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【数学】广东省普宁市华侨中学2016-2017学年高一上学期期末考试试卷

广东省普宁市华侨中学 2016-2017 学年高一上学期期末考试 数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合 M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则 M ? N =( A.(﹣2,1) B.(﹣1,1) C.(1,3) ) ) D.(﹣2,3)

2.满足 A∪{﹣1,1}={﹣1,0,1}的集合 A 共有( A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个

3.已知集合 A ? {x | ax2 ? 2x ? a ? 0.a ? R} ,若集合 A 有且仅有 2 个子集,则 a 的取值是 ( A.1 ) B.﹣1 C.0 或 1 D.﹣1,0 或 1 )

4.下列图形中,不能表示以 x 为自变量的函数图象的是(

A.

B. ).

C.

D.

5.下列各组函数表示相同函数的是( A. f(x)= x2,g(x)=( x)2
? ?x,x≥0, g (t ) ?| t | C.f(x)=? ?-x,x<0, ?

B. f(x)=1,g(x)=x2 x2-1 D.f(x)=x+1,g(x)= x-1

6.若 f ( x ) 满足关系式 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ,则 f ( 2) 的值为( A.1 B. ?1 C. ?

1 x



3 2

D.

3 2


7.已知函数 f ( x ) 的定义域为(﹣1,0),则函数 f (2 x ? 1) 的定义域为( A. ( ?1,1) B.(0, ) C. (?1,0)

D.( ,1) ).

cx 3 8.函数 f(x)= (x≠- )满足 f ( f ( x)) ? x ,则常数 c 等于( 2 2x+3 A.3 B.-3 C.3 或-3 D.5 或-3

9.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= A.(-1,0)∪(0,1)

a 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是( x+1 C.(0,1) D.(0,1]

).

B.(-1,0)∪(0,1]

10. f ( x ) 是定义在 (0,??) 上的增函数,则不等式 f ( x) ? f [8( x ? 2)] 的解集是( A. (0,??) 11.已知函数 f ( x) ? A. ? 12 ? a ? 0 B.(0,2)
3



C.(2,+∞)

D. ( 2,

16 ) 7


3x ? 1 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是( ax ? ax ? 3
2

B. a ?

1 3

C. ? 12 ? a ? 0

D. a ?

1 3


?? x 2 ? ax ? 5 ( x ? 1) ? 12.已知函数 f ( x) ? ? a 是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是( ( x ? 1) ? ? x
A. ? 3 ? a ? 0 B. ? 3 ? a ? ?2 C. a ? ?2 D. a ? 0

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知函数 f(x)=x2-2x+3 在闭区间[0,m]上最大值为 3,最小值为 2,则 m 的取值范围为 . 14.已知 y=f(x)是定义在(-2,2)上的增函数,若 f(m-1)<f(1-2m),则 m 的取值范围是 .
2 15 .已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ≤ 0 时, f ( x) ? ? x ? 3x ,则不等式

f ( x ? 1) ? ? x ? 4 的解集是



16.在整数集 Z 中,被 4 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”,记为 ,则下列结论正确的为 ①2014 则 “ ” ; ②-1 ; ③ ; ④命题“整数 满足 ,

”的原命题与逆命题都正确;⑤“整数

属于同一类”的充要条件是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 10 分) 已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) 的解析式.

18.(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , 集合 B 是不等式 x 2 ? mx ? 1 ? 0 对于 x ? R 恒成立的 m
2

?

?

构成的集合. (1)求集合 A 与 B ; (2)求 ?C R A? ? B .

19. (本小题满分12分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D 是 AB 的中点. (1)证明: BC1 / / 平面 A1CD ; (2)设 AA1 ? AC ? CB ? 2 , AB ? 2 2 ,求异面直线 AB1与CD 所成角的大小

20. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) . (1)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并给与证明; (2)若 f (?3) ? a ,试用 a 表示 f (12) .

21. (本小题满分 12 分) 某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本 Q (单位:元 /100kg)与上市时间 t (距 2 月 1 日的天数,单位:天)的数据如下表: 时间 t 成本 Q 50 150 110 108 250 150

(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变 化关系: Q ? at ? b , Q ? at 2 ? bt ? c , Q ? a ? b t , Q ? a ? logb t (简单说明理由),并求出 你所选函数的表达式; (2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本 Q 最低时的上市天数及 最低种植成本.

22. (本小题满分 12 分)

已知 f ( x) ?

2x2 ? a ,且 f (1) ? 3 . x
2 , +∞ ) 上单调递增; 2

(1)试求 a 的值,并用定义证明 f ( x) 在[

( 2)设关于 x 的方程 f ( x) ? x ? b 的两根为 x1 , x2 ,问:是否存在实数 m ,使得不等式

? m m2 ? m ?1 ?| x1 ? x2 | 对任意的 b ? ? ? 2, 13 ? 恒成立?若存在,求出 的取值范围;若不存
在说明理由.

参考答案
1-6 BADBCB 13. 1, 2 14. ? ? 7-12 BBDDAB

? ?

? 1 2? , ? 15. (4, ??) 16.①②③⑤ ? 2 3?

17.解::设 f ( x) ? kx ? b ?k ? 0? , 则 f ( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? b ? kx ? k ? b , f ( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? b ? kx ? k ? b 所以 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ?1) ? 3kx ? 3k ? 3b ? 2kx ? 2k ? 2b ? kx ? 5k ? b 又 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17

? k x ?5 k ? b ? 2 x? 17

?k ? 2 ?k ? 2 ?? ?? , 所求 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2 x ? 7 ?5k ? b ? 17 ?b ? 7
18. 解:(1)集合 A 中的不等式等价于 ( x ? 1)(x ? 3) ? 0 所以: A ? x x ? ?3或x ? 1

?

?
?

因为不等式 x 2 ? mx ? 1 ? 0 对于 x ? R 恒成立,所以 ? ? m 2 ? 4 ? 0 则 ? 2 ? m ? 2 ,即 B ? m ? 2 ? m ? 2 (2)? CR A ? x ? 3 ? x ? 1

?

?

?

??CR A? ? B ? ?x ? 2 ? x ? 1?
19.解:(1)连结 AC1 交 A1C 于 O,连结 DO, 所以 DO 为 ?ABC1 的中位线, DO // BC1 , 又 BC1 ? 面A1 DC, DO ? 面A1 DC ,故 BC1 / / 平面 A1CD 。 (2) 连结 AB1 ,取 BB1 中点 M,连结 DM、CM, 则 DM 是 ?ABB1 的中位线,所以 DM // AB1 , 所以 ?CDM 就是所求异面直线所成角(或补角), 可求 CM ? 5, DM ? 3, CD ?

2 ,满足勾股定理,所以 ?CDM ? 90? ,

故异面直线 AB1与CD 所成角为 ?CDM ? 90? 。

20.解:(1)令 x=y=0,则 f(0)=0,令 y=-x,即 x+y=0,则 f(0)=f(x)+f(-x)=0,则 f(x)=-f(-x) 所以 f(x)是奇函数。 (2)∵f(x)是奇函数,∴f(3)=-f(-3)=-a ∴令 x=y,得 f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x) ∴f(12)=2f(6)=4f(3)=-4a 21.解: (1)由表格数据可知,随着时间 t 的增大,种植成本 Q 先减后增;而这些函数中 除了 Q ? at 2 ? bt ? c 之外的三个函数都是单调函数,因而均不适合描述西红柿种植成本与 上市时间之间的变化关系 .应当选择 Q ? at2 ? bt ? c 作为描述西红柿种植成本 Q 与上市时 间 t 变化关系的函数模型.由题意有







∴ (2)由二次函数性质可知,当 t ? 150 (天)时,西红柿的种植成本最低,此时的最低种植 成本 Q ? 100 (元 /10 kg)
2

22. 解:(1)

f (1) ? 3,? a ? 1

2 x2 ? 1 2 ,+∞ ) 上任意两个实数且 x1 ? x2 ,设 x1 , x2 是[ ? f ( x) ? 2 x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 ?

x ?x 1 1 1 ? 2 x2 ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 1 ? ( x1 ? x2 )(2 ? ) x1 x2 x1 x2 x1 x2

2 ? x1 ? x2 2
又 x1 ? x2 ? 0 ∴函数 f ( x) 在[ (2)

? x1 x2 ? x12 ?

1 2

?0 ?

1 1 ? 2 ?2 ? ?0 x1 x2 x1 x2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
2 , +∞ ) 上单调递增 2

? f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x) ? x ? b

? x2 ? bx ? 1 ? 0

由韦达定理: x1 ? x2 ? b

x1x2 ? 1

? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? b 2 ? 4
又 2 ? b ? 13

? 0 ? x1 ? x2 ? 3

2 ? 假设存在实数 m ,使得不等式 m ? m ? 1 ?| x1 ? x2 | 对任意的 b ? ? ? 2, 13 ? 恒成立

则只需 m ? m ? 1 ? (| x1 ? x2 |)max ? 3
2

?m2 ? m ? 1 ? 3 , m2 ? m ? 2 ? 0 ,而 m2 ? m ? 2 ? 0 的两根为 m ? ?2或m ? 1 ,
结合二次函数的图象有: m ? ?2或m ? 1 , 故存在满足题意的实数 m,且 m 的取值范围为 m ? ?2或m ? 1


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