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2009年漳州市高中数学竞赛(试卷)


2009 年漳州市高中数学竞赛(高二年)
一、填空(本大题共 10 小题,每小题 7 分,满分 70 分,请直接将答案写在题中 的横线上) 1.已知 ?,? 圴为锐角,且满足 sin 2 ? = cos (? - ? ) ,则 ? 与 ? 的关系是 2.设 F1 , F2 为椭圆
x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,P 为椭圆上任意一点,则 PF ? PF2 的 1 25 9

最大值与最小值的和为 3.空间四边形的两组对边的平方和相等,则它的两条对角线所成的角为 4.长度为 18 的线段随机地分成三段,这三段能够构成三角形的概率为
x 2 ? sin x ? 2cos x 5.若函数 f ( x) ? 在区间 ? ?l , l ? (l ? 0) 上的值域为 ?n, m? , m ? n = 则 2cos x ? x 2

6.若数列 ?an ? 是单调递增数列,且 an ? ?3an?1 ? 2n?1 , n ? 1, 2,3,? ;则首项 a0 的值 等于 7.不等式

4x2 ? 2 x ? 9 的解集为 (1 ? 1 ? 2 x )2

? x2 ? x ? ? ? 19 x ? 99 的实数解 x 是 8. ? x ? 表示不大于 x 的最大整数,则方程 ? 2 ??? ? ??? ? 9.在 Rt ?ABC 中,已知 AB ? (2,3), AC ? (1, k ) ,则 k 的值为
10.已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ( x) 的全体:存在非零常数 T,对任意
x ? R ,恒有 f ( x ? T ) ? T ? f ( x) 成立,现有函数 f ( x) ? sin kx ? M ,则实数 k 的取

值范围是 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,满分 80 分,要求写出解答过程) 11.对于函数 f ( x) , 若存在 x0 ? R , 使得 f ( x0 ) ? x0 成立, 则称点 ( x0 , x0 ) 为函数 f ( x) 的不动点。 (1)令 g ( x) ? f ( f ( x)) ,求证:点 ( x0 , x0 ) 是函数 f ( x) 的不动点,则点 ( x0 , x0 ) 必 是 g ( x) 的不动点。 (2)若对于任意实数 b,函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? b 总有 2 个相异的不动点,求实数 a 的取值范围。
1

(3)若定义在 R 上的奇函数 f ( x) 存在 n 个不动点,则 n 必为奇数。

2

x2 y 2 ? 1 内一点 M (3, 2) ,作直线 AB 与椭圆交于点 A、B,作直线 12.过椭圆 ? 25 9

CD 与椭圆交于 C、D,过 A、B 分别作椭圆的切线交于点 P,过 C、D 分别作椭 圆的切线交于点 Q,求 P、Q 连线所在的直线方程。

y A C M O B D Q P x

13.设 P , P2 ,?, P ,? 是曲线 y ? x 上的点列, Q1 , Q2 ,?, Qn ,?是 x 正半轴上的点 1 n 列,且 ?OQ1P , ?Q1Q2 P2 , ?Q2Q3 P ,?, ?QnQn?1Pn?1,? 均是等边三角形,又设它们的 1 3 边长分别是 a1 , a2 ,?, an ,? ; Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,求 Sn 。

y
P1 P2 P3

Pn

x
Q3 Q n-1 Qn

O

Q1 Q2

3

14.设 x, y, z ? R? 且 x ? y ? z ? 1 ,求三元函数 f ( x, y, z ) ? 的最小值,并给予证明。

3x 2 ? x 3 y 2 ? y 3z 2 ? z ? ? 1 ? x2 1? y2 1? z2

2009 年漳州市高中数学竞赛(高二年)
一、填空(本大题共 10 小题,每小题 7 分,满分 70 分,请直接将答案写在题中 的横线上) 1.已知 ?,? 圴为锐角,且满足 sin 2 ? = cos (? - ? ) ,则 ? 与 ? 的关系是

? ??

x2 y 2 ? 1 的两个焦点,P 为椭圆上任意一点,则 PF ? PF2 的 2.设 F1 , F2 为椭圆 ? 1 25 9

最大值与最小值的和为

34 90° 0.25

3.空间四边形的两组对边的平方和相等,则它的两条对角线所成的角为 4.长度为 18 的线段随机地分成三段,这三段能够构成三角形的概率为 5.若函数 f ( x) ? 2

x 2 ? sin x ? 2cos x 在区间 ? ?l , l ? (l ? 0) 上的值域为 ?n, m? , m ? n = 则 2cos x ? x 2

6.若数列 ?an ? 是单调递增数列,且 an ? ?3an?1 ? 2n?1 , n ? 1, 2,3,? ;则首项 a0 的值 等于
1 5

4

4x2 7.不等式 ? 2 x ? 9 的解集为 (1 ? 1 ? 2 x )2

? 1 ?? 2 , ?

? ? 45 ? 0? ? ? 0 , ? ? ? 8 ?

? x2 ? x ? ? ? 19 x ? 99 的实数解 x 是 8. ? x ? 表示不大于 x 的最大整数,则方程 ? 2
x?? 181 1578 或x ? 38 38

??? ? ??? ? 9.在 Rt ?ABC 中,已知 AB ? (2,3), AC ? (1, k ) ,则 k 的值为

2 11 ? 3 13 ? , , 3 3 2

10.已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ( x) 的全体:存在非零常数 T,对任意
x ? R ,恒有 f ( x ? T ) ? T ? f ( x) 成立,现有函数 f ( x) ? sin kx ? M ,则实数 k 的取

值范围是

?k k ? m? , m ? Z ?

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,满分 80 分,要求写出解答过程) 11.对于函数 f ( x) , 若存在 x0 ? R , 使得 f ( x0 ) ? x0 成立, 则称点 ( x0 , x0 ) 为函数 f ( x) 的不动点。 (1)令 g ( x) ? f ( f ( x)) ,求证:点 ( x0 , x0 ) 是函数 f ( x) 的不动点,则点 ( x0 , x0 ) 必 是 g ( x) 的不动点。 (2)若对于任意实数 b,函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? b 总有 2 个相异的不动点,求实数 a 的取值范围。 (3)若定义在 R 上的奇函数 f ( x) 存在 n 个不动点,则 n 必为奇数。 证明(1) :由不动点的定义知 f ( x0 ) ? x0 , 从而 g ( x0 ) ? f ( f ( x0 )) = f ( x0 ) ? x0

? ( x0 , x0 ) 是 g ( x) 的不动点。
(2)由条件知,方程 f ( x) ? x 有两个不等实根, 即 ax2 ? (b ?1) x ? b ? 0 有两个不等实根,?? ? (b ? 1)2 ? 4ab ? 0 恒成立, 即对任意实数 b, b2 ? (4a ? 2)b ? 1 ? 0 恒成立。

??? ? (4a ? 2)2 ? 4 ? 0 ,即 16a(a ? 1) ? 0 ,
解得 0 ? a ? 1 。 (3)由于 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,从而 f (0) ? 0 ,

5

即 (0, 0) 是 f ( x) 的一个不动点。 若 f ( x) 有异于零的不动点 ( x0 , x0 ) , ( x0 ? 0) 则有 f ( x0 ) ? x0 ,

从而 f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) ? ? x0 ,即 (? x0 , ? x0 ) 亦是 f ( x) 的不动点,

? f ( x) 的非零不动点均为成对出现,
共有 2k 个,由于 (0, 0) 是 f ( x) 的不动点,

? f ( x) 的不动点共有 2k ? 1 个。
x2 y 2 ? 1 内一点 M (3, 2) ,作直线 AB 与椭圆交于点 A、B,作直线 12.过椭圆 ? 25 9

CD 与椭圆交于 C、D,过 A、B 分别作椭圆的切线交于点 P,过 C、D 分别作椭 圆的切线交于点 Q,求 P、Q 连线所在的直线方程。 解:如图,过点 A、B、C、D 的切线方程分别为
lPA : lPB : lQC : xA x y A y ? ? 1, 25 9 xB x y B y ? ? 1, 25 9 xC x yC y ? ? 1, 25 9

y A C M O B D Q P x

lQD :

xD x y D y ? ? 1, 25 9

因点 P( xP , yP ) 在 PA,PB 上,则 P( xP , yP ) 在 PA,PB 上,则
x A xP y A y P x x y y ? ? 1, B P ? B P ? 1, 25 9 25 9

这表明 A( xA , yA ), B( xB , yB ) 在直线 由于两点决定一直线,? l AB 为 同理,CD 所在的直线方程为

xP x y P y ? ? 1 上。 25 9

xP x y P y ? ? 1, 25 9

xQ x 25

?

yQ y 9

? 1,

因为 AB 与 CD 相交于 M (3, 2) 所以 M 点坐标分别满足 AB,CD 直线方程, 因此
3x 2y 3 xP 2 y P 3x 2 y ? ? 1, Q ? Q ? 1 。这表明 P、Q 在直线 ? ? 1 上,由两点决 25 9 25 9 25 9

6

定一条直线知,PQ 所在直线方程为

3x 2 y ? ? 1。 25 9

13.设 P , P2 ,?, P ,? 是曲线 y ? x 上的点列, Q1 , Q2 ,?, Qn ,?是 x 正半轴上的点 1 n 列,且 ?OQ1P , ?Q1Q2 P2 , ?Q2Q3 P ,?, ?QnQn?1Pn?1,? 均是等边三角形,又设它们的 1 3 边长分别是 a1 , a2 ,?, an ,? ; Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,求 Sn 。 解:如图, Qn?1 的坐标为 直线 Qn?1Pn 的 Qn?1 (Sn?1, 0) , 方程为 y ? 3( x ? Sn?1 ) , 因 此点 Pn 的坐标满足
? y ? 3( x ? S n ?1 ) ? , ? y? x ? ?

y
P1 P2 P3

Pn

x
Q3 Q n-1 Qn

O

Q1 Q2

消去 x 得,

3y2 ? y ? 3Sn?1 ? 0
又 an ?

?y ?0

?y ?

1 ? 1? 1Sn?1 2 2 3

y ,故 3an ? 1 ? 1 ? 12Sn?1 sin 60?

从而 (3an ?1)2 ? 1 ? 12Sn?1 ,

3an 2 ? 2an ? 4Sn?1
两式相减得

从而 3an?12 ? 2an?1 ? 4Sn

3(an?12 ? an2 ) ? 2(an?1 ? an ) ? 4an
已知 an ? 0

? (an?1 ? an ) ?3(an?1 ? an ) ? 2? ? 0
? an ?1 ? an ?

2 2 ,因此 ?an ? 是以 为公差的等差数列。 3 3

易得: a1 ?

2 n(n ? 1) 1 d ? n(n ? 1) ,故 S n ? na1 ? 3 2 3

14.设 x, y, z ? R? 且 x ? y ? z ? 1 ,求三元函数 f ( x, y, z ) ? 的最小值,并给予证明。 证明:构造函数 g (t ) ?
t , t ? (0,1) 1? t2

3x 2 ? x 3 y 2 ? y 3z 2 ? z ? ? 1 ? x2 1? y2 1? z2

7

则 g (t ) ?

1 1 ?t t

1 由于 0 ? t ? 1 时, ? t 单调递减,故 g (t ) 在 (0,1) 内单调递增。 t

? 对于 x1 ? x2 且 x1 , x2 ? (0,1) 有
( x1 ? x2 )( g ( x1 ) ? g ( x2 )) ? 0
取 x1 =x ? 0, , x2 = ( 1)
1 3



1 x 3 ( x ? )( ? )?0 2 3 1 ? x 10

(3x 2 ? x) 1 即 ? (3x ? 1) ? 0 3(1 ? x 2 ) 10
? 3x 2 ? x 3 ? (3x ? 1) 1 ? x 2 10

同理有

3y2 ? y 3 ? (3 y ? 1) 1 ? y 2 10
3z 2 ? z 3 ? (3z ? 1) 1 ? z 2 10

从而 f ( x, y, z ) ?
?x ? y ? z ?1

3x 2 ? x 3 y 2 ? y 3z 2 ? z 3 ? ? ? ?3( x ? y ? z ) ? 3? 1 ? x2 1? y2 1 ? z 2 10

f ( x, y, z? ) f ( x, y, z? ) 0 0

当x? y? z ?

1 时 3

故所求最小值为 0.

8


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