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2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)-理科数学


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广 东卷) 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在 答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘 贴处”。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改 动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:台体的体积公式 V= (S1+ 1 2 +S2)h,其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.(2013 广东,理 1)设集合 M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则 M∪N=( A.{0} C.{-2,0} 答案:D B.{0,2} D.{-2,0,2} ). ).
1 3

2.(2013 广东,理 2)定义域为 R 的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x 中,奇函数的个数是( A.4 B.3 C.2 D.1 答案:C 3.(2013 广东,理 3)若复数 z 满足 iz=2+4i,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( A.(2,4) 答案:C B.(2,-4) C.(4,-2) D.(4,2) ).

4.(2013 广东,理 4)已知离散型随机变量 X 的分布列为 X P 则 X 的数学期望 E(X)=( A.
3 2

1 3 5

2 3 10

3 1 10

). B.2 C.
5 2

D.3 ).

答案:A 5.(2013 广东,理 5)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是(

1

A.4 答案:B

B.

14 3

C.

16 3

D.6

6.(2013 广东,理 6)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面.下列命题中正确的是( A.若 α⊥β,m?α,n?β,则 m⊥n B.若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n C.若 m⊥n,m?α,n?β,则 α⊥β D.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥β 答案:D
x2 y2 A. ? =1 4 5 x2 y2 C. ? =1 2 5 x2 y2 B. ? =1 4 5 x2 y2 D. ? =1 2 5

).

7.(2013 广东,理 7)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于 ,则 C 的方程是(

3 2

).

答案:B 8.(2013 广东,理 8)设整数 n≥4,集合 X={1,2,3,…,n},令集合 S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,则下列选项正确的是( ). A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S 答案:B 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.(2013 广东,理 9)不等式 x2+x-2<0 的解集为 . . .

答案:{x|-2<x<1} 10.(2013 广东,理 10)若曲线 y=kx+ln x 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k= 答案:-1 11.(2013 广东,理 11)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 4,则输出 s 的值为

答案:7 12.(2013 广东,理 12)在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7= . 答案:20 x + 4y ≥ 4, 13.(2013 广东,理 13)给定区域 D: x + y ≤ 4, 令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是 z=x+y 在 D 上取得最大值 x ≥ 0. 或最小值的点},则 T 中的点共确定 条不同的直线. 答案:6 (二)选择题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

2

x = 2t, (t 为参数),C 在点(1,1) y = 2t 处的切线为 l,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为 . 14.(2013 广东,理 14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的参数方程为
4

答案:ρsin θ +

= 2

15.(2013 广东,理 15)(几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上.延长 BC 到 D 使 BC=CD, 过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB=6,ED=2,则 BC= . 答案:2 3 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(2013 广东,理 16)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= 2cos x(1)求 f
6 6 12

,x∈R.

的值;
3 5 3 ,2 2

(2)若 cosθ= ,θ∈ 解:(1)f = 2cos (2)f
4 2θ + 3

,求 f 2 θ +

= 2cos =
4

- 6 12 2cos =1. 4

3

.

= 2cos 2θ + -

3 12 4 5

= 2cos 2θ + 因为

=cos 2θ-sin 2θ. ,所以 sinθ=- .
24 25 7 25

3 3 cosθ= ,θ∈ ,2 5 2 3

所以 sin 2θ=2sinθcosθ=- ,cos 2θ=cos2θ-sin2θ=- . 所以 f 2θ +
7 =25

=cos 2θ-sin 2θ
17 . 25

?

24 25

=

17.(2013 广东,理 17)(本小题满分 12 分)某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶 图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (1)根据茎叶图计算样本均值; (2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人? (3)从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率. 解:(1)样本均值为
132 =22. 6 2 1 (2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为 = ,故推断该车间 6 3 17+19+20+21+25+30 6

=

12 名工人中有 12× =4 名优秀工人.
1 1 4 8

1 3

(3)设事件 A:从该车间 12 名工人中,任取 2 人,恰有 1 名优秀工人,则 P(A)=

2 12

=

16 . 33

18.(2013 广东,理 18)(本小题满分 14 分)如图(1),在等腰直角三角形 ABC 中,∠A=90° ,BC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,CD=BE= 2,O 为 BC 的中点.将△ADE 沿 DE 折起,得到如图(2)所示的四棱锥 A' BCDE,其中 A'O= 3.

图(1)

图(2)

3

(1)证明:A'O⊥平面 BCDE; (2)求二面角 A' CD B 的平面角的余弦值. 解:(1)由题意,得 OC=3,AC=3 2,AD=2 2.

如图,连结 OD,OE,在△OCD 中, 由余弦定理可得 OD= O 2 + C2 -2OC·CD45° = 5. 由翻折不变性可知 A'D=2 2, 所以 A'O2+OD2=A'D2,所以 A'O⊥OD. 同理可证 A'O⊥OE,又 OD∩OE=O, 所以 A'O⊥平面 BCDE. 向量法:(2)以 O 点为原点,建立空间直角坐标系 O-xyz 如图所示.

则 A'(0,0, 3),C(0,-3,0),D(1,-2,0), 所以CA'=(0,3, 3),DA'=(-1,2, 3). 设 n=(x,y,z)为平面 A'CD 的法向量, n·' = 0, 则 n·' = 0, 3y + 3z = 0, y = -x, 即 解得 -x + 2y + 3z = 0, z = 3x. 令 x=1,得 n=(1,-1, 3). 由(1)知,OA'=(0,0, 3)为平面 CDB 的一个法向量, 所以 cos<n,OA'>=
n·' |n|| '| 3 5· 3 15 , 5 15 . 5

=

=

即二面角 A'-CD-B 的平面角的余弦值为 (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 解:(1)依题意,2S1=a2- -1- , 又 S1=a1=1,所以 a2=4.
1 3 1 3 2 3

19.(2013 广东,理 19)(本小题满分 14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=1,

2Sn 1 2 =an+1- n2-n- ,n∈N*. n 3 3

(3)证明:对一切正整数 n,有 + +…+

1 a1

1 a2

1 an

< .

7 4

(2)当 n≥2 时,2Sn=nan+1- n3-n2- n, 2Sn-1=(n-1)an- (n-1)3-(n-1)2- (n-1), 两式相减得 2an=nan+1-(n-1)an- (3n2-3n+1)-(2n-1)- , 整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1), 即
an+1 n+1 1 3 2 3 2 3

1 3

2 3

?

故数列

a 所以 n =1+(n-1)× 1=n.所以 an=n2. n 1 7 (3)当 n=1 时, =1< ; a1 4

a 1 an a 是首项为 1 =1,公差为 n 1

an a =1.又 2 n 2

? 1 =1,

1 的等差数列,

4

1 1 1 5 7 =1+ = < ; a1 a2 4 4 4 1 1 1 1 1 当 n≥3 时, = 2 < = ? , an n n (n-1)n n-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 此时 + +…+ =1+ + 2 + 2 +…+ 2 <1+ + a1 a2 an 4 n 4 2 3 3 4 1 1 1 7 1 7 =1+ + ? = ? < . 4 2 n 4 n 4 1 1 1 7 综上,对一切正整数 n,有 + +…+ < . a1 a2 an 4

当 n=2 时, +

+

1 1 3 4

+…+

1 1 n-1 n

20.(2013 广东,理 20)(本小题满分 14 分)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c>0)到直线 l:x-y-2=0 的 距离为
3 2 .设 2

P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点.

(1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|· |BF|的最小值. 解:(1)抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)抛物线 C 的方程为 x2=4y,即 y= x2,求导得 y'= x,
x2 x2 1 ,y2 = 2 4 4 1 1 则切线 PA,PB 的斜率分别为 x1, x2, 2 2 x 所以切线 PA 的方程为 y-y1= 1 (x-x1), 2 x2 x 即 y= 1 x- 1 +y1,即 x1x-2y-2y1=0, 2 2 1 4 1 2

设 A(x1,y1),B(x2,y2) 其中y1 =

,

同理可得切线 PB 的方程为 x2x-2y-2y2=0, 因为切线 PA,PB 均过点 P(x0,y0), 所以 x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0. 所以(x1,y1),(x2,y2)为方程 x0x-2y0-2y=0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0x-2y-2y0=0. (3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1. x x-2y-2y0 = 0, 联立方程 0 2 x = 4y,
2 2 消去 x 整理得 y2+(2y0-x0 )y+y0 =0. 2 2 由一元二次方程根与系数的关系可得 y1+y2=x0 -2y0,y1y2=y0 , 2 2 所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y0 + x0 -2y0+1.

又点 P(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0=y0+2.
2 2 2 所以y0 + x0 -2y0+1=2y0 +2y0+5

=2 y0 + 所以当

21.(2013 广东,理 21)(本小题满分 14 分)设函数 f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R). (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 k∈
1 ,1 2

1 2 9 + . 2 2 1 9 y0=- 时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为 . 2 2

时,求函数 f(x)在[0,k]上的最大值 M.

解:(1)当 k=1 时, f(x)=(x-1)ex-x2,f'(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2x=x(ex-2), 令 f'(x)=0,得 x1=0,x2=ln 2, 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化如下表: x (-∞,0) f'(x) + f(x) ↗

0 0 极大值

(0,ln2) ↘

ln2 0 极小值

(ln2,+∞) + ↗

由表可知,函数 f(x)的递减区间为(0,ln 2),递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞). (2)f'(x)=ex+(x-1)ex-2kx=xex-2kx=x(ex-2k), 令 f'(x)=0,得 x1=0,x2=ln(2k), 5

令 g(k)=ln(2k)-k,k∈ 则 g'(k)= -1= 所以 g(k)在
1 k

1 ,1 2

,

所以 g(k)≤ln 2-1=ln 2-lne<0.

1-k ≥0, k 1 ,1 上单调递增. 2

从而 ln(2k)<k,所以 ln(2k)∈(0,k). 所以当 x∈(0,ln(2k))时,f'(x)<0; 当 x∈(ln(2k),+∞)时,f'(x)>0; 所以 M=max{f(0),f(k)} =max{-1,(k-1)ek-k3}. 令 h(k)=(k-1)ek-k3+1, 则 h'(k)=k(ek-3k), 令 φ(k)=ek-3k,则 φ'(k)=ek-3≤e-3<0. 所以 φ(k)在 而φ
1 2 1 ,1 2

上单调递减, 3 2

·φ(1)=

(e-3)<0,
1 ,x 2 0

所以存在 x0∈ 所以 φ(k)在 因为 所以

1 ,1 2

使得 φ(x0)=0,且当 k∈

时,φ(k)>0,

当 k∈(x0,1)时,φ(k)<0,

1 ,x 上单调递增,在(x0,1)上单调递减. 2 0 1 1 7 h =- + >0,h(1)=0, 2 2 8 1 h(k)≥0 在 ,1 上恒成立,当且仅当 k=1 时取得“=”. 2

综上,函数 f(x)在[0,k]上的最大值 M=(k-1)ek-k3.

6


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