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高三体艺生基础练习 第1讲 集合的概念与运算


第1讲

集合的概念与运算
一、基础梳理

李建明

1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法. (4)常用数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数集 Z;有理数集 Q;实数集 R. 2.集合间的基本关系 (1)子集:对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). (2)真子集:若 A?B,且 A≠B,则 A? B(或 B? A). (3)空集:空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集.即??A,?? B(B≠?). (4)若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,A 的非空子集有 2n-1 个. (5)集合相等:若 A?B,且 B?A,则 A=B. 3.集合的基本运算 (1)并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. (2)交集:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. (3)补集:?UA={x|x∈U,且 x?A}. (4)集合的运算性质 ①A∪B=A?B?A,A∩B=A?A?B;②A∩A=A,A∩?=?; ③A∪A=A,A∪?=A;④A∩?UA=?,A∪?UA=U,?U(?UA)=A. 4. 三个防范 (1)空集在解题时有特殊地位, 它是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集, 时刻关注对空集的讨论, 防止漏解. (2) 认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形). (3)在解决含参数的集合问题时,要检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误.

二、双基自测
1. 设 A ? {x ? N |1 ? x ? 6} ,则下列正确的是( 2. 给出下列关系:① ). A. 6 ? A B. 0 ? A C. 3 ? A D. 3.5 ? A ).

1 ? R ;② 2 ? Q ;③ ?3 ? N? ;④ ? 3 ? Q. 其中正确的个数为( 2 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4. 用列举法表示集合 A ? {x ? Z | 5 ? x ? 10} 为 .

5. 集合 A={x|x=2n 且 n∈N}, B ? {x | x2 ? 6x ? 5 ? 0} ,用∈或 ?填空: 4 A,4 B,5 6. 用适当的符号填空. {a, b, c} , a {a, b, c} ; {x | x2 ? 3 ? 0} , ? (1) {a, b} (2) ?
{0,1} ,Q (3)N N; (4) {0} {x | x ? x 0.} ? 7.(人教 A 版教材习题改编)设集合 A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则 A∪B 等于(
2

A,5 R; ).

B.

A.{x|3≤x<4} B.{x|x≥3} C.{x|x>2} 8.(2011· 浙江)若 P={x|x<1},Q={x|x>-1},则(

D.{x|x≥2} ). A.P?Q B.Q?P C.?RP?Q D.Q??RP

9.(人教 A 版教材习题改编)已知集合 A={1,3,m},B={3,4},A∪B={1,2,3,4},则 m=________. 10.[2011· 课标全国卷] 已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集共有(
1

)

A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 11.设全集 U=R,A={x∈N︱1≤x≤10},B={x∈R︱x2+x-6=0},则下图 K1-1 中阴影表示的集合为(

)

图 K1-1 A.{2} B.{3} C.{-3,2} D.{-2,3} 12.[2011· 扬州模拟] 设全集 U={x∈N*|x<6},集合 A={1,3},B={3,5},则?U(A∪B)=( A.{1,4} B.{1,5} C.{2,4} D.{2,5} 13.[2011· 雅礼中学月考] 已知集合 M={0,1,2},N={x|x=-a,a∈M},则集合 M∩N=( A.{0,-1} B.{0} C.{-1,-2} D.{0,-2} 14. 设 A ? ?x x ? 1?, B ? ?x x ? a? ,且 A ? B ,则实数 a 的取值范围为( ). A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? 1 D. a ? 1

) )

三考点考向

考向一

集合的概念

【例 1】?已知集合 A={m+2,2m2+m},若 3∈A,则 m 的值为________.

练习. 设 x∈R,集合 A ? {3, x, x ? 2 x} . (1)求元素 x 所应满足的条件;
2

(2)若 ?2 ? A ,求实数 x.

考向二

集合的基本运算

1 【例 2】?若关于 x 的方程 3x2+px-7=0 的解集为 A,方程 3x2-7x+q=0 的解集为 B,且 A∩B={ ? },求 A ? B . 3

【例 3】?已知集合 A={-1,2},B={x|mx+1=0},若 A∪B=A,则 m 的值为________.

练习 1.[2011· 锦州质检] 已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,3,5,7},B={3,5},则下列式子一定成立的是( A.?UB??UA B.(?UA)∪(?UB)=U C.A∩?UB=? D.B∩?UA=? 2. 设集合 A={-1,0,1},B={0,1,2},若 x ? A? 且 x ? B? 则 x 等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 )

)

3.已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}且 B≠?,若 A∪B=A,则 m 的取值范围是( A.-3≤m≤4 B.-3<m<4 C.2<m<4 D.2<m≤4 4. 已知集合 A={a,b,2},?B=?{ ? b ? 2a },且 A ? B ? A ? B? 则 a= 2 2 .

2

考向三

集合间的基本关系

【例 4】?集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}. (1)若 B?A,求实数 m 的取值范围; (2)当 x∈Z 时,求 A 的非空真子集的个数; (3)当 x∈R 时,若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围.

练习 设 A ? {x | x2 ? 4x ? 0}, B ? {x | x2 ? 2(a ? 1) x ? a2 ?1 ? 0}, x ? R ,如果 A∩B=B,求实数 a 的取值范围。

考向四

子集个数求法
)

【例 5】?设集合 A={a,b},则满足 A∪B={a,b,c,d}的所有集合 B 的个数是( A.1 B.4 C.8 D.16 练习

1. 满足 M ? ?a1,a2,a3,a4 ? ,且 M ? ?a1,a2,a3? ? ?a1,a2 ? 的集合 M 的个数是( 2. 已知集合 A ? {1,2,3,4} ,那么 A 的真子集的个数是( ) (A)15(B)16 3 写出集合 {a, b, c} 的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集. 4 写出集合 {0,1, 2} 的所有真子集组成的集合.

) (D)4

(C)3

考向五

集合中元素分析法
) D.{2,4}

1 【例 6】?.已知集合 A={1,2,3,4},B={y|y= x,x∈A},则 A∩B=( 2 A.{1,2,3,4} 1.集合 P ? {x | y ? A、P=Q B.{1,2} 练习 C.{1,3}

x ?1} ,集合 Q ? {y | y ? x ?1} ,则 P 与 Q 的关系是
B、P Q C、P ? Q

? 2.(全国Ⅳ理科)已知集合 M ? {0,1,2}, N ? {x | x ? 2a, a ? M } ,则集合 M ? N =(
A.{0} B.{0,1} C.{1,2} D.{0,2} 3. 一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x 的图象的交点组成的集合是( A. {1, ?2} B. {x ? 1, y ? ?2} C. {( ?2,1)} ).

( ) D、P∩Q=? )

?y ? x ? 3 } D. {( x, y ) | ? ? y ? ?2 x 4. 设集合 A ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? N , y ? N} ,试用列举法表示集合 A.

考向六
A.7 B.10 C.25 D.25 练习

新概念试题

【例 7】?.设集合 A={-1,0,1},集合 B={0,1,2,3},定义 A*B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则 A*B 中元素的个数为

设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P ? Q ? {a ? b | a ? P, b ? Q},

若P ? {0, 2,5}, Q ? {1,2,6} ,则 P+Q 中元素的个数是(
3



A.9

B.8 C.7

D.6

四、综合练习
1.(2011 年江西)若全集 U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于( ) A.M∪N B.M∩N C.(?UM)∪(?UN) D.(?UM)∩(?UN) 2.(2011 年湖南)设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩?UN={2,4},则 N=( ) A.{1,2,3} B.{1,3,5} C.{1,4,5} D.{2,3,4} 3.(2011 年上海)若全集 U=R,集合 A={x|x≥1}∪{x|x≤0},则?UA=________________. 4.(2011· 浙江温州)设全集 U=R,A={x|x<-3 或 x≥2},B={x|-1<x<5},则集合{x|-1<x<2}是( A.(?UA)∪(?UB)
2

)

B.?U(A∪B)

C.(?UA)∩B

D.A∩B

5.已知集合 A={0,2,a },B={1,a},若 A∪B={0,1,2,4},则实数 a 的值为________. 6. (辽宁文、理)设集合 A ? ?1 2? ,则满足 A ? B ? ?1 2 3? 的集合 B 的个数是( , , , A.1 B.3 C.4 D.8 7.(天津文)设集合 A ? {x 0 ? x ? 3且x ?N}的真子集的个数是 ( ... (A) 16 (A) ?3? (B) 8 ) ) (C) 7 (D) 4
2



8. (安徽文)若 A ? x x ? 1?, B ? x x ? 2 x ? 3 ? 0?,则 A ? B =(
2

?

?

(B) ? ? 1

(C) ?

(D) ?? 1? =R,则实数 a 的取值范围是
2

9. (福建理)已知集合 A={x|x<a},B={x|1<x<2},且

10. (北京理科)设全集 U=R,集合 M={x| x>1},P={x| x >1},则下列关系中正确的是( A.M=P B.P M C.M P( D) C U M ? P ? ?



11.(全国文科) 设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z 且|x|≤5},则 A∪B 中的元素个数是 12. 已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} , B ? {x | x ? 2} ,且满足 A ? B ,则实数 a 的取值范围为 . 13.(江西文、理) 定义集合运算: A ? B ? z z ? xy, x ? A, y ? B .设 A ? ?1,2? , B ? ?0,2? ,则集合 A ? B 的所有元 素之和为 ( )A.0 B.2 C.3 D.6 14.定义集合 A、B 的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,其中 x1∈A,x2∈B},若 A={1,2,3},B={1,2},则 A*B 中所有元 素之和为( ) A.9 B.14 C.18 D.21

?

?

15.(山东文、理)定义集合运算:A⊙ B={z︳z= xy(x+y),x∈ A,y∈ ,设集合 A={0,1} B} ,B={2,3} ,则集合 A⊙ B 的所有元素之和为( ) (A)0 (B)6 (C)12 (D)18

16. 若集合 A ? {?1,3} ,集合 B ? {x | x2 ? ax ? b ? 0} ,且 A ? B ,求实数 a、b.

17.已知集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}. (1)若 A 是空集,求 a 的取值范围; (2)若 A 中只有一个元素,求 a 的值,并把这个元素写出来; (3)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围.

4


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