,它表示斜率为 -2,在y轴上的截距为2z的一组直线系。
由图可以看出,当直线经过可行域上的点M时, 截距2z最大,即z最大。 容易求得M点的坐标为 (2,2),则Zmax=3
y

故生产甲种、乙种肥料各 2车皮,能够产生最大利润, 最大利润为3万元。

M x

o

例7 在上一节例4(P85)中,若生产1车皮甲种肥料,产生的 利润为10000元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为5000元, 那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大利润? 解:设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮,能够产生利润 Z万元。 y
12

目标函数为:z ? x ? 0.5 y
可行域如图。

10

8

把z=x+0.5y变形为 y ? ?2 x ? 2 z 得到斜率为-2,在y轴上的截距为2z, 随z变化的一族平行直线。 由图可以看出,当直线y=-2x+2z经过 可行域上的点M时,截距2z最大,即 Z最大。
-5

6

4

2

M
5

0
-2

4x+y=10 18x+15y=66

x

10

12

解方程组

y
10 8

?18x ? 15y ? 66 ? ?4 x ? y ? 10
得M的坐标为(2,2)

6

4

所以

2

M
5

zmax ? x ? 0.5 y ? 2 ? 0.5 ? 2 ? 3

-5

0
-2

4x+y=10 18x+15y=66

x

10

答:生产甲种、乙种肥料各2车皮,能够 产生最大利润,最大利润为3万元。

练习:P91 T2

二、练习
1、求z=2x+y的最大值,使x、y满足约束条件:

?y ? x ? ? x+y ? 1 ?y ?- 1 ?
2、求z=3x+5y的最小值,使x、y满足约束条件:
?5 x+3 y ? 1 5 ? 1 ? y ? x+ ? x-5 y ? 3 ?

1.解:作出平面区域
y

A
o x C

?y ? x ? ? x+y ? 1 ?y ?- 1 ?
z=2x+y

B

作出直线y=-2x+z的图像,可知 z要求最大值,即直线经过C点时。
求得C点坐标为(2,-1),则 Zmax=2x+y=3

2.解:作出平面区域
y A

?5 x+3 y ? 1 5 ? 1 ? y ? x+ ? x-5 y ? 3 ?
x

B

o

C

z=3x+5y

作出直线3x+5y =z 的 求得A(1.5,2.5), 图像,可知直线经过A点时,B(-2,-1),则 Z取最大值;直线经过B点 Zmax=17, 时,Z取最小值。 Zmin=-11。

实战.在如图所示的坐标平面的可行

域(阴影部分且包括边界)内,目标 函数z=2x-ay取得最大值的最优解有 无数个,求实数a的值

一、已知线性约束条件,探求线 性目标关系最值问题
?2 x ? y ? 2 ? 例题1:设变量x、y满足约束条件? x ? y ? ?1; ? x ? y ?1 ? 求z ? 2 x ? 3 y的最大值和最小值。
解析:如图1,画出可行域,得在直线2x-y=2 与直线x-y=-1的交点A(3,4)处,目标函数z最大值为18

?2 x ? y ? 2 ? 例题1:设变量x、y满足约束条件? x ? y ? ?1; ? x ? y ?1 ? 求z ? 2 x ? 3 y的最大值和最小值。

图1书、

二、已知线性约束条件,探求非 线性目标关系最值问题
【例1】.变量x、y满足条件

设z=


y x

?x ? 4y ? 3 ? 0, ? ?3x ? 5 y ? 25 ? 0, ?x ? 0 ?

,求z的最小值和最大值。
y



解析:作出可行域,如图.当把z看作常数时,它表示直线y=zx的斜率, 因此,当直线y=zx过点A时,z最大;当直线y=zx过点B时,z最小.
3x y =0 +5 -25

2 5

5

A y B x-4 +3=0
9

22 5

-3 O 1 2 3 4 5 6 7 8

x

二、已知线性约束条件,探求非 线性目标关系最值问题


? x ? 1, 例2、已知? ? x ? y ? 1 ? 0, ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?


x2 ? y 2

的最小值是

.

解析:如图2,只要画出满足约束条件的可行域,而
x ?y 表示可行域内一点到原点的距离的平方。 。 由图易知A(1,2)是满足条件的最优解。最小值是为5。
2 2

x ?y
2

2
图2

点评:本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘 目标关系几何意义的前提下,作出可行域,寻求最优解。

二、已知线性约束条件,探求非 线性目标关系最值问题
【例3】实系数方程f(x)=x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内, 另一个根在(1,2)内,求:
(1)

b



的值域; (2)(a-1)2+(b-2)2的值域; (3)a+b-3的值域.
解:由题意知

b?2 a ?1

A C b=0 B O a a+b=-1 a+b=-2



f(0)>0
f(1)<0 f(2)>0 b>0, a+b+1<0, a+b+2>0. 如图所示. A(-3,1)、B(-2,0)、C(-1,0).

1 ,1);(2)(8,17);(3)(-5,-4). 4

又由所要求的量的几何意义知,值域分别为(1)(

三、约束条件设计参数形式,考 查目标函数最值范围问题。
例3、在约束条件
?x ? 0 ?y ? 0 ? ? ?y ? x ? s ? y ? 2x ? 4 ?
下,当

时,目标函数

3? s ?5

z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是(
解析:画出可行域如图3所示,当
在点



时, 目标函数

时, 目标函数

E (0, 4)
处取得最大值,即 ,故

3? s ? 4

z ? 3x ? 2 y
处取得最大值, 即

B(4 ? s, 2s ? 4)

zmax ? 3 ? 0 ? 2 ? 4 ? 8


zmax ? 3(4 ? s) ? 2(2s ? 4) ? s ? 4 ?[7,8)

z ? [7,8]

4?s?5

z ? 3x ? 2 y

,从而选D; 点评:本题设计有新意,作出可行域,寻求最优解条件,然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。

四、已知平面区域,逆向考查约束条件。
画出以A(3,-1)、B(-1,1)、C(1,3) 为顶点的△ABC的区域(包括各边),写出该区域所表示 的二元一次不等式组,并求以该区域为可行域的目标函数z=3x-2y的最大值和最小值. 分析:本例含三个问题:①画指定区域;②写所画区域的代数表达式——不等式组; ③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值. 解:如图,连结点A、B、C,则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC区域. 直线AB的方程为x+2y-1=0,BC及CA的直线方程分别为 x-y+2=0,2x+y-5=0.在△ABC内取一点P(1,1), 分别代入x+2y-1,x-y+2,2x+y-5得 x+2y-1>0,x-y+2>0,2x+y-5<0. 因此所求区域的不等式组为

y C P (1,1) 3 1 A

B2 -2 O

x+2y-1≥0, x-y+2≥0, 2x+y-5≤0.
下的最大值为11,最小值为-5.

x

五、已知最优解成立条件,探求 目标函数参数范围问题。
?x ? y ? 5 例1、已知x、y满足以下约束条件 ? ?x ? y ? 5 ? 0 ?x ? 3 ?
,使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,求a的值。
x+y=5 y x–y+5=0

解:如图,作出可行域,作直线l:x+ay=0, 要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解 有无数个,则将l向右上方平移后与直线x+y=5 重合,故a=1,选D

O

x=3

x

五、已知最优解成立条件,探求 目标函数参数范围问题。
2 4 A(1,0), B (0,1), C ( , ), 例2.如图所示, 3 5

目标函数t=ax-y的可行域为OACB四边形,若当且仅当 2 4 x ? , y ? 时,目标函数取得最小值,求实数的取值范围. 3 5

五、已知最优解成立条件,探求 目标函数参数范围问题。
例3已知变量

x



y

满足约束条件

。若目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅在点

?1 ? x ? y ? 4 ? ??2 ? x ? y ? 2

(3,1)

处取得最大值,则

a

的取值范围为



解析:如图5作出可行域,由

z ? ax ? y ? y ? ?ax ? z

?a

其表示为斜率为

z ? ax ? y

,纵截距为z的平行直线系, 要使目标函数

(其中 a ? 0 )仅在点 (3,1) 处取得最大值。则直线 y ? ?ax ? z 过A点且在直线 x ? y ? 4, x ? 3 (不含界线)之间。即 则

a

?a ? ?1 ? a ? 1. 的取值范围为 (1, ??)

六、设计线性规划,探求平面区 域的面积问题
例1在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 0 ? 表示的平面区域的面积是( )
?x ? y ? 2 ? 0 ? 解析:如图6,作出可行域,易知不等式组x ? y ? 2 ? 0 ? ?y ? 0 ?
表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为 A(0,2),B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为:

1 1 S ? | BC | ? | AO |? ? 4 ? 2 ? 4. 2 2
从而选B。

七、研究线性规划中的整点 最优解问题
【例1】不等式组

? x ? 0, 表示的平面区域内的整点 ? (横坐标和纵坐标都是整数的点) ? y ? 0, ?4 x ? 3 y ? 12 共有_________个. ?

y

解析:(1,1),(1,2),(2,1),共3个.答案:3 例2、满足|x|+|y|≤2的点(x,y)中整点(横纵坐标都是整数)有(
?x ? y ? 2 ?x ? y ? 2 ? ? 解:|x|+|y|≤2等价于 ?? x ? y ? 2 ?? x ? y ? 2 ? ( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0)

O

x

作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界),容易得到整点个数为13个,选D

七、研究线性规划中的整点 最优解问题
例3、某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y须满足约束条件

?5 x ? 11y ? ?22, ? ?2 x ? 3 y ? 9, ?2 x ? 11. ?
解析:如图7,作出可行域,由

通过

z z ? 10 x ? 10 y ? y ? ? x ? 10
取得最大值。因为

它表示为斜率为-1

的平行直线系,要使 最得最大值。当直线

z 10 ,纵截距为

11 9 A( , ) 2 2

x, y ? N

,故A点不是最优整数解。于是考虑可行域内A点附近整点B(5,4),C(4,4),经检验直线经过B点时,

Z max ? 90.

数列求和题型三、错位相减法
例3、数列 an }中a1 ? 3,已知点(an , an ?1)在 { 直线y ? x ? 2上, ( )求数列 an }的通项公式; 1 { (2)若bn ? an ? 3 , 求数列 bn }的前n项的和Tn . {
n

1 2 n 变式、求和: S n ? ? 2 ? ? ? n a a a

1.一般地,如果数列{an}是等差 数列,{bn}是等比数列,求数列{an·n}的前 b n 项和时,可采用错位相减法. 2.用乘公比错位相减法求和时,应注意 (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列 公比为负数的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特 别注意将两式“错项对齐”以便下一步准 确写出“Sn-qSn”的表达式.

1 2 n 变式、求和: S n ? ? 2 ? ? ? n a a a
【解析】 (1)a=1 时,Sn=1+2+?+n= n(n+1) ; 2 1 2 3 n (2)a≠1 时,Sn= + 2+ 3+?+ n① a a a a n-1 1 1 2 n Sn= 2+ 3+?+ an + n+1② a a a a 由①-②得

1 1 1 1 1 n (1-a)Sn=a+ 2+ 3+?+an- n+1 a a a 1 1 (1-an) a n = - n+1, 1 a 1-a n a(a -1)-n(a-1) ∴Sn= . n 2 a (a-1) 综 上 所 述 , Sn
?n(n+1) ? ? 2 ? n ?a(a -1)-n(a-1) n 2 ? a (a-1) ?



(a=1) . (a≠1)

利用错位相减法求和时,转化为等比 数列求和.若公比是个参数(字母), 则应先对参数加以讨论,一般情况下 分等于1和不等于1两种情况分别求和.


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