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数列的性质(全)

等差数列性质
1.等差数列的定义: a n ? a n ?1 ? d (d为常数) n ? 2 ) ( ; 2.等差数列通项公式:
a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? d n ? a1 ? d ( n ? N )
*

推广: a n ? a m ? ( n ? m ) d . 3.等差中项

从而 d ?

an ? am n?m


a?b 2

(1)如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A
2A ? a ? b

?

或 列



2

















?a n ?









? 2 a n ? a n -1 ? a n ? 1 ( n ? 2 ) ? 2 a n ? 1 ? a n ? a n ? 2

4.等差数列的前 n 项和公式:
Sn ? n ( a1 ? a n ) 2 ? n a1 ? n ( n ? 1) 2 d ? d 2 n ? ( a1 ?
2

1 2

d )n ? An ? Bn
2

(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0) S 2 n ?1 ? ( 2 n ?1) a n (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项) 5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若 a n ? a n ?1 ? d 或 a n ?1 ? a n ? d (常数 n ? N ) ? ( 2 ) 等 差 中 项 : 数 列
?

?a n ? 是等差数列.
等 差 数 列

?a n ?



? 2 a n ? a n -1 ? a n ? 1 ( n ? 2 ) ? 2 a n ? 1 ? a n ? a n ? 2 .

(3) 数列 ?a n ? 是等差数列 ? a n ? kn ? b (其中 k , b 是常数)。 (4) 数列 ?a n ? 是等差数列 ? S n ? A n ? B n ,(其中A、B是常数)。
2

6.等差数列的证明方法 定义法:若 a n ? a n ?1 ? d 或 a n ?1 ? a n ? d (常数 n ? N ) ?
?

?a n ? 是等差数列.

7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a 1 、 d 、 n 、 a n 及 S n , 其中 a 1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2 (2)设项技巧: ①一般可设通项 a n ? a1 ? ( n ? 1) d ②奇数个数成等差,可设为?, a ? 2 d , a ? d , a , a ? d , a ? 2 d ?(公差为 d ) ; ③偶数个数成等差, 可设为?,a ? 3 d , a ? d , a ? d , a ? 3 d ,? (注意; 公差为 2 d ) 8..等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时, 等差数列的通项公式 a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜 率为公差 d ; 前 n 和 S n ? n a1 ?
n ( n ? 1) 2 d ? d 2 n ? ( a1 ?
2

d 2

) n 是关于 n 的二次函数且常数项

为 0. (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 (3)当 m ? n ? p ? q 时,则有 a m ? a n ? a p ? a q ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有

am ? an ? 2a p .

注: a1 ? a n ? a 2 ? a n ?1 ? a 3 ? a n ? 2 ? ? ? ? , (4)若 ? a n ? 、 ? b n ? 为等差数列,则 ? ? a n ? b ? ,?1 a n ? ? 2 b n ? 都为等差数列 ? (5) 若{ a n }是等差数列,则 S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n ,?也成等差数列 (6) 数列 { a n } 为等差数列,每隔 k(k ? N )项取出一项( a m , a m ? k , a m ? 2 k , a m ? 3 k , ? ? ? )仍为等差数
*

列 (7)设数列 ?a n ? 是等差数列,d 为公差, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是 前 n 项的和 1.当项数为偶数 2 n 时,
S 奇 ? a1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? ? ? a 2 n ?1 ? S偶 ? a2 ? a4 ? a6 ? ? ? ? ? a2n ? n ? a1 ? a 2 n ?1 ? 2 ? nan

n ? a2 ? a2n ? 2

? n a n ?1

S 偶 ? S 奇 ? n a n ?1 ? n a n ? n ? a n ?1 ? a n ? = n d
S奇 S偶 ? nan n a n ?1 ? an a n ?1

2、当项数为奇数 2 n ? 1 时,则
? S 2 n ? 1 ? S 奇 ? S 偶 ? ( 2 n ? 1) a n + 1 ? S 奇 ? ( n ? 1) a n + 1 S奇 n ?1 ? ? ? ? ? ? ? S 奇 ? S 偶 ? a n+1 S偶 n ? S 偶 ? n a n+1 ? ? ?

(其中 a n + 1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项) . (8) ?a n ? 、 {b n } 的前 n 和分别为 A n 、 B n ,且 则
an bn ? ( 2 n ? 1) a n ( 2 n ? 1) b n ? A2 n ?1 B 2 n ?1 ? f ( 2 n ? 1) .

An Bn

? f (n) ,

(9) 等差数列 { a n } 的前 n 项和 S m ? n , m 项和 S n ? m , 前 则前 m+n 项和 S m ? n ? ? ? m ? n ? (10)求 S n 的最值 法一:因等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要 注意数列的 特殊性 n ? N 。 法二: “首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和 (1)
*

即当 a 1 ? 0, d ? 0, 由 ?

?a n ? 0 ? a n ?1 ? 0

可得 S n 达到最大值时的 n 值.

(2) “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当 a 1 ? 0, d ? 0, 由 ?
?an ? 0 ? a n ?1 ? 0

可得 S n 达到最小值时的 n 值.或求 ?a n ? 中正

负分界项 法三: 直接利用二次函数的对称性: 由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数, 故n取离

二次函数对称轴最近的整数时, S n 取最大值(或最小值) 。若 S p=S q 则其对称轴为
n ? p?q 2

注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法: ①基本量法:即运用条件转化为关于 a 1 和 d 的方程; ②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.

等比数列性质
1. 等比数列的定义:
an a n ?1 ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且 n ? N
*

? , q 称为公比
推广: a n ? a m q
n?m

2. 通项公式: a n ? a 1 q 3. 等比中项

n ?1

?

a1 q

q ? A?B
n

n

? a1 ? q

? 0, A ? B ? 0 ?

(1) 如果 a , A , b 成等比数列, 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. A ? a b 或 A ? ? a b 即: 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项 互为相反数)
2

(2)数列 ?a n ? 是等比数列 ? a n ? a n ?1 ? a n ? 1
2

4. 等比数列的前 n 项和 S n 公式: (1) 当 q ? 1 时, S n ? n a1
a1 ? 1 ? q 1? q
? a1 1? q ?
n

(2) 当 q ? 1 时, S n ?

?

?

a1 ? a n q 1? q
q ? A ? A ? B ? A ' B ? A ( A , B , A ', B ' 为非 0 常数) '
n n n

a1 1? q

5. 等比数列的判定方法 (1) 用定义: 对任意的 n,都有 a n ? 1 ? q a n 或 列 (2) 等比中项: a n ? a n ? 1 a n ? 1 ( a n ? 1 a n ?1 ? 0) ? { a n } 为等比数列
2

a n ?1 an

? q ( q 为 常 数 , a n ? 0 ) ? { a n } 为等比数

(3) 通项公式: a n ? A ? B ? A ? B ? 0 ? ? { a n } 为等比数列
n

(4) 前 n 项和公式: S n ? A ? A ? B 或 S n ? A ' B ? A ' ? A , B , A ', B ' 为 常 数 ? ? { a n } 为
n n

等比数列

6. 等比数列的证明方法 依据定义:若
an a n ?1 ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且 n ? N
*

? 或a

n ?1

? q a n ? { a n } 为等比数列

7. 注意 (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a 1 、 q 、 n 、 a n 及 S n , 其中 a 1 、 q 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求2 (2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项; a n ? a1 q 如奇数个数成等比,可设为?,
a q
2
n ?1

,

a q

, a , a q , a q ?(公比为 q ,中间项用 a 表示) ;

2

8. 等比数列的性质 (1) 当 q ? 1 时
① 等比数列通项公式 a n ? a 1 q 数, 底数为公比 q ② 前 n 项和 S n ?
a1 ? 1 ? q 1? q
n

n ?1

? A?B

n

?A ? B

? 0 ? 是关于 n 的带有系数的类指数函

?

?

a 1 ? a1 q 1? q

n

a1 1? q

?

a1 1? q

q ? A ? A ? B ? A ' B ? A ' ,系数
n n n

和常数 项是互为相反数的类指数函数,底数为公比 q (2) 对任何 m,n ? N ,在等比数列 { a n } 中,有 a n ? a m q
*

n?m

,特别的,当 m=1 时,便得到等比数列

的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t ? N ),则 a n ? a m ? a s ? a t .特别的,当 n+m=2k 时,得 a n ? a m ? a k
*

2

注: a1 ? a n ? a 2 ? a n ?1 ? a 3 a n ? 2 ? ? ? (4) 若 { a n } , {b n } 为等比数列,则 { 等比数列. (5) 数列 { a n } 为等比数列,每隔 k(k ? N )项取出一项( a m , a m ? k , a m ? 2 k , a m ? 3 k , ? ? ? )仍为等比数
*

k an

} , { k ? a n } , { a n } , { k ? a n ? bn } , {
k

an bn

} (k 为非零常数) 均为

列 (6) 如果 { a n } 是各项均为正数的等比数列,则数列 { lo g a a n } 是等差数列 (7) 若 { a n } 为等比数列,则 S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n , ? ? ? 成等比数列(公比为 ? 1 时此结论不一 定成立)

(8) 若 { a n } 为等比数列,则数列 a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n , 等比数列 (9) ①当 q ? 1 时,
a ? 0 , 则 { a }为 递 增 数 列
1 n

a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? ? ? a 2 n ,

a 2 n ? 1 ? a 2 n ? 2 ? ? ? ? ? ?a 3 n 成

②当 0 < q ? 1 时,
a ? 0 , 则 { a }为 递 减 数 列
1 n

{ a1 ? 0 , 则 { a n }为 递 减 数 列

,

{ a1 ? 0 , 则 { a n }为 递 增 数 列

③当 q=1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当 q<0 时,该数列为摆动数 列. (10)在等比数列 { a n } 中, 当项数为 2n (n ? N )时,
*

S奇 S偶
n

?

1 q

,.

(11)若 { a n } 是公比为 q 的等比数列,则 S n ? m ? S n ? q ? S m


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