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平和县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

平和县高中 2018-2019 学年高二下学期第二次月考试卷数学

一、选择题

1. 二进制数10101(2)化为十进制数的结果为(



A.15

B. 21

C. 33

D. 41

2. 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sinB=2sinC,a2﹣c2=3bc,则 A 等于(



A.30° B.60° C.120° D.150°

3. 设函数 y=x3 与 y=( )x 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是(



A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

? ? 4.

设集合

A

?

? ?

x

|

?

x?3 x ?1

? 0??,集合 B ? ?

x | x2 ? ?a ? 2? x ? 2a ? 0

,若

A ? B ,则的取值范围

()

A. a ?1

B.1 ? a ? 2

C. a ? 2

D.1 ? a ? 2

5. 函数 y=2|x|的图象是(



A.

B.

C.

D.

6.

若复数 z1, z2 在复平面内对应的点关于

y

轴对称,且

z1

?

2 ? i ,则复数

z1 z2

在复平面内对应的点在(



A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识,意在考查转化思想与计算能力.

7. 如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是 AA1,AD 的中点,则 CD1 与 EF 所成角为(



A.0°

B.45°

C.60°

8. 执行如图所示的程序框图,输出的 z 值为( )

D.90°

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A.3 B.4 C.5 D.6

9. 设 m、n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题:

①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n;②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ;

③若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n;④若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α;

其中正确命题的序号是( )

A.①②③④ B.①②③ C.②④ D.①③

10.以下四个命题中,真命题的是( )
A. ?x ? R, x2 ? x ? 2

B.“对任意的 x ? R , x2 ? x ?1 ? 0 ”的否定是“存在 x0 ? R , x02 ? x0 ?1 ? 0 C. ?? ? R ,函数 f (x) ? sin(2x ?? ) 都不是偶函数

D.已知 m , n 表示两条不同的直线,? , ? 表示不同的平面,并且 m ? ? , n ? ? ,则“? ? ? ”是

“ m / /n ”的必要不充分条件

【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识,意在考查逻辑推理能力.

11.设 D、E、F 分别是△ ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 =2 , =2 , =2 ,则

与( )

A.互相垂直

B.同向平行

C.反向平行

D.既不平行也不垂直

12.若 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆

=1(a>b>0)上的一点,且

=0,

tan∠PF1F2= ,则此椭圆的离心率为(



A.

B.

C. D.

二、填空题

13.设 f(x)为奇函数,且在(﹣∞,0)上递减,f(﹣2)=0,则 xf(x)<0 的解集为



?2x ? y ? 2 ? 0

14 . 设 变 量

x,

y

满足约束条件

? ?

x

?

2y

?

2

?

0

,则

z

?

(a2

?1)x

? 3(a2

?1) y

的最小值是

?20

,则实数

?? x ? y ?1 ? 0

第 2 页,共 20 页

a ? ______.
【命题意图】本题考查线性规划问题,意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力.

15.过椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若∠F1PF2=60°,则

椭圆的离心率为



16.已知一个动圆与圆 C:(x+4)2+y2=100 相内切,且过点 A(4,0),则动圆圆心的轨迹方程



17.设函数

,其中[x]表示不超过 x 的最大整数.若方程 f(x)=ax 有三个不同

的实数根,则实数 a 的取值范围是



18.一质点从正四面体 A﹣BCD 的顶点 A 出发沿正四面体的棱运动,每经过一条棱称为一次运动.第 1 次运

动经过棱 AB 由 A 到 B,第 2 次运动经过棱 BC 由 B 到 C,第 3 次运动经过棱 CA 由 C 到 A,第 4 次经过棱

AD 由 A 到 D,…对于 N∈n*,第 3n 次运动回到点 A,第 3n+1 次运动经过的棱与 3n﹣1 次运动经过的棱异面,

第 3n+2 次运动经过的棱与第 3n 次运动经过的棱异面.按此运动规律,质点经过 2015 次运动到达的点





三、解答题

19.(本小题满分 12

分)已知

F1

,

F2

分别是椭圆

C



x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的两个焦点,P(1,

2 ) 是椭圆上 2

一点,且 2 | PF1 |,| F1F2 |, 2 | PF2 | 成等差数列. (1)求椭圆 C 的标准方程;、 (2)已知动直线 l 过点 F ,且与椭圆 C 交于 A、B 两点,试问 x 轴上是否存在定点 Q ,使得
恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

QA ? QB ? ? 7 16

20.设圆 C 满足三个条件①过原点;②圆心在 y=x 上;③截 y 轴所得的弦长为 4,求圆 C 的方程.

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21.如图,边长为 2 的等边△ PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC= (Ⅰ)证明:AM⊥PM; (Ⅱ)求点 D 到平面 AMP 的距离.

,M 为 BC 的中点.

22.已知椭圆 :

的长轴长为 , 为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程和离心率; (Ⅱ) 设动直线 与 y 轴相交于点 ,点

关于直线 的对称点 在椭圆 上,求

的最小值.

23.(1)求 z=2x+y 的最大值,使式中的 x、y 满足约束条件

(2)求 z=2x+y 的最大值,使式中的 x、y 满足约束条件

+

=1.

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24.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面△ABC 是边长为 2 的等边三角形,D 为 AB 中点. (1)求证:BC1∥平面 A1CD; (2)若四边形 BCC1B1 是正方形,且 A1D= ,求直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角的正弦值.
25.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲
已知函数 f (x) ? x ? a , (a ? R) . (Ⅰ)若当 0 ? x ? 4时, f (x) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值; (Ⅱ)当 0 ? a ? 3 时,求证: f (x ? a) ? f (x ? a) ? f (ax) ? af (x) .
26.(本小题满分 12 分)已知圆 C : ? x ?1?2 ? ? y ? 2?2 ? 25 ,直线 L :?2m ?1? x ? ?m ?1? y ? 7m ? 4 ? 0?m?R? .
(1)证明: 无论 m 取什么实数, L 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时 L 的方程.
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平和县高中 2018-2019 学年高二下学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题 1. 【答案】 B
【解析】
试题分析:10101?2? ? 1? 24 ?1? 22 ?1? 20 ? 21,故选 B.
考点:进位制 2. 【答案】C 【解析】解:由 sinB=2sinC,由正弦定理可知:b=2c,代入 a2﹣c2=3bc, 可得 a2=7c2,

所以 cosA=

=

=﹣ ,

∵0<A<180°, ∴A=120°. 故选:C. 【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基本知识的考查.

3. 【答案】A

【解析】解:令 f(x)=x3﹣



∵f′(x)=3x2﹣

ln =3x2+

ln2>0,

∴f(x)=x3﹣

在 R 上单调递增;

又 f(1)=1﹣ = >0,

f(0)=0﹣1=﹣1<0,

∴f(x)=x3﹣

的零点在(0,1),

∵函数 y=x3 与 y=( )x 的图象的交点为(x0,y0), ∴x0 所在的区间是(0,1). 故答案为:A.

4. 【答案】A 【解析】

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考 点:集合的包含关系的判断与应用. 【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用,其中解答中涉及到分式不等式的求解,一元二次 不等式的解法,集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查,着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的 应用,以及学生的推理与运算能力,属于中档试题,本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键. 5. 【答案】B
【解析】解:∵f(﹣x)=2|﹣x|=2|x|=f(x) ∴y=2|x|是偶函数, 又∵函数 y=2|x|在[0,+∞)上单调递增,故 C 错误. 且当 x=0 时,y=1;x=1 时,y=2,故 A,D 错误 故选 B 【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象变换,其中根据函数的解析式,分析出函数的性质,进而得到函 数的形状是解答本题的关键.

6. 【答案】B









7. 【答案】C 【解析】解:连结 A1D、BD、A1B, ∵正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是 AA1,AD 的中点,∴EF∥A1D, ∵A1B∥D1C,∴∠DA1B 是 CD1 与 EF 所成角, ∵A1D=A1B=BD, ∴∠DA1B=60°. ∴CD1 与 EF 所成角为 60°. 故选:C.
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【点评】本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

8. 【答案】D

【解析】解:执行循环体前,S=1,a=0,不满足退出循环的条件,执行循环体后,S=1×20=20,a=1, 当 S=2°,a=1,不满足退出循环的条件,执行循环体后,S=1×21=21,a=2 当 S=21,a=2,不满足退出循环的条件,执行循环体后,S=21×22=23,a=3 当 S=23,a=3,不满足退出循环的条件,执行循环体后,S=23×23=26,a=4 当 S=26,a=4,满足退出循环的条件,

则 z=

=6

故输出结果为 6

故选:D

【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是:①分

析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果

参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,

选择恰当的数学模型③解模.

9. 【答案】B 【解析】解:由 m、n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面: 在①中:若 m⊥α,n∥α,则由直线与平面垂直得 m⊥n,故①正确; 在②中:若 α∥β,β∥γ,则 α∥γ, ∵m⊥α,∴由直线垂直于平面的性质定理得 m⊥γ,故②正确; 在③中:若 m⊥α,n⊥α,则由直线与平面垂直的性质定理得 m∥n,故③正确; 在④中:若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α 或 m?α,故④错误. 故选:B.

10.【答案】D

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11.【答案】D

【解析】解:如图所示, △ABC 中, =2 , =2 , 根据定比分点的向量式,得

=

=+,

=2 ,

= + ,= + ,

以上三式相加,得

+ + =﹣ ,

所以,

与 反向共线.

【点评】本题考查了平面向量的共线定理与定比分点的应用问题,是基础题目.

12.【答案】A 【解析】解:∵ ∴
∵Rt△PF1F2 中,

,即△PF1F2 是 P 为直角顶点的直角三角形. ,



= ,设 PF2=t,则 PF1=2t



=2c,

又∵根据椭圆的定义,得 2a=PF1+PF2=3t

∴此椭圆的离心率为 e= =

=

=

故选 A 【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形,根据一个内角的正切值,求椭圆的离心率,着重考查 了椭圆的基本概念和简单几何性质,属于基础题.

二、填空题
13.【答案】 (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)

【解析】解:∵f(x)在 R 上是奇函数,且 f(x)在(﹣∞,0)上递减, ∴f(x)在(0,+∞)上递减,

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由 f(﹣2)=0,得 f(﹣2)=﹣f(2)=0, 即 f(2)=0, 由 f(﹣0)=﹣f(0),得 f(0)=0, 作出 f(x)的草图,如图所示:

由图象,得 xf(x)<0?





解得 x<﹣2 或 x>2, ∴xf(x)<0 的解集为:(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) 故答案为:(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)

14.【答案】 ?2









15.【答案】



【解析】解:由题意知点 P 的坐标为(﹣c, )或(﹣c,﹣ ), ∵∠F1PF2=60°, ∴=,

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即 2ac= b2= (a2﹣c2). ∴ e2+2e﹣ =0, ∴e= 或 e=﹣ (舍去). 故答案为: . 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质,考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力,属基础题.
16.【答案】 + =1 .

【解析】解:设动圆圆心为 B,半径为 r,圆 B 与圆 C 的切点为 D, ∵圆 C:(x+4)2+y2=100 的圆心为 C(﹣4,0),半径 R=10, ∴由动圆 B 与圆 C 相内切,可得|CB|=R﹣r=10﹣|BD|, ∵圆 B 经过点 A(4,0), ∴|BD|=|BA|,得|CB|=10﹣|BA|,可得|BA|+|BC|=10, ∵|AC|=8<10, ∴点 B 的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆,

设方程为

(a>b>0),可得 2a=10,c=4,

∴a=5,b2=a2﹣c2=9,得该椭圆的方程为 + =1.

故答案为: + =1.

17.【答案】 (﹣1,﹣ ]∪[ , ) .
【解析】解:当﹣2≤x<﹣1 时,[x]=﹣2,此时 f(x)=x﹣[x]=x+2. 当﹣1≤x<0 时,[x]=﹣1,此时 f(x)=x﹣[x]=x+1. 当 0≤x<1 时,﹣1≤x﹣1<0,此时 f(x)=f(x﹣1)=x﹣1+1=x. 当 1≤x<2 时,0≤x﹣1<1,此时 f(x)=f(x﹣1)=x﹣1. 当 2≤x<3 时,1≤x﹣1<2,此时 f(x)=f(x﹣1)=x﹣1﹣1=x﹣2. 当 3≤x<4 时,2≤x﹣1<3,此时 f(x)=f(x﹣1)=x﹣1﹣2=x﹣3.
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设 g(x)=ax,则 g(x)过定点(0,0), 坐标系中作出函数 y=f(x)和 g(x)的图象如图: 当 g(x)经过点 A(﹣2,1),D(4,1)时有 3 个不同的交点,当经过点 B(﹣1,1),C(3,1)时,有 2 个不同的交点,
则 OA 的斜率 k= ,OB 的斜率 k=﹣1,OC 的斜率 k= ,OD 的斜率 k= ,

故满足条件的斜率 k 的取值范围是





故答案为:(﹣1,﹣ ]∪[ , )

【点评】本题主要考查函数交点个数的问题,利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本 题的根据,利用数形结合是解决函数零点问题的基本思想. 18.【答案】 D .
【解析】解:根据题意,质点运动的轨迹为: A→B→C→A→D→B→A→C→D→A 接着是→B→C→A→D→B→A→C→D→A… 周期为 9. ∵质点经过 2015 次运动, 2015=223×9+8, ∴质点到达点 D. 故答案为:D. 【点评】本题考查了函数的周期性,本题难度不大,属于基础题.
三、解答题
19.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识,意 在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力,以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用.
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下面证明 m ? 5 时, QA ? QB ? ? 7 恒成立.

4

16

当直线 l 的斜率为 0 时,结论成立;

当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 l 的方程为 x ? ty ?1, A? x1, y1 ? , B? x2, y2 ? ,

由 x ? ty ?1及 x2 ? y2 ? 1,得 (t2 ? 2) y2 ? 2ty ?1 ? 0 , 2

所以 ?

?

0 ,∴

y1

?

y2

?

?

2t t2 ?

2

,

y1 y2

?

?

t2

1 ?

2



x1 ? ty1 ?1, x2 ? ty2 ?1,

∴ (x1

?

5, 4

y1) ? (x2

?

5 4 , y2 )

? (ty1

?

1 4)(ty2

? 1)? 4

y1 y2 = (t 2

? 1)

y1 y2

?

1 4 t( y1 ?

1 y2 ) ? 16



?(t 2

?

1)

t

2

1 ?

2

?

1t 4

?

t

2t 2?

2

?1 16

?

?2t2 ? 2 ? t2 2(t2 ? 2)

?1 16

?

?7 16



综上所述,在 x 轴上存在点 Q(5 , 0) 使得 QA ? QB ? ? 7 恒成立.

4

16

20.【答案】

【解析】解:根据题意画出图形,如图所示:

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当圆心 C1 在第一象限时,过 C1 作 C1D 垂直于 x 轴,C1B 垂直于 y 轴,连接 AC1, 由 C1 在直线 y=x 上,得到 C1B=C1D,则四边形 OBC1D 为正方形, ∵与 y 轴截取的弦 OA=4,∴OB=C1D=OD=C1B=2,即圆心 C1(2,2), 在直角三角形 ABC1 中,根据勾股定理得:AC1=2 , 则圆 C1 方程为:(x﹣2)2+(y﹣2)2=8; 当圆心 C2 在第三象限时,过 C2 作 C2D 垂直于 x 轴,C2B 垂直于 y 轴,连接 AC2, 由 C2 在直线 y=x 上,得到 C2B=C2D,则四边形 OB′C2D′为正方形,∵与 y 轴截取的弦 OA′=4,∴OB′=C2D′,
=OD′=C2B′=2,即圆心 C2(﹣2,﹣2), 在直角三角形 A′B′C2 中,根据勾股定理得:A′C2=2 , 则圆 C1 方程为:(x+2)2+(y+2)2=8, ∴圆 C 的方程为:(x﹣2)2+(y﹣2)2=8 或(x+2)2+(y+2)2=8. 【点评】本题考查了角平分线定理,垂径定理,正方形的性质及直角三角形的性质,做题时注意分两种情况, 利用数形结合的思想,分别求出圆心坐标和半径,写出所有满足题意的圆的标准方程,是中档题.
21.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:取 CD 的中点 E,连接 PE、EM、EA ∵△PCD 为正三角形 ∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60°= ∵平面 PCD⊥平面 ABCD ∴PE⊥平面 ABCD ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴△ADE、△ECM、△ABM 均为直角三角形 由勾股定理得 EM= ,AM= ,AE=3 ∴EM2+AM2=AE2,∴∠AME=90° ∴AM⊥PM (Ⅱ)解:设 D 点到平面 PAM 的距离为 d,连接 DM,则 VP﹣ADM=VD﹣PAM ∴
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而 在 Rt△PEM 中,由勾股定理得 PM= ∴





,即点 D 到平面 PAM 的距离为

22.【答案】 【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆

【试题解析】(Ⅰ)因为椭圆 C:

所以







,解得 ,

所以椭圆 的方程为



因为



所以离心率



(Ⅱ)由题意,直线 的斜率存在,设点

则线段 的中点 的坐标为



, ,

且直线 的斜率



由点

关于直线 的对称点为 ,得直线



故直线 的斜率为

,且过点 ,

所以直线 的方程为:



令 ,得

,则



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,得



化简,得



所以



当且仅当

,即

时等号成立.

所以 的最小值为 . 23.【答案】

【解析】解:(1)由题意作出可行域如下,

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, 结合图象可知,当过点 A(2,﹣1)时有最大值, 故 Zmax=2×2﹣1=3; (2)由题意作图象如下,
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根据距离公式,原点 O 到直线 2x+y﹣z=0 的距离 d=



故当 d 有最大值时,|z|有最大值,即 z 有最值;

结合图象可知,当直线 2x+y﹣z=0 与椭圆

+

=1 相切时最大,

第 18 页,共 20 页

联立方程

化简可得,

116x2﹣100zx+25z2﹣400=0, 故△=10000z2﹣4×116×(25z2﹣400)=0,

故 z2=116,

故 z=2x+y 的最大值为



【点评】本题考查了线性规划的应用及圆锥曲线与直线的位置关系的应用.

24.【答案】

【解析】证明:(1)连 AC1,设 AC1 与 A1C 相交于点 O,连 DO,则 O 为 AC1 中点,

∵D 为 AB 的中点,

∴DO∥BC1, ∵BC1?平面 A1CD,DO?平面 A1CD,

∴BC1∥平面 A1CD.

解:∵底面△ABC 是边长为 2 等边三角形,D 为 AB 的中点,

四边形 BCC1B1 是正方形,且 A1D= ,

∴CD⊥AB,CD=

= ,AD=1,

∴AD2+AA12=A1D2,∴AA1⊥AB,



,∴



∴CD⊥DA1,又 DA1∩AB=D, ∴CD⊥平面 ABB1A1,∵BB1?平面 ABB1A1,∴BB1⊥CD, ∵矩形 BCC1B1,∴BB1⊥BC, ∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面 ABC, ∵底面△ABC 是等边三角形, ∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是正三棱柱. 以 C 为原点,CB 为 x 轴,CC1 为 y 轴,过 C 作平面 CBB1C1 的垂线为 z 轴,建立空间直角坐标系,

B(2,0,0),A(1,0, ),D( ,0, ),A1(1,2, ),

=( ,﹣2,﹣ ),平面 CBB1C1 的法向量 =(0,0,1), 设直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角为 θ,

则 sinθ=

== .

∴直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角的正弦值为 .

第 19 页,共 20 页

25.【答案】

【解析】【解析】(Ⅰ) x ? a ? f (x) ? 2 得, a ? 2 ? x ? a ? 2

由题意得

?a ??4

? ?

2 a

? ?

0 2

,故

2

?

a

?

2

,所以

a

?

2

……

5分

(Ⅱ) 0 ? a ? 3,? ?1? a ?1? 2 ,? a ?1 ? 2 ,

? ? f ?ax? ? af ? x? ? ax ? a ? a x ? a ? ax ? a ? ax ? a2 ? ?ax ? a? ? ax ? a2 ? a2 ? a ? a a ?1 ? 2a

f ? x ? a? ? f ? x ? a? ? x ? 2a ? x ? ? x ? 2a? ? x ? 2a ? 2a ,

? f ?x ? a? ? f ?x ? a? ? f ?ax? ? af ?x? .…… 10 分

26.【答案】(1)证明见解析;(2) 2x ? y ? 5 ? 0 .
【解析】
试题分析:(1) L 的方程整理为 ? x ? y ? 4? ? m?2x ? y ? 7? ? 0 ,列出方程组,得出直线过圆内一点,即可 证明;(2)由圆心 M ?1, 2? ,当截得弦长最小时, 则 L ? AM ,利用直线的点斜式方程,即可求解直线的方程.

(2)圆心 M ?1, 2? ,当截得弦长最小时, 则 L ? AM ,

由 kAM

??1 2

得 L 的方程

y ?1 ? 2? x ?3? 即 2x ?

y?5?

0.

考点:直线方程;直线与圆的位置关系.

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1111]


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