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甘肃省玉门一中2019届高三数学上学期11月月考试题文

。 。 。 。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯
玉门一中高三年级 11 月月考(文科数学)试卷

第Ⅰ卷(选择题

共60分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一

项是符合题目要求的.

1.若集合 A={x|﹣1<x<3},B={﹣1,0,1,2},则 A∩B=( )

A.{﹣1,0,1,2} B.{x|﹣1<x<3} C.{0,1,2}

D.{﹣1,0,1}

2.已知复数z 满足z i=2+i,i 是虚数单位,则|z|=( )

3.在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数,则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是( )

A.11 B.12 C.8

D.3

5.设等差数列{an}的前 n项和为Sn,若a2+a8=10,则S9=(

A.20

B.35

C.45

) D.90

6.抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴 交 于点 D,与双曲线

交 于 A,B 两点,点F 为

抛物线的焦点,若△ADF为等腰直角三角形,则双曲线的离心率是( )

7.











f

则f(x)的单调递增区间为(



-1-

8.函数

的部分图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

9.若a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,则关于 x 的一元二次方程x2+2ax+b2=0 有实根的概率是

10.执行如图所示的程序框图,那么输出 S的值是(



A.2018 B.-1

D.2

11.如图为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个命题:

-2-

①AF⊥GC;

②BD 与GC 成异面直线且夹角为 60°;

③BD∥MN; ④BG 与平面 ABCD 所成的角为 45°
其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 12.定义在R 上函数y=f(x+2)的图象关于直线x

对称,且函数f(x+1)是偶函数.若

当x∈[0,1] 时,f (x) sin x ,则函数g(x) f (x) e x 在区间[﹣2018,

2018]上零点的个数为( )

A.2017

B.2018

C.4034

D.4036

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应 位置.

14. 曲线y=ln(x+1)在点(1,ln2)处的切线方程为



15.从 原 点 O 向 圆 C:x2

y2 12 y 27 0 作 两 条 切 线 , 则 该 圆 被 两 切 点

所 分 的 劣 弧 与 优 弧 之 比为 . 16.如图,三棱锥的所有顶点都在一个球面上,在△ABC 中,AB=

,



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (12分)在△ABC中 , 角 A,B,C的对边分别为a,b,c, 且 2c cos B 2a b .

(1)求角C;

(2)若△ABC 的面积为S

,求 ab 的最小值.

18. (12分)某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打 算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级 1500 名男生、1000 名女生中按分层抽样的方式抽取 125 名学生进行问卷调查,情况如表

打算观看

不打算观看

女生

20

b

男生

c

25

1.求出表中数据 b,c;

-3-

2. 判断是否有 99%的把握认为观看 2018 年足球世界杯比赛与性别有关; 3.为了计算“从 10 人中选出 9 人参加比赛”的情况有多少种,我们可以发现它与“从 10 人中 选出 1 人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题:在打算观看 2018 年足球 世界杯比赛的同学中有 5 名男生、2 名女生来自高三(5)班,从中推选 5 人接受校园电视台 采访,请根据上述

方法,求被推选出的 5 人中恰有 4 名男生、1 名女生的概率.

P(K2≥k) 0

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

K0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

19( .12分) 如图, 在三棱锥P﹣ABC中, 平面PAB⊥平面 ABC, AB=6,BC
D,E 为线段 AB 上的点,且 AD=2DB, PD⊥AC (1)求证:PD⊥平面 ABC;

2)若 PAB ‘

,求点 B 到平面 PAC 的距离

20. (12分)已 知 圆 C:x2

y2

2x 2 y 1 0 和 抛 物 线 E:y2

2 px( p

0)

圆心 C 到抛物线焦点 F 的距离为 1.求 抛 物 线 E 的方程; 2.不过原点的动直线 l 交抛物线于 A,B 两点,且满足 OA⊥OB.设 点 M 为圆 C 上任意一动点,

-4-

求当动点 M 到直线l 的距离最大时的直线 l 方程

21. (12分)已知函数 f (x) ln x a(x 1), a R 在(1,f(1)处的切线与x 轴平行. (1)求 f(x)的单调区间;

(2)若存在x >1,当x∈(1,x )时,恒有 围.

成立,求 k 的取值范

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时,请用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑
[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22(.10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 过点(1,0) ,倾斜角为α ,以坐标原点为极点,
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是 (1)写出直线 l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;

(2)若

设直线l 与曲线 C交于 A,B两点,求△AOB的面积.

-5-

[选修 4-5:不等式选讲]

23. (10分)设函数

n(ad bc)2

(a b)(c d )(a c)(b d )
(1) 解不等式 f (x) g (x) ; (2) 若 2 f (x) g (x) ax 4 对任意的实数 x 恒成立,求 a 的取值范围.

-6-

玉门一中高三年级 11 月月考 (文科数学)答案

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且
只有一项是符合题目要求的. 1-5 CDACC 6-10 DBCBC 11-12 BD
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.

13. (5分)已知 =(2,1) , ﹣2 =(1,1) ,则 = 1



14. (5分)曲线y=ln(x+1)在点(1,ln2)处的切线方程为 x﹣2y﹣1+2ln2=0



15. (5 分)从原点 O 向圆 C:x2+y2﹣12y+27=0 作两条切线,则该圆被两切点所分的劣弧与优 弧之比为 .

16. (5分)如图,三棱锥的所有顶点都在一个球面上,在△ABC中,AB= ,∠ ACB=60°,

∠BCD=90°,AB⊥CD,CD= ,则该球的体积为



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2ccosB=2a+b. 8. 求角 C;

9. 若△ABC 的面积为

,求ab 的最小值.

解: (1)由正弦定理可知:

=

=

=2R,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,由

2ccosB=2a+b,则2sinCcosB=2sin(B+C)+sinB, ∴2sinBcosC+sinB=0,———————————————————3 分由0 <B<π ,sinB≠0,cosC=﹣ ,—————————————4 分

0<C<π ,则C= ;——————————————————6 分

(2)由S= absinC= c,则c= ab,——————————————8 分

由c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab,∴ 当且仅当 a=b 时取等号,
∴ab≥12,

=a2+b2+ab≥3ab,——————10 分

-7-

故 ab 的最小值为 12.——————————————————12 分 18.(12 分)
解:(1)根据分层抽样方法抽得女生 50 人,男生 75 人, 所以b=50﹣20=30(人) ,c=75﹣25=50(人) ................................ (2 分)

7. 因为



所以有99%的把握认为观看2018 年足球世界杯比赛与性别有关................. (7 分) (说明:数值代入公式(1 分) ,计算结果(3 分) ,判断 1 分)

8. 设5 名男生分别为 A、B、C、D、E,2 名女生分别为 a、b, 由题意可

知从 7 人中选出 5 人接受电视台采访,

相当于从 7 人中挑选 2 人不接受采访,其中一男一女, 所有可

能的结果有: {A,B}{A,C}{A,D}{A,E}{A,a}{A,b}{B,C}{B,D}{B,E}{B,a}{B,b}

{C,D}{C,E}{C,a}{C,b}{D,E}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b}{a,b},共 21

种, .... (9 分)

其中恰为一男一女的包括,{A,a}{A,b}{B,a}{B,b}{C,a}{C,b}{D,a}{D,

b}{E,a}{E,b},共10 种. ....................... (10 分)

因此被推选出的

5 人中恰有四名男生、一名女生的概率为

......................................... (12 分)

19. (12 分)如图,在三棱锥P﹣ABC 中,平面PAB⊥平面ABC,AB=6,



,D,E 为线段 AB 上的点,且 AD=2DB,PD⊥AC.

(1) 求证:PD⊥ 平 面 ABC;

(2) 若

,求点B 到平面PAC 的距离.

-8-

证明:(1)连接 CD,据题知 AD=4,BD=2,

∵AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,∴cos





=8,∴CD=2 ,

∴CD2+AD2=AC2,∴CD⊥AB,———————————————————3 分 又∵平面 PAB⊥平面 ABC,∴CD⊥平面 PAB,∴CD⊥PD, ∵PD⊥AC,CD∩AC=C,∴PD⊥平面 ABC.————————————6 分

解: (2)∵

,∴PD=AD=4,∴PA=4

,在Rt△PCD 中,PC= ∴△PAC 是等腰三角形,∴ 到平面 PAC 的距离为 d,
由VE﹣PAC=VP﹣AEC,得

=2 , ,————————————8 分设点 B
,————————10 分

∴d=

=3,

故点B 到平面PAC 的距离为3.

————————12 分

20. (12 分)已知圆 C:x2+y2+2x﹣2y+1=0 和抛物线 E:y2=2px(p>0) ,圆心 C 到抛物线焦点F 的距离为 .
(1) 求抛物线 E 的方程; (2) 不过原点的动直线 l 交抛物线于 A,B 两点,且满足 OA⊥OB.设点 M 为圆
-9-

C 上任意一动点,求当动点 M 到直线 l 的距离最大时的直线 l 方程. 解:(1) 圆C:x2+y2+2x﹣2y+1=0 可化为(x+1)2+(y﹣1)2=1, 则圆心为(﹣1,1) .

抛物线E:y2=2px(p>0) ,焦点坐标F(

) ,————————2 分由于:圆

心C 到抛物线焦点F 的距离为 .

则:



解得:p=6. 故抛物线的方程为:y2=12x

————————4 分

(2)设直线的方程为x=my+t,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则: ,

整理得:y2﹣12my﹣12t=0,

所以:y1+y2=12m,y1y2=﹣12t. 分由于:OA⊥OB. 则:x1x2+y1y2=0.
即:(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0.整理得: t2﹣12t=0, 由于 t≠0, 解得t=12.

————————6 ————————8 分

故直线的方程为 x=my+12, 直线

经过定点 N(12,0) .

当 MN⊥l 时,动点 M 经过圆心 C(﹣1,1)时距离取最大值.

k =— ,

k

13, m 1

- 10 -

————————10 分

MN

AB

13

此时直线的方程为:x=



即:13x﹣y﹣156=0.

————————12 分

21. (12 分)已知函数 f(x)=lnx﹣a(x+1) ,a∈R 在(1,f(1) 处的切线与 x

轴平行. (3) 求f(x)的单调区间;

(4) 若存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有

成立,求

k 的取值范围. 解:(1)由已知可得 f(x)的定义域为(0,+∞) , ∵f′(x)= ﹣a,∴f′(1)=1﹣a=0,解得:a=1,

————————2 分

∴f′(x)= ,

————————3

分令f′(x)>0,解得:0<x<1,令 f′(x)<0,解得:x>1,

故f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减;

————————4 分

(1)不等式f(x)﹣ +2x+ >k(x﹣1) 可化

为lnx﹣ +x﹣ >k(x﹣1) ,

令g(x)=lnx﹣ +x﹣ ﹣k(x﹣1),(x>1) ,

g′(x)=



————————6 分

∵x>1,令h(x)=﹣x2+(1﹣k)x+1, h(x) 的对称轴是x= , ①当 ≤1 时,即k≥﹣1, 易知 h(x)在(1,x0)上递减,

- 11 -

∴h(x)<h(1)=1﹣k, 若 k≥1,则 h(x)≤0, ∴g′(x)≤0, ∴g(x)在(1,x0)递减, ∴g(x)<g(1)=0,不适合题意. 若 ﹣1≤k<1,则 h(1)>0,

∴必存在 x0 使得 x∈(1,x0)时,g′(x)>0,

∴g(x)在(1,x0)递增, ∴g(x)>g(1)=0 恒成立,适合题意. ②当 >1 时,即k<﹣1,

————————8 分

易知必存在 x0 使得 h(x)在(1,x0)递增, ∴h(x)>h(1)=1﹣k>0,

∴g′(x)>0,∴g(x)在(1,x0)递增,

∴g(x)>g(1)=0 恒成立,适合题意.

————————10

分综上,k 的取值范围是(﹣∞,1) .

————————12



22. (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 过点(1,0) ,倾斜角为 α ,以坐标原点为极

点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 .

(1) 写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程;

(2) 若

,设直线l 与曲线C 交于A,B 两点,求△AOB 的面积.

解: (1)直线L 的参数方程为: 曲线C 的极坐标方程是 转化为直角坐标方程为:y2=8x

(t 为参数) .—————2 分 ,
————————5 分

- 12 -

(2)当

时,直线l 的参数方程为:

(t 为参数) ,

代入y2=8x 得到:

. (t1 和t2 为A 和B 的参数) ,

所以:

,t1t2=﹣16.

所以: O 到AB 的距离为:d=

. .

————————8 分

则:

=



————————10 分

23.设函数 f(x)=|x+3|,g(x)=|2x﹣1|. ( 1) 解不等式 f(x)<g(x) ;

( 2) 若2f(x)+g(x)>ax+4 对任意的实数 x 恒成立,求 a 的取值范围. 解:(1)

由已知得|x+3|<|2x﹣1|,

即|x+3|2<|2x﹣1|2,

————————2

分则有3x2﹣10x﹣8>0,

∴x<﹣ 或x>4,

故不等式的解集是(﹣∞,﹣ )∪(4,+∞) ;

————————5 分

(2)由已知,设 h(x)=2f(x)+g(x)=2|x+3|+|2x﹣1|

=



————————6 分

当 x≤﹣3 时,只需﹣4x﹣5>ax+4 恒成立, 即 ax<﹣4x﹣9, ∵x≤﹣3<0,

∴a>

=﹣4﹣ 恒成立,

∴a>

,∴a>﹣1,

分当﹣3<x< 时,只需7>ax+4 恒成立, 即 ax﹣3<0 恒成立,

只需







————————7
- 13 -

∴﹣1≤a≤6,
当 x≥ 时,只需 4x+5>ax+4 恒成立, 即 ax<4x+1,

∵x≥ >0,∴a<

=4+ 恒成立,

∵4+ >4,且无限趋近于4,
∴a≤4, 综上,a 的取值范围是(﹣1,4].

————————8 分
————————9 分 ————————10 分

- 14 -


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