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河北省石家庄一中2015-2016学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)

2015-2016 学年河北省石家庄一中高二(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.下列推断错误的是( )

A.命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1 则 x2﹣3x+2≠0” B.命题 p:存在 x0∈R,使得 x02+x0+1<0,则非 p:任意 x∈R,都有 x2+x+1≥0 C.若 p 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D.“x<1”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件 2.复数 A.1﹣i (i 为虚数单位)的共轭复数 是( B.1+i C. ) D.
2

3.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽 取的学生人数为( 一年级 女生 男生 A.24 373 377 ) 三年级 y z B.18 C.16 ) D.12

二年级 x 370

4.如图所示的程序框图,若输出的 S 是 30,则①可以为(

A.n≤2?

B.n≤3?

C.n≤4?

D.n≤5? ,则双

5.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线 C 的渐近线方程为 曲线 C 的离心率为( A. ) B. C. D.

-1-

6.若在区间[0,2]中随机地取两个数,则这两个数中较小的数大于 的概率是(



A.

B.

C.

D.

7.已知点 P 是抛物线 y2=﹣8x 上一点,设 P 到此抛物线准线的距离是 d1,到直线 x+y﹣10=0 的距离是 d2,则 dl+d2 的最小值是( A. B.2 ) C.6 D.3

8.经统计,用于数学学习的时间(单位:小时)与成绩(单位:分)近似于线性相关关系, 对每小组学生每周用于数学的学习时间 x 与数学成绩 y 进行数据收集如下: x y 15 102 16 98 18 19 22 115 115 120 )

由表中样本数据求得回归方程为 =bx+a, 则点 (a, b) 与直线 x+18y=100 的位置关系是 (

A.点在直线左侧

B.点在直线右侧

C.点在直线上

D.无法确定 )

9.已知定点 B,且|AB|=4,动点 P 满足|PA|﹣|PB|=3,则|PA|的最小值是(

A.

B. ,

C.

D.5

10.已知函数 y=f(x)对任意的 x∈(﹣

)满足 f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中 ) ) C.f(0)>2f

f′(x)是函数 f(x)的导函数),则下列不等式成立的是( A. ( ) f(﹣ )<f(﹣ ) f( B. ) f(

)<f(

D.f(0)>

11.已知 P 是双曲线

上一点,F1、F2 是左右焦点,△P F1F2 的三边长成 ) D.

等差数列,且∠F1 P F2=120°,则双曲线的离心率等于( A. B. C.

12.已知函数 f(x)= 取值范围是(

,则方程 f(x)=ax 恰有两个不同实数根时,实数 a 的

)(注:e 为自然对数的底数)
-2-

A.(0, )

B.[ , ]

C.(0, )

D.[ ,e]

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为入肺颗粒物.如图是据北京某 日早 7 点至晚 8 点甲、乙两个 PM2.5 监测点统计的数据列出的茎叶图(单位:毫克/每立方米), 则甲、乙两地浓度的中位数较低的是 .

14.已知 f(x)=tanx,则

等于



15.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩 上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图中的实心点 个数 1,5,12,22,?,被称为五角形数,其中第 1 个五角形数记作 a1=1,第 2 个五角形数 记作 a2=5,第 3 个五角形数记作 a3=12,第 4 个五角形数记作 a4=22,?,若按此规律继续下 去,得数列{an},则 an﹣an﹣1= (n≥2);对 n∈N ,an=
*



16.已知函数 y=x3+px2+qx,其图象与 x 轴切于非原点的一点,且该函数的极小值是﹣4,那么 切点坐标为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请将解答过程书写在答题纸上,并写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 17.为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单的随机抽样的方法从该地区调 查了 500 位老年人,结果如下: 是否需要志愿者\性别 男 女
-3-

需要 不需要

40 160

30 270

(1)估计该地区的老年中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例: (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者的帮助与性别有关? 另附公式:K2= P(K2≥K) K 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

18.某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生作为样本,将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六组:[40,50),[50,60),[90,100)后得 到如图的频率分布直方图.

(Ⅰ)求图中实数 a 的值; (Ⅱ)若该校高一年级共有学生 500 人,试估计该校高一年级在考试中成绩不低于 60 分的人 数; (Ⅲ)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学 生,试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率. 19.设函数 f(x)=lnx+ ,m∈R. (Ⅰ)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; (Ⅱ)讨论函数 g(x)=f′(x)﹣ 零点的个数. 20.已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,斜率为 y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9, (1)求该抛物线的方程;
-42

的直线交抛物线于 A(x1,y1)和 B(x2,

(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 21.设椭圆

,求 λ 的值.

的两个焦点是 F1(﹣c,0),F2(c,0)(c>0).

(1)设 E 是直线 y=x+2 与椭圆的一个公共点,求使得|EF1|+|EF2|取最小值时椭圆的方程;

(2)已知 N(0,﹣1)设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点 A, B,点 Q 满足 ,且 ,求直线 l 在 y 轴上截距的取值范围.

22.已知函数 f(x)=a(x﹣1)2+lnx+1. (Ⅰ)当 a=﹣ 时,求函数 f(x)的极值;

(Ⅱ)当 x∈[1,+∞)时,函数 y=f(x)图象上的点都在 求数 a 的取值范围.

所表示的平面区域内,

2015-2016 学年河北省石家庄一中高二(上)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.下列推断错误的是( )

A.命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1 则 x2﹣3x+2≠0” B.命题 p:存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则非 p:任意 x∈R,都有 x +x+1≥0 C.若 p 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D.“x<1”是“x2﹣3x+2>0”的充分不必要条件 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 【分析】A,写出命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题,可判断 A; B,写出命题 p:“存在 x0∈R,使得 x02+x0+1<0”的否定¬p,可判断 B; C,利用复合命题的真值表可判断 C; D,x2﹣3x+2>0? x>2 或 x<1,利用充分必要条件的概念可判断 D.
-52 2

【解答】 解: 对于 A, 命题“若 x ﹣3x+2=0, 则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1 则 x ﹣3x+2≠0”, 正确; 对于 B,命题 p:存在 x0∈R,使得 x02+x0+1<0,则非 p:任意 x∈R,都有 x2+x+1≥0,正确;

2

2

对于 C,若 p 且 q 为假命题,则 p,q 至少有一个为假命题,故 C 错误; 对于 D, x ﹣3x+2>0? x>2 或 x<1, 故“x<1”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件, 正确.
2 2

综上所述,错误的选项为:C, 故选:C. 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查全称命题与特称命题的理解与应用,考 查复合命题与充分必要条件的真假判断,属于中档题.

2.复数 A.1﹣i

(i 为虚数单位)的共轭复数 是( B.1+i C.

) D.

【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】计算题. 【分析】化简复数分母为实数,然后求出复数的共轭复数即可得到选项. 【解答】解:因为复数 所以 = 故选 D. 【点评】本题考查复数的代数形式的表示法与运算,复数的基本概念的应用. . = = .

3.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽 取的学生人数为( 一年级 女生 男生 373 377 ) 三年级 y z

二年级 x 370

-6-

A.24

B.18

C.16

D.12

【考点】分层抽样方法. 【分析】根据题意先计算二年级女生的人数,则可算出三年级的学生人数,根据抽取比例再 计算在三年级抽取的学生人数. 【解答】解:依题意我们知道二年级的女生有 380 人,那么三年级的学生的人数应该是 500,

即总体中各个年级的人数比例为 3:3:2,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 . 故选 C. 【点评】本题考查分层抽样知识,属基本题.

4.如图所示的程序框图,若输出的 S 是 30,则①可以为(



A.n≤2? 【考点】程序框图. 【专题】计算题.

B.n≤3?

C.n≤4?

D.n≤5?

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是累加 2 的值到 S 并输出 S. 【解答】解:第一次循环:S=0+2=2,n=1+1=2,继续循环; 第二次循环:S=2+2 =6,n=2+1=3,继续循环; 第三次循环:S=6+2 =14,n=3+1=4,继续循环; 第四次循环:S=14+24=30,n=4+1=5,停止循环,输出 S=30. 故选 C.
3 2 n

-7-

【点评】程序框图题型一般有两种,一种是根据完整的程序框图计算,一种是根据题意补全 程序框图.程序框图一般与函数知识和数列知识相结合,一般结合数列比较多见,特别经过 多年的高考,越来越新颖、成熟.

5.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线 C 的渐近线方程为 曲线 C 的离心率为( A. ) B. C. D.

,则双

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由条件根据渐近线方程,分类讨论,求得双曲线 C 的离心率的值. 【解答】解:当焦点在 x 轴上时,由题意可得 = ,设 a=3k,b= k,∴c= =4k,

∴ = . 当焦点在 y 轴上时,由题意可得 = ∴ = = . , ,设 b=3k,a= k,∴c= =4k,

综上可得,双曲线 C 的离心率为 或 故选:B.

【点评】本题主要考查双曲线的简单性质的应用,属于基础题.

6.若在区间[0,2]中随机地取两个数,则这两个数中较小的数大于 的概率是(



A. 【考点】几何概型. 【专题】概率与统计.

B.

C.

D.

【分析】先根据几何概型的概率公式求出在区间[0,2]中随机地取一个数,这两个数中较小 的数大于 ,利用几何概型求出概率即可.

-8-

【解答】 解: ∵在区间[0, 2]中随机地取一个数, 这两个数中较小的数大于 的概率为

= ,

故选:C. 【点评】本题主要考查了几何概型,简单地说,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.属 于基础题.

7.已知点 P 是抛物线 y2=﹣8x 上一点,设 P 到此抛物线准线的距离是 d1,到直线 x+y﹣10=0 的距离是 d2,则 dl+d2 的最小值是( A. B.2 ) C.6 D.3

【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题;综合题. 【分析】根据抛物线的方程,得到焦点为 F(﹣2,0),准线方程是 x=2.然后作 PQ 与垂直 准线,交于点 Q,过作 PM 与直线 x+y﹣10=0 垂直,交于点 M,可得 PQ=d1,PM=d2.连接 PF, 根据抛物线的定义可得 d1+d2=PF+PM,因此当 P、F、M 三点共线且与直线 x+y﹣10=0 垂直时, dl+d2 最小,最后用点到直线的距离公式,可求出这个最小值. 【解答】解:∵抛物线方程是 y =﹣8x, ∴抛物线的焦点为 F(﹣2,0),准线方程是 x=2 P 是抛物线 y =﹣8x 上一点,过 P 点作 PQ 与准线垂直,垂足为 Q, 再过 P 作 PM 与直线 x+y﹣10=0 垂直,垂足为 M 则 PQ=d1,PM=d2 连接 PF,根据抛物线的定义可得 PF=PQ=d1,所以 d1+d2=PF+PM, 可得当 P、F、M 三点共线且与直线 x+y﹣10=0 垂直时,dl+d2 最小.(即图中的 F、P0、M0 位置)
2 2

∴dl+d2 的最小值是焦点 F 到直线 x+y﹣10=0 的距离, 即(dl+d2)min= 故选 C =

-9-

【点评】本题借助于求抛物线上一动点到两条定直线的距离之和的最小值问题,考查了抛物 线的定义与简单几何性质和点到直线距离公式等知识点,属于中档题.

8.经统计,用于数学学习的时间(单位:小时)与成绩(单位:分)近似于线性相关关系, 对每小组学生每周用于数学的学习时间 x 与数学成绩 y 进行数据收集如下: x y 15 102 16 98 18 19 22 115 115 120 )

由表中样本数据求得回归方程为 =bx+a, 则点 (a, b) 与直线 x+18y=100 的位置关系是 (

A.点在直线左侧

B.点在直线右侧

C.点在直线上

D.无法确定

【考点】线性回归方程. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】由样本数据可得, , 利用公式,求出 b,a,根据点(a,b)满足 54.2+18×3.1 >100,即可确定点(a,b)与直线 x+18y=100 的位置关系. 【解答】解:由题意, = (15+16+18+19+22)=18, = (102+98+115+115+120)=110,

=9993,5

=9900,

=1650,

=5324=1620,

∴b=

=3.1,

∴a=110﹣3.1×18=54.2, ∵54.2+18×3.1>100, ∴点(a,b)在直线右侧,
- 10 -

故选:B. 【点评】本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键.

9.已知定点 B,且|AB|=4,动点 P 满足|PA|﹣|PB|=3,则|PA|的最小值是(



A.

B.

C.

D.5

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】由|AB|=4,|PA|﹣|PB|=3 可知动点在双曲线右支上,所以|PA|的最小值为右顶点到 A 的距离. 【解答】解:因为|AB|=4,|PA|﹣|PB|=3, 故满足条件的点在双曲线右支上, 则|PA|的最小值为右顶点到 A 的距离 2+ = . 故选 C. 【点评】本题考查双曲线的基本性质,解题时要注意公式的灵活运用.

10.已知函数 y=f(x)对任意的 x∈(﹣



)满足 f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中 ) ) C.f(0)>2f

f′(x)是函数 f(x)的导函数),则下列不等式成立的是( A. ( ) f(﹣ )<f(﹣ ) f( B. ) f(

)<f(

D.f(0)>

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】导数的综合应用. 【分析】根据条件构造函数 g(x)= 的关系即可得到结论. 【解答】解:构造函数 g(x)= , ,求函数的导数,利用函数的单调性和导数之间

- 11 -

则 g′(x)=

=

(f′(x)cosx+f(x)sinx),

∵对任意的 x∈(﹣



)满足 f′(x)cosx+f(x)sinx>0, , )单调递增,

∴g′(x)>0,即函数 g(x)在 x∈(﹣

则 g(﹣

)<g(﹣

),即





,即

f(﹣

)<f(﹣

),故 A 正确.

g(0)<g(

),即



∴f(0)<2f( 故选:A.

),

【点评】本题主要考查函数单调性的应用,利用条件构造函数是解决本题的关键,综合性较 强,有一点的难度.

11.已知 P 是双曲线

上一点,F1、F2 是左右焦点,△P F1F2 的三边长成 ) D.

等差数列,且∠F1 P F2=120°,则双曲线的离心率等于( A. B. C.

【考点】双曲线的简单性质;等差数列的性质. 【专题】计算题;压轴题;探究型. 【分析】由题意,可根据双曲线的定义及题设中三边长度成等差数列得出方程|PF1|﹣|PF2|=4 与 2|PF1|=|PF2|+2c,由此两方程可解出|PF1|=2c﹣4,|PF2|=2c﹣8,再由∠F1 P F2=120°,由 余弦定理建立关于 c 的方程,解出 c 的值,即可由公式求出离心率的值. 【解答】解:由题,不妨令点 P 在右支上,如图,则有

- 12 -

|PF1|﹣|PF2|=4 ① 2|PF1|=|PF2|+2c ②

由①②解得|PF1|=2c﹣4,|PF2|=2c﹣8 又∠F1 P F2=120°,由余弦定理得 4c =(2c﹣4) +(2c﹣8) +(2c﹣4)×(2c﹣8) 解得,c=7 或 c=2(舍) 又 a=2,故 e= 故选 D
2 2 2

【点评】本题考查双曲线的简单性质及等差数列的性质,解题的关键是熟练掌握基础知识且 能灵活选用基础知识建立方程求参数,本题考查了方程的思想及转化的思想

12.已知函数 f(x)= 取值范围是( A.(0, )

,则方程 f(x)=ax 恰有两个不同实数根时,实数 a 的

)(注:e 为自然对数的底数) B.[ , ] C.(0, ) D.[ ,e]

【考点】分段函数的应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由题意,方程 f(x)=ax 恰有两个不同实数根,等价于 y=f(x)与 y=ax 有 2 个交点, 又 a 表示直线 y=ax 的斜率,求出 a 的取值范围. 【解答】解:∵方程 f(x)=ax 恰有两个不同实数根, ∴y=f(x)与 y=ax 有 2 个交点,
- 13 -

又∵a 表示直线 y=ax 的斜率, ∴y′= , 设切点为(x0,y0),k= ∴切线方程为 y﹣y0= ,

(x﹣x0),

而切线过原点,∴y0=1,x0=e,k= , ∴直线 l1 的斜率为 , 又∵直线 l2 与 y= x+1 平行, ∴直线 l2 的斜率为 , ∴实数 a 的取值范围是[ , ). 故选:B. 【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题,解题时应结合图象,以及函数与方程的 关系,进行解答,是易错题.

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为入肺颗粒物.如图是据北京某 日早 7 点至晚 8 点甲、乙两个 PM2.5 监测点统计的数据列出的茎叶图(单位:毫克/每立方米), 则甲、乙两地浓度的中位数较低的是 乙 .

【考点】茎叶图. 【专题】数形结合;定义法;概率与统计. 【分析】根据中位数的定义和茎叶图中的数据,得出甲、乙两地所测数据的中位数即可.

- 14 -

【解答】解:根据茎叶图中的数据知, 甲地所测数据的中位数是 0.066, 乙地所测数据的中位数是 0.062; 所以较低的是乙. 故答案为:乙. 【点评】本题考查了茎叶图的应用问题,解题时应利用茎叶图中的数据,得出结论,是基础 题.

14.已知 f(x)=tanx,则 【考点】正切函数的图象.

等于



【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】根据 f(x)=tanx,求得 f( 【解答】解:由 f(x)=tanx,可得 故答案为: . )的值. =tan =tan = ,

【点评】本题主要考查求正切函数的值,属于基础题.

15.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩 上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图中的实心点 个数 1,5,12,22,?,被称为五角形数,其中第 1 个五角形数记作 a1=1,第 2 个五角形数 记作 a2=5,第 3 个五角形数记作 a3=12,第 4 个五角形数记作 a4=22,?,若按此规律继续下 去,得数列{an},则 an﹣an﹣1= 3n﹣2 (n≥2);对 n∈N*,an= .

【考点】归纳推理. 【专题】计算题;等差数列与等比数列;推理和证明. 【分析】根据题目所给出的五角形数的前几项,发现该数列的特点是,从第二项起,每一个 数与前一个数的差构成了一个等差数列,由此可得结论. 【解答】解:a2﹣a1=5﹣1=4,
- 15 -

a3﹣a2=12﹣5=7, a4﹣a3=22﹣12=10,?, 由此可知数列{an+1﹣an}构成以 4 为首项,以 3 为公差的等差数列. 所以 an﹣an﹣1=3(n﹣1)+1=3n﹣2(n≥2) 迭加得:an﹣a1=4+7+10+?+3n﹣2, 故 an=1+4+7+10+?+3n﹣2= ,

故答案为:3n﹣2, 【点评】本题考查了等差数列的判断,考查学生分析解决问题的能力,解答此题的关键是能 够由数列的前几项分析出数列的特点,属于中档题.

16.已知函数 y=x +px +qx,其图象与 x 轴切于非原点的一点,且该函数的极小值是﹣4,那么 切点坐标为 (﹣3,0) . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】方程思想;分析法;导数的综合应用. 【分析】设切点(a,0)(a≠0),f(x)=x(x +px+q).由题意得:方程 x +px+q=0 有两 个相等实根 a,故可得 f(x)=x(x﹣a) =x ﹣2ax +a x,再利用 y 极小值=﹣4,可求 a=﹣3,从 而得到切点. 【解答】解:设切点(a,0)(a≠0), f(x)=x(x2+px+q), 由题意得:方程 x +px+q=0 有两个相等实根 a, 故可得 f(x)=x(x﹣a)2=x3﹣2ax2+a2x f′(x)=3x ﹣4ax+a =(x﹣a)(3x﹣a), 令 f′(x)=0,则 x=a 或 , ∵f(a)=0≠﹣4, ∴f( )=﹣4, 于是 ( ﹣a)2=﹣4, ∴a=﹣3,
- 16 2 2 2 2 3 2 2 2 2

3

2

即有切点为(﹣3,0), 故答案为:(﹣3,0). 【点评】本题以函数为载体,考查函数的极值,考查导数的几何意义,属于中档题.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请将解答过程书写在答题纸上,并写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 17.为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单的随机抽样的方法从该地区调 查了 500 位老年人,结果如下: 是否需要志愿者\性别 需要 不需要 男 40 160 女 30 270

(1)估计该地区的老年中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例: (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者的帮助与性别有关? 另附公式:K2= P(K ≥K) K 【考点】独立性检验的应用. 【专题】阅读型. 【分析】(1)先计算出该地区的老年中,需要志愿者提供帮助的老年人总数,然后将其与样 本总数之比即为所占比例; (2)根据列联表所给的数据,代入随机变量的观测值公式,得到观测值的结果,把观测值的 结果与临界值进行比较,得出该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关系的程度.
2

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

【解答】解:(1)∵男性 40 位需要志愿者,女性 30 为需要志愿者, ∴该地区的老年中,需要志愿者提供帮助的老年人 40+30=70 位, ∴估计该地区的老年中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例为 (2)解:根据列联表所给的数据,代入随机变量的观测值公式, =14%;

- 17 -

K2=

=

=9.967>6.635,

∵P(K2>6.635)=0.010 ∴有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者的帮助与性别有关. 【点评】本题考查独立性检验的应用,考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识,本题 解题的关键是正确运算出观测值,理解临界值对应的概率的意义,要想知道两个变量之间的 有关或无关的精确的可信程度,只有利用独立性检验的有关计算,才能做出判断,本题是一 个基础题.

18.某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生作为样本,将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六组:[40,50),[50,60),[90,100)后得 到如图的频率分布直方图.

(Ⅰ)求图中实数 a 的值; (Ⅱ)若该校高一年级共有学生 500 人,试估计该校高一年级在考试中成绩不低于 60 分的人 数; (Ⅲ)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学 生,试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率. 【考点】频率分布直方图;古典概型及其概率计算公式. 【专题】图表型;概率与统计. 【分析】(I)根据频率=小矩形的高×组距,利用数据的频率之和为 1 求得 a 值;

- 18 -

(II)由频率分布直方图求得数学成绩不低于 60 分的概率,利用频数=样本容量×频率计算;

(III)用列举法写出从第一组和第六组 6 名学生中选两名学生的所有结果,从中找出数学成 绩之差的绝对值不大于 10 的结果,利用个数之比求概率. 【解答】解:(Ⅰ)根据数据的频率之和为 1,得 0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1,

∴a=0.03;

(Ⅱ)数学成绩不低于 60 分的概率为:0.2+0.3+0.25+0.1=0.85, ∴数学成绩不低于 60 分的人数为 500×0.85=425 人 (Ⅲ)数学成绩在[40,50)的学生人数:40×0.005×10=2 人, 数学成绩在[50,60)的学生人数:40×0.01×10=4 人, 设数学成绩在[40,50)的学生为 A,B; 数学成绩在[90,100)的学生为 a,b,c,d; 从 6 名学生中选两名学生的结果有:{A,B},{A,a},{A,b},{A,c},{A,d},{B,a}, {B,b},{B,c},{B,d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}.共 15 种;

其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的情况有:{A,B},{a,b},{a,c},{a, d},{b,c},{b,d},{c,d}共 7 种; ∴抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率为 .

【点评】本题主要是考查了直方图以及古典概型概率的计算,在频率分布直方图中频率=小矩 形的面积=小矩形的高×组距,用列举法写出所有基本事件是求古典概型概率的常用方法..

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19.设函数 f(x)=lnx+ ,m∈R. (Ⅰ)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; (Ⅱ)讨论函数 g(x)=f′(x)﹣ 零点的个数. 【考点】利用导数研究函数的极值. 【专题】计算题;分类讨论;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ)求出导数,令它大于 0,得到增区间,令小于 0,得到减区间,从而求出极小 值; (Ⅱ)求出 g(x)的表达式,令它为 0,则有 m=﹣ x3+x.设 h(x)=﹣ x3+x,其定义域为(0, +∞).则 g(x)的零点个数为 h(x)与 y=m 的交点个数,求出单调区间得到最值,画出 h (x)的图象,由图象即可得到零点个数. 【解答】解:(Ⅰ)当 m=e 时,f(x)=lnx+ ,其定义域为(0,+∞).

f′(x)= ﹣

=

令 f′(x)=0,x=e.f′(x)>0,则 0<x<e;f′(x)<0,则 x>e. 故当 x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=lne+ =2.

(Ⅱ)g(x)=f′(x)﹣ = ﹣

﹣ =

,其定义域为(0,+∞).

令 g(x)=0,得 m=﹣ x3+x. 设 h(x)=﹣ x3+x,其定义域为(0,+∞).则 g(x)的零点个数为 h(x)与 y=m 的交点个 数. h′(x)=﹣x +1=﹣(x+1)(x﹣1) x h′(x) h(x) (0,1) + 递增 1 0 极大值 (1,+∞) ﹣ 递减
2

故当 x=1 时,h(x)取得最大值 h(1)= .

- 20 -

作出 h(x)的图象, 由图象可得, ①当 m> 时,g(x)无零点;

②当 m= 或 m≤0 时,g(x)有且仅有 1 个零点;

③当 0<m< 时,g(x)有两个零点.

【点评】本题考查导数的综合运用:求单调区间和求极值,考查函数的零点问题,同时考查 分类讨论的思想方法,属于中档题.

20.已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9, (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若

的直线交抛物线于 A(x1,y1)和 B(x2,

,求 λ 的值.

【考点】抛物线的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】计算题. 【分析】(1)直线 AB 的方程与 y2=2px 联立,有 4x2﹣5px+p2=0,从而 x1+x2= 定义得:|AB|=x1+x2+p=9,求得 p,则抛物线方程可得. (2)由 p=4,4x2﹣5px+p2=0 求得 A(1,﹣2 代入抛物线方程即可解得 λ . 【解答】解:(1)直线 AB 的方程是 y=2 (x﹣ ),与 y2=2px 联立,有 4x2﹣5px+p2=0, ),B(4,4 ).再求得设 的坐标,最后 ,再由抛物线

- 21 -

∴x1+x2= 由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9 ∴p=4,∴抛物线方程是 y =8x. (2)由 p=4,4x ﹣5px+p =0 得:x ﹣5x+4=0, ∴x1=1,x2=4, y1=﹣2 设 又[2 ,y2=4 ,从而 A(1,﹣2 ),B(4,4 ). λ ﹣2 )
2 2 2 2

=(x3,y3)=(1,﹣2
2

)+λ (4,4

)=(4λ +1,4

(2λ ﹣1)] =8(4λ +1),解得:λ =0,或 λ =2.

【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.直线与圆锥曲线的综合问题.考查了基本的分 析问题的能力和基础的运算能力.

21.设椭圆

的两个焦点是 F1(﹣c,0),F2(c,0)(c>0).

(1)设 E 是直线 y=x+2 与椭圆的一个公共点,求使得|EF1|+|EF2|取最小值时椭圆的方程;

(2)已知 N(0,﹣1)设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点 A, B,点 Q 满足 ,且 ,求直线 l 在 y 轴上截距的取值范围.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】综合题.

【分析】 (1)由题意知 m>0.由

,得(m+2)x2+4(m+1)x+3(m+1)=0.由△≥0,

得 m≥2,或 m≤﹣1(舍去).此时

.由此能求出椭圆方程.

(2)设直线 l 的方程为 y=kx+t.由方程组

,得(1+3k2)x2+6ktx+3t2﹣3=0.由

△>0,知 t <1+3k ,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 为线段 AB 的中点,由此能求出截距 t 的取值范围. 【解答】解:(1)由题意,知 m+1>1,即 m>0.

2

2

.由

,得 Q

- 22 -



得(m+2)x2+4(m+1)x+3(m+1)=0. 由△=16(m+1)2﹣12(m+2)(m+1)=4(m+1)(m﹣2)≥0, 解得 m≥2,或 m≤﹣1(舍去)∴m≥2 此时 . ,

当且仅当 m=2 时,|EF1|+|EF2|.取得最小值 此时椭圆方程为 .

(2)设直线 l 的方程为 y=kx+t. 由方程组
2 2


2 2

消去 y 得(1+3k )x +6ktx+3t ﹣3=0.∵直线 l 与椭圆交于不同两点 A、B∴△=(6kt) ﹣4 (1+3k )(3t ﹣3)>0, 即 t <1+3k ① 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 由 则 . ,得 Q 为线段 AB 的中点, .∵ ,
2 2 2 2

∴kABkQN=﹣1,[来源:学,科,即



化简得 1+3k2=2t.代入①得 t2<2t,解得 0<t<2. 又由 . .

所以,直线 l 在 y 轴上的截距 t 的取值范围是

【点评】本题考查椭圆方程的求法和截距 t 的取值范围.解题时要认真审题,利用椭圆性质 注意合理地进行等价转化.
- 23 -

22.已知函数 f(x)=a(x﹣1)2+lnx+1. (Ⅰ)当 a=﹣ 时,求函数 f(x)的极值;

(Ⅱ)当 x∈[1,+∞)时,函数 y=f(x)图象上的点都在 求数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值. 【专题】函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ)当 时,

所表示的平面区域内,

,求导 ;从而求极值; (Ⅱ)原题意可化为当 x∈[1,+∞)时,不等式 f(x)≤x 恒成立,即 a(x﹣1) +lnx﹣x+1≤0 恒成立;设 g(x)=a(x﹣1) +lnx﹣x+1(x≥1),求导 = ;从而求 a.
2 2

【解答】解:(Ⅰ)当

时, , ;

由 f′(x)>0 解得 0<x<2,由 f′(x)<0 解得 x>2; 故当 0<x<2 时,f(x)单调递增;当 x>2 时,f(x)单调递减; 所以当 x=2 时,函数 f(x)取得极大值 ;

(Ⅱ)因 f(x)图象上的点在

所表示的平面区域内,

即当 x∈[1,+∞)时,不等式 f(x)≤x 恒成立, 即 a(x﹣1)2+lnx﹣x+1≤0 恒成立; 设 g(x)=a(x﹣1)2+lnx﹣x+1(x≥1), 只需 g(x)max≤0 即可;
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=



(ⅰ)当 a=0 时,

,当 x>1 时,g′(x)<0,

函数 g(x)在(1,+∞)上单调递减, 故 g(x)≤g(1)=0 成立; (ⅱ)当 a>0 时,由 ,

令 g′(x)=0,得 x1=1 或 ①若 ,即



时,在区间(1,+∞)上,g′(x)>0,

函数 g(x)在(1,+∞)上单调递增函数, g(x)在[1,+∞)上无最大值,不满足条件; ②若 ,即 时, 上单调递减,在区间 上单调递增,

函数 g(x)在

同样 g(x)在[1,+∞)上无最大值,不满足条件; (ⅲ)当 a<0 时,由 因为 x∈(1,+∞),故 g′(x)<0 ,

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