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2014届西南模高三数学快速提升


2014 届西南模高三数学快速提升__________中档题(5)
1.关于 x 的不等式

x?m 2 ? 0 的解集为 ? ?1, n ? . 1 x

(1)求实数 m 、 n 的值; (2)若 z1 ? m ? ni , z 2 ? cos? ? i sin ? ,且 z1 z 2 为纯虚数,求 tan(? ?

?
4

) 的值.

2.如图,已知点 P 在圆柱 OO1 的底面圆 O 上, AB 为圆 O 的直径,圆柱 OO1 的表面积为

20? , OA ? 2 , ?AOP ? 120? 。
AP 所成角的大小; (1) 求异面直线 A 1B 与
(结果用反三角函数值表示) (2)求点 A 到平面 A1 PB 的距离。

A1

O1

B1

A

O

B P

(第 2 题)

3.如图 1, OA , OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤,线段 CD 和曲线段 EF 分别 是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。为观光旅游的需要,拟过栈桥 CD 上某点 M 分别修建 与 OA , OB 平行的栈桥 MG 、 MK ,且以 MG 、 MK 为边建一个跨越水面的三角形观光 平 台 MGK 。 建 立 如 图 2 所 示 的 直 角 坐 标 系 , 测 得 线 段 CD 的 方 程 是

x ? 2 y ? 20 (0 ? x ? 20) ,曲线段 EF 的方程是 xy ? 200 (5 ? x ? 40) ,设点 M 的坐标
为 ( s, t ) ,记 z ? s ? t 。 (题中所涉及的长度单位均为米,栈桥和防波堤都不计宽度) (1)求 z 的取值范围; (2)试写出三角形观光平台 MGK 面积 S?MGK 关于 z 的函数解析式,并求出该面积的最小 值。

B

F

y B

F

K

D

E

D

M

G
C
图2

E
A

O

C
图1

A

O

x

4.定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形” 。 如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆” ,并将三角形的 相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆 C1 :

x2 ? y2 ? 1 。 4

(1) 若椭圆 C2 :

x2 y 2 ? ? 1 ,判断 C2 与 C1 是否相似?如果相似,求 16 4

出 C2 与 C1 的相似比;如果不相似,请说明理由; (2) 写出与椭圆 C1 相似且短半轴长为 b 的椭圆 Cb 的方程;若在椭圆

Cb 上存在两点 M 、 N 关于直线 y ? x ? 1对称,求实数 b 的取值范围?

2014 届西南模高三数学快速提升______中档题(5)答案
2 1.解: (1)原不等式等价于 ( x ? m) x ? 2 ? 0 ,即 x ? mx ? 2 ? 0 -------------------3 分

由题意得, ?

??1 ? n ? ?m 解得 m ? ?1 , n ? 2 . ??1? n ? ?2

------------------------5 分 ------------------------7 分 ----------------------------------9

(2) z1 ? ?1 ? 2i , z1 z 2 ? (? cos ? ? 2 sin ? ) ? i(2 cos ? ? sin ? ) 若 z1 z 2 为纯虚数,则 cos ? ? 2 sin ? ? 0 ,即 tan ? ? ? 分

1 2

1 ? ?1 4 ? 2 所以 tan(? ? ) ? ? ?3 -------------------- 12 分 ? 1 4 1 ? tan ? ? tan 1? 4 2

?

tan ? ? tan

?

2.解: (1)解:以 O 为原点,分别以 OB , OO1 为 y , z 轴的正向,并以 AB 的垂直平分线为 x 轴, 建立空间直角坐标系.

由题意 S表 ? 2? ? 2 ? ??? 2 ? AA 1 ? 3. 1 ? 20? ,解得 AA
2

-------------------2 分

易得相关点的坐标分别为: A ? 0, ? 2,0? , P 得 AP ?

?

3 , 1, 0 , A1 ? 0, ?2, 3? , B ? 0, 2,0 ? .
-------------------4 分

?

?

3 ,3, 0 , A1B ? ? 0, 4, ? 3? ,

?

AP 所成的角为 ? , ? 设A 1B 与 1B 与 AP 的夹角为 ,异面直线 A
则 cos ? ?

A1B ? AP A1B ? AP

?

2 3 2 3 ,-------------------6 分 ? 0 ,得 ? ? ? ? arc cos 5 5
2 3 .------------------7 分 5

AP 所成角的大小为 arc cos 即异面直线 A 1B 与

(2)设平面 A1 PB 的法向量为 n ? (u, v, w) ,则 n ? A 1B, n ? BP

A1B ? (0,4, ?3), BP ? ( 3, ?1,0), n ? A1B ? 0, n ? BP ? 0
? ?w ? ? ?4v ? 3w ? 0 ? ?? ?? 3 u ? v ? 0 ? ? ?u ? ? ? 4 v 3 ,-------------------10 分 3 v 3

取 v ? 3 , 得 平 面 A1 PB 的 一 个 法 向 量 为 n ? ( 3,3, 4) , 且 n ? 2 7 ,

A1 A ? (0,0, ?3)
所以点 A 到平面 A1 PB 的距离 d ?

n ? A1 A n

?

12 6 ? 7 。-------------------14 分 2 7 7

3.解: (1)由题意,得 M ( s, t ) 在线段 CD: x ? 2 y ? 20 (0 ? x ? 20) 上,即 s ? 2t ? 20 , 又因为过点 M 要分别修建与 OA、OB 平行的栈桥 MG、MK, 所以 5 ? s ? 10 -------------------2 分

1 1 z ? s ? t ? s (10 ? s ) ? ? ( s ? 10) 2 ? 50, 5 ? s ? 10 -------------------4 分 2 2 75 ? z ? 50 。 所以 z 的取值范围是 -------------------6 分 2 200 200 ), G ( , t) (2)由题意,得 K ( s, s t
所 以

S?MGK ?

1 1 200 200 1 40000 ? MG ? MK ? ( ? s )( ? t ) ? ( st ? ? 400) -------------------8 分 2 2 t s 2 st

则 S?MGK ?

1 40000 ? 75 ? (z ? ? 400), z ? ? ,50 ? ,-------------------10 分 2 z ?2 ?
1 40000 ? 75 ? (z ? ? 400) 在 z ? ? ,50 ? 单调递减-------------------12 分 2 z ?2 ?

因为函数 S ?MGK ?

所以当 z ? 50 时,三角形观光平台的面积取最小值为 225 平方米-------------------14 分 4.解: (1)椭圆 C2 与 C1 相似。-------------------2 分 因为椭圆 C2 的特征三角形是腰长为 4,底边长为 4 3 的等腰三角形,而椭圆 C1 的特征 三角形是腰长为 2,底边长为 2 3 的等腰三角形,因此两个等腰三角形相似,且相似比 为 2 :1 ---------------4 分 (2)椭圆 Cb 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 (b ? 0) -------------------6 分 4b2 b2

设 lMN : y ? ? x ? t ,点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , MN 中点为 ( x0 , y0 ) ,

? y ? ?x ? t ? 则 ? x2 ,所以 5x2 ? 8tx ? 4(t 2 ? b2 ) ? 0 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ? 4b
则 x0 ?

x1 ? x2 4t t ? , y0 ? 2 5 5

-------------------8 分

因为中点在直线 y ? x ? 1 上,所以有 即直线 lMN 的方程为: lMN

t 4t 5 ? ? 1 , t ? ? -------------------9 分 5 5 3 5 : y ? ?x ? , 3

由题意可知,直线 lMN 与椭圆 Cb 有两个不同的交点,
2 2 2 即方程 5 x ? 8(? ) x ? 4[(? ) ? b ] ? 0 有两个不同的实数解,

5 3

5 3

所以 ? ? (

40 2 25 5 ) ? 4 ? 5 ? 4 ? ( ? b 2 ) ? 0 ,即 b ? -------------------10 分 3 9 3


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