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腾冲市高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

腾冲市高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AA1=2AB=2AD, G 为 CC1 中点, 则直线 A1C1 与 BG 所成角的大小是 ( )

座号_____

姓名__________

分数__________

A.30° B.45° C.60° D.120° 2. 一个算法的程序框图如图所示,若运行该程序后输出的结果为 ,则判断框中应填入的条件是( )

A.i≤5?B.i≤4? C.i≥4? D.i≥5? 3. 已知 a∈R,复数 z=(a﹣2i)(1+i)(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为 M,则“a=0”是“点 M 在第四 象限”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 利用计算机在区间(0,1)上产生随机数 a,则不等式 ln(3a﹣1)<0 成立的概率是( A. B. C. D. )

5. 定义运算: a ? b ? ? A. ? ?

? a, a ? b .例如 1? 2 ? 1,则函数 f ? x ? ? sin x ? cos x 的值域为( ?b, a ? b
B. ?1,1

) D. ? ?1,

? ?

2 2? , ? 2 2 ?

?

?

C. ?

? 2 ? ,1? ? 2 ?

? ?

2? ? 2 ?

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6. 直线 :

( 为参数)与圆



( 为参数)的位置关系是(



A.相离

7. 已知函数 f ( x) ? 3x ? 2ax ? a ,其中 a ? (0,3] , f ( x) ? 0 对任意的 x ?? ?1,1? 都成立,在 1
2 2

B.相切

C.相交且过圆心

D.相交但不过圆心

和两数间插入 2015 个数,使之与 1,构成等比数列,设插入的这 2015 个数的成绩为 T ,则 T ? ( A. 2
2015

) D. 2
2015 2

B. 3 ) D.﹣

2015

C. 3

2015 2

8. sin570°的值是( A. B.﹣ C.

9. 设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣2)=0,当 x>0 时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使 得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( ∪(0,2) 10.已知函数 f(x)的图象如图,则它的一个可能的解析式为( ) ) D. 0) (﹣2, A.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) B.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) C.(﹣2,0)∪(2,+∞)

A.y=2

B.y=log3(x+1) C.y=4﹣ )

D.y=

2+2z 11.复数满足 =iz,则 z 等于( 1-i A.1+i C.1-i 12.过点(2,﹣2)且与双曲线 A. ﹣ =1 B. ﹣

B.-1+i D.-1-i
2 ﹣y =1 有公共渐近线的双曲线方程是(

) ﹣ =1

=1

C.



=1

D.

二、填空题
13.已知数列{an}满足 an+1=e+an(n∈N*,e=2.71828)且 a3=4e,则 a2015= 14.设 α 为锐角,若 sin(α﹣ )= ,则 cos2α= . .

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15.设某总体是由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成,利用下面的随机数表选取 6 个个体,选取方 法是从随机数表第 1 行的第 3 列数字开始从左到右依次选取两个数字,则选出来的第 6 个个体编号为 ________. 1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619 6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238 【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识,意在考查统计的思想. 16.在 ?ABC 中,有等式:① a sin A ? b sin B ;② a sin B ? b sin A ;③ a cos B ? b cos A ;④

a b?c ? .其中恒成立的等式序号为_________. sin A sin B ? sin C 17.直线 x ? 2 y ? t ? 0 与抛物线 y 2 ? 16 x 交于 A , B 两点,且与 x 轴负半轴相交,若 O 为坐标原点,则
?OAB 面积的最大值为
问题的能力. 18.一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截去一部分后,所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ________. . 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,意在考查分析问题以及解决

三、解答题
19.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过 8 万元时,按销售利润的 15%进行奖励; 当销售利润超过 8 万元时,若超出 A 万元,则超出部分按 log5(2A+1)进行奖励.记奖金为 y(单位:万元), 销售利润为 x(单位:万元). (1)写出奖金 y 关于销售利润 x 的关系式; (2)如果业务员小江获得 3.2 万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?

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20.(本小题满分 12 分)已知等差数列{ an }满足: an?1 ? an ( n ? N ), a1 ? 1,该数列的 前三项分别加上 1,1,3 后成等比数列,且 an ? 2 log2 bn ? ?1 . (1)求数列{ an },{ bn }的通项公式; (2)求数列{ an ? bn }的前项和 Tn .

?

21.已知椭圆 (Ⅰ)求椭圆 的方程; 交于 、

的离心率

,且点

在椭圆

上.

(Ⅱ)直线 与椭圆 面积的最大值.

两点,且线段

的垂直平分线经过点

.求



为坐标原点)

22.如图,四边形 ABCD 与 A′ABB′都是边长为 a 的正方形,点 E 是 A′A 的中点,AA′⊥平面 ABCD. (1)求证:A′C∥平面 BDE; (2)求体积 VA′﹣ABCD 与 VE﹣ABD 的比值.

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23.甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用 7 场 4 胜制,每场必须分出胜负,场与场之间互不影响,只要有一队获 胜 4 场就结束比赛.现已比赛了 4 场,且甲篮球队胜 3 场.已知甲球队第 5,6 场获胜的概率均为 ,但由于 体力原因,第 7 场获胜的概率为 . (Ⅰ)求甲队分别以 4:2,4:3 获胜的概率; (Ⅱ)设 X 表示决出冠军时比赛的场数,求 X 的分布列及数学期望.

24.已知函数 (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的值域.

(a≠0)是奇函数,并且函数 f(x)的图象经过点(1,3),

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腾冲市高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 设 AA1=2AB=2AD=2, A1(1,0,2),C1(0,1,2), B(1,1,0),G(0,1,1), 设直线 A1C1 与 BG 所成角为 θ, cosθ= ∴θ=60°. 故选:C. = = , =(﹣1,1,0), =(﹣1,0,1),

【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力,解题时要注意向 量法的合理运用. 2. 【答案】 B 【解析】解:模拟执行程序框图,可得 i=1,sum=0,s=0 满足条件,i=2,sum=1,s= 满足条件,i=3,sum=2,s= 满足条件,i=4,sum=3,s= + + +

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满足条件,i=5,sum=4,s=

+

+

+

=1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ = .

由题意,此时不满足条件,退出循环,输出 s 的 ,则判断框中应填入的条件是 i≤4. 故选:B. 【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的 考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考 试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误. 3. 【答案】A 【解析】解:若 a=0,则 z=﹣2i(1+i)=2﹣2i,点 M 在第四象限,是充分条件, 若点 M 在第四象限,则 z=(a+2)+(a﹣2)i,推出﹣2<a<2,推不出 a=0,不是必要条件; 故选:A. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查了复数问题,是一道基础题. 4. 【答案】C 【解析】解:由 ln(3a﹣1)<0 得 <a< , 则用计算机在区间(0,1)上产生随机数 a,不等式 ln(3a﹣1)<0 成立的概率是 P= , 故选:C. 5. 【答案】D 【解析】

考 点:1、分段函数的解析式;2、三角函数的最值及新定义问题. 6. 【答案】D 【解析】【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化 【试题解析】将参数方程化普通方程为:直线 : 圆心(2,1),半径 2.
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圆心到直线的距离为: 又圆心不在直线上,所以直线不过圆心。 故答案为:D 7. 【答案】C 【解析】

,所以直线与圆相交。

试题分析:因为函数 f ( x) ? 3x2 ? 2ax ? a 2 , f ( x) ? 0 对任意的 x ?? ?1,1? 都成立,所以 ?

? ? f ? ?1? ? 0 ,解得 ? ? f ?1? ? 0
2015

a ? 3 或 a ? ?1 ,又因为 a ? (0,3] ,所以 a ? 3 ,在和两数间插入 a1, a2 ...a2015 共 2015 个数,使之与,构成等
2 T ? a1 a2 ...a2015 , 比数列, 两式相乘, 根据等比数列的性质得 T ? ? a1a2015 ? T ? a2015 a2 ...a1 ,

? ?1? 3?

2015



T ?3

2015 2

,故选 C.

考点:1、不等式恒成立问题;2、等比数列的性质及倒序相乘的应用. 8. 【答案】B 【解析】解:原式=sin(720°﹣150°)=﹣sin150°=﹣ . 故选 B 【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 9. 【答案】A 【解析】解:设 g(x)= g′(x)= , ,则 g(x)的导数为:

∵当 x>0 时总有 xf′(x)﹣f(x)<0 成立, 即当 x>0 时,g′(x)<0, ∴当 x>0 时,函数 g(x)为减函数, 又∵g(﹣x)= = = =g(x),

∴函数 g(x)为定义域上的偶函数, ∴x<0 时,函数 g(x)是增函数, 又∵g(﹣2)= =0=g(2),

∴x>0 时,由 f(x)>0,得:g(x)<g(2),解得:0<x<2, x<0 时,由 f(x)>0,得:g(x)>g(﹣2),解得:x<﹣2, ∴f(x)>0 成立的 x 的取值范围是:(﹣∞,﹣2)∪(0,2).

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故选:A. 10.【答案】C 【解析】解:由图可得,y=4 为函数图象的渐近线, 函数 y=2 ,y=log3(x+1),y= 的值域均含 4, 即 y=4 不是它们的渐近线, 函数 y=4﹣ 的值域为(﹣∞,4)∪(4,+∞),

故 y=4 为函数图象的渐近线, 故选:C 【点评】本题考查的知识点是函数的图象,函数的值域,难度中档. 11.【答案】 2+2z 【解析】解析:选 D.法一:由 =iz 得 1-i 2+2z=iz+z, 即(1-i)z=-2, -2 -2(1+i) ∴z= = =-1-i. 2 1-i 法二:设 z=a+bi(a,b∈R), ∴2+2(a+bi)=(1-i)i(a+bi), 即 2+2a+2bi=a-b+(a+b)i,

? ?2+2a=a-b ∴? , ?2b=a+b ?
∴a=b=-1,故 z=-1-i. 12.【答案】A 【解析】解:设所求双曲线方程为 把(2,﹣2)代入方程
2 ﹣y =λ, 2 ﹣y =λ,

解得 λ=﹣2.由此可求得所求双曲线的方程为 故选 A.



【点评】本题考查双曲线的渐近线方程,解题时要注意公式的灵活运用.

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二、填空题
13.【答案】 2016 . 【解析】解:由 an+1=e+an,得 an+1﹣an=e, ∴数列{an}是以 e 为公差的等差数列, 则 a1=a3﹣2e=4e﹣2e=2e, ∴a2015=a1+2014e=2e+2014e=2016e. 故答案为:2016e. 【点评】本题考查了数列递推式,考查了等差数列的通项公式,是基础题. 14.【答案】 ﹣ . )= ,

【解析】解:∵α 为锐角,若 sin(α﹣ ∴cos(α﹣ ∴sin
2 ∴cos2α=1﹣2sin α=﹣

)=

, = . [sin(α﹣ )+cos(α﹣ )]= ,

故答案为:﹣



【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式,二倍角的余弦函数公式的应用,属于基础题. 15.【答案】19 【解析】由题意可得,选取的这 6 个个体分别为 18,07,17,16,09,19,故选出的第 6 个个体编号为 19. 16.【答案】②④ 【解析】 试题分析:对于①中,由正弦定理可知 a sin A ? b sin B ,推出 A ? B 或 A ? B ?

?

2 形或直角三角形,所以不正确;对于②中, a sin B ? b sin A ,即 sin A sin B ? sin B sin A 恒成立,所以是正
确的;对于③中, a cos B ? b cos A ,可得 sin( B ? A) ? 0 ,不满足一般三角形,所以不正确;对于④中,由 正弦定理以及合分比定理可知

,所以三角形为等腰三角

a b?c ? 是正确,故选选②④.1 sin A sin B ? sin C

考点:正弦定理;三角恒等变换. 17.【答案】

512 3 9

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18.【答案】 【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】正方体 则截面为 即截去一个三棱锥 所以该几何体的体积为: 故答案为: 其体积为: 中,BC 中点为 E,CD 中点为 F,

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)由题意,当销售利润不超过 8 万元时,按销售利润的 1%进行奖励;当销售利润超过 8 万 元时,若超出 A 万元,则超出部分按 log5(2A+1)进行奖励, ∴0<x≤8 时,y=0.15x;x>8 时,y=1.2+log5(2x﹣15) ∴奖金 y 关于销售利润 x 的关系式 y= (2)由题意知 1.2+log5(2x﹣15)=3.2,解得 x=20. 所以,小江的销售利润是 20 万元. 【点评】本题以实际问题为载体,考查函数模型的构建,考查学生的计算能力,属于中档题.

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20.【答案】(1) an ? 2n ? 1, bn ? 【解析】

1 2n ? 3 ;(2) Tn ? 3 ? . n 2n 2

试题分析:(Ⅰ1)设 d 为等差数列 ?an ?的公差,且 d ? 0 ,利用数列的前三项分别加上 1,1,3 后成等比数列,

1 3 3 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n 利用错位相减法求和即可. 1 2 2 2 2 d d ? 0 试题解析:解:(1)设 为等差数列 ?an ?的公差, ,
求出 d ,然后求解 bn ;(2)写出 Tn ? 由 a1 ? 1, a2 ? 1 ? d , a3 ? 1 ? 2d ,分别加上 1,1,3 后成等比数列,111.Com] 所以 (2 ? d ) 2 ? 2(4 ? 2d ) ∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 又 an ? ?2 log2 bn ? 1 ∴ log2 bn ? ?n ,即 bn ?

? d ? 0 ,? d ? 2
1 2n
(6 分)

考点:数列的求和. 21.【答案】 【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆 【试题解析】(Ⅰ)由已知 点 在椭圆上, ,解得 , .

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所求椭圆方程为 (Ⅱ)设 当直线 , 的斜率 时, , 的垂直平分线过点 , 的斜率 存在.

当且仅当 当直线 的斜率 消去 由 . , , 时, 设 得:

时, .



的中点为

由直线的垂直关系有

,化简得



由①②得 又 到直线 的距离为 ,

时, 由 即 综上: 22.【答案】 , 时, ; ,解得 ;

. ;

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【解析】(1)证明:设 BD 交 AC 于 M,连接 ME. ∵ABCD 为正方形,∴M 为 AC 中点, 又∵E 为 A′A 的中点, ∴ME 为△A′AC 的中位线, ∴ME∥A′C. 又∵ME?平面 BDE,A′C?平面 BDE, ∴A′C∥平面 BDE. ∵VE﹣ABD= (2) 解: ∴VA′﹣ABCD:VE﹣ABD=4:1. = = = VA′﹣ABCD.

23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)设甲队以 4:2,4:3 获胜的事件分别为 A,B, ∵甲队第 5,6 场获胜的概率均为 ,第 7 场获胜的概率为 , ∴ , 和 . ,

∴甲队以 4:2,4:3 获胜的概率分别为

(Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 5,6,7, ∴ ,P(X=6)= 6 7 ,P(X=7)= ,

∴随机变量 X 的分布列为 X 5 p .

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列,期望的求法,独立重复试验概率的乘法公式的应用,考查分析问 题解决问题的能力. 24.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 是奇函数,则 f(﹣x)=﹣f(x)

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∵a≠0,∴﹣x+b=﹣x﹣b,∴b=0(3 分) 又函数 f(x)的图象经过点(1,3), ∴f(1)=3,∴ ∴a=2(6 分) (2)由(1)知 当 x>0 时, 即 时取等号(10 分) ,∴ ,即 时取等号(13 分) (12 分) ,当且仅当 (7 分) , ,∵b=0,

当 x<0 时, 当且仅当

综上可知函数 f(x)的值域为

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用,转化函数研究性质是问题的关键.

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