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椭圆中一个三角形最大面积问题


中学 数学 杂志
4 . 同时掷两个 质地均匀的骰子 , 所得 点数之 积为 6  
的概率为  .   5 . 思考题 : 抛掷 一枚质 地均匀 的骰 子 , 由骰 子 的点  数为奇数还是偶数 来决 定乒乓 球 比赛 中 的发球权 , 公 

2 0 1 4年第 5期 



般 的思想方法 , 归纳 总结 出 了求 古典 概 型 的计 算公 

式, 这是本节课 的一个亮点.   从课堂教学 实践来 看 , 师生之 间 , 生生之间相互讨  论, 交流热烈 , 目标达成 度高. 例题 的选择适 当 , 起 到了  巩 固概念 , 培养数学思 想方法 的 目的. 课后检 测 目的清  楚, 难度适 中 , 既能复习巩 固知识 , 又利于 以后 的学 习 ,  

平 吗?同时抛掷两枚 质 地均匀 的骰 子 , 由两 枚骰 子 的 

点数之 和为奇数还是偶数来决 定乒乓球 比赛 中的发球 
权, 公平 吗?   教 学评价与分析 

这也是本节一个亮 点. 不足 的是 , 在概 念和公 式 的推 导  过 程中不 够简练 , 以至于没 有充 足 的时 间进行 随堂 练 
习.  

本 节课 的教学设 计 符合 学生 的实 际 , 体现 了 以学 
生为本 的教学理念 , 教 学中通 过学生 的试验 引出问题 ,   利用表格填写试验结 果 , 清晰地 展现 出试 验结 果 间的 

( 本 课 例 曾获 得 教 育部 课 程 教 材 研 究 所教 材 实验 优 质 课  评选一等奖 )  

关系 , 根据学生没有学 习排列 组合知识 的情况 , 较直观  的介绍了一些求基 本事 件总数 的方 法 , 为求 概率奠 定  了良好 的基础 , 遵循 了学生 的认知规律 , 利用从特殊到 

作 者简介

王勇 , 男1 9 7 7年 1 1月 生, 中学一级 教 师. 袁 

莉, 1 9 7 7年 5月生 , 中学一级教师.  

椭 圆 中一个 三 角 形 最 大 面 积 问题 
上 海 市宝 山 区宝林路 宝林 六村 4 2号 1 0 1室  2 0 1 9 9 9  
2 a2 k m 

姜坤 崇 
n   f m 一b  )  

问题  设椭 圆 E:   +   Y =1 ( 。>6>0 ) 的中心 

+   一  i  
所以 I   A B   l  

,  

— _ =  —  

‘  

为 0, A、 B是椭 圆上的两点 ( A、 B、 0不共线 ) , 求 AA O B   面积的最大值.   对于这个问题 , 笔者经过探讨 , 得到 了如下两个 有  趣 的结论 .  
定理 l   设 椭圆 E:   +   y =1 ( 。>b>0 )的 中   心为 0 , A、 B是椭 圆 E上 的两点 ( A、 B、 0不共线 ) , 则当   且仅 当直线 A  与椭圆 F :   +   y=   1相切 时


=( k  +1 ) (   1 一  2 )  


( k  +1 ) [ (   1 +  2 )  一4 x i x 2 ]  

【  
( a 2 k  + b   )  

一  

】  
, 于 

4 a   b   ( k  + 1 ) ( a 2 k  +b  一m  )  

S  

取 

又设点 D到直线 A B的距离为 d , 则d 2 。  

1  

得最大值÷。 6 .  
证明  (i )当直线 A B不 
与  轴 垂 直 时 ( 如图 1 ) ,设  (  ,  ) , B ( z   , Y   ) ,直 线 A B   的方程为 Y = k x+ m( m≠0 ) , 代 
入 椭 圆 E 的方 程 整 理 得 
( 口   k  + b   )  。+ 2 a 2 k m  +  
y     L

是. s  ∞:   1   l   A 曰l 。 ?   =  
. 

所以J s   一 L d   a   6  
:  

±  
f   n   k  + 6  

一  

: 6 :  

4一  
≤ 0  

图 1  

4( a 2 k  + b   )  


a   ( m 一b   ) =0 .  

① 

m 。 =0时 , S  ∞ 取 得 最  因此当且仅当 a 2 k  +b   2

由于直线 A B与椭 圆 E有两个公共点 , 故关于  的 

二次方程 ① 有两个不相等的实数根 , 设方程 ① 根 的判 
别式 为 △   , 则 
△l =4 a   k   m  一4 口   ( a 2 k  +b   ) ( m  一b   )  
=4 a   6   ( a   J l c  +b  一m   ) > 0.  

大 值 ÷  
另将直线 A B的方程 Y: k x+   代入椭 圆 F的方程 
整理得 :  

2 ( a 2 k   +6   )   +4 a   k m x + a   ( 2 m   一 6   ) =0 .  

② 

所以 a 2 k  +b  一m  > 0 .  

设关于  的二次方程 ② 根 的判别式 为 A   , 则 
△ 2 =1 6 a   k   m  一8 0   ( a 2 k  +b   ) ( 2 m  ~b   )  

由于  、   : 为方程 ① 的两根 , 故 由韦达定理得 
28  

中学 数学 杂 志

2 0 1 4年第 5期 

=8 a   b   ( a Z k  +6  一2 m   ) .  

于是 , 当且仅 当 a 2 k  +b  一2 m  =0 时, 直线 A B与 
. 

由于 J c  :   、   ∞:   是关 于 £ 的二次方程 ④ 的两 
+ 

椭 圆 F相切.   根, 故 由韦达定理知 ‰   ?  卯 +   b 2 =  综上 , 当且仅当直线 A B与椭 圆 F相切时 , 雪   枷 取 …  

得 最 大 值 ÷  
( i i )当直线 A B与  轴垂 
y  





鱼 :  



因此 , 当且仅当 a   +6   一2 m 2  

直时 ( 如图2 ) , 设 直线 A B的方 

— \

  8 


=0时 ,   叫?  伽 = 一   .  
. 

程为  = t ( 0< I   t   l <0 ) , 代入  椭圆E的方程可得 l   A B   l =  
2 b
— —

又 由定理 1 证 明中已得结论知 , 当且仅 当 a 2 k   +b  


2 m   =0时直线 A B与椭 圆 F相切 , 故 当且仅 当 
∞ =一   时直线 A 8与椭 圆 F相切.  

?  

 ̄ 翌 a 2 - t 2 又点 0到直线 


图 2  

A B的距离 d= I   t   I , 于是 
. s  。  =  1

_ l   A 曰1  ? d   =  

( i i )当直线 A B过点 ( 0 ,± 6 )时 , 不妨设过点 ( 0 ,   b ) , 则 由直线 A B与椭 圆 F相切 的充要条件 a 2 k  +b  一   2 m   =0可得 =±   , 此时直线 A B过点 (± 。 , 0 ) , 从 而 

≤   箬 0   c (   — —   二  ) 2 ‘   = 扣  叶   。 。 6 。 ,  


故s … ≤  1  6


当且仅 当 

。  

。  

O A 、 O B分别为椭 圆 E的长 、 短半轴.   ( i i i )当直线 A B与 轴 垂直时 , 易证 ( 证明从 略 )  
当且仅 当直线 A B过点 ( ±   o , 0 ) ( 此 时直线 A B与椭 

时. s   枷 取得最大值  。 6 .  
圆 F相切于点 (土   。 , 0 ) )时 ,   叽.  。   :一   .  

而显然有 当且仅 当  :   。时 , 直线 A B与椭圆 F  
, 1  , , ’  

综上可得 , 当且仅 当 似 ?  舢 = 一   ( 或O A 、 O B分  别 为椭 圆 E的长 、 短半轴 ) 时直线 A B与椭 圆F相切 , 从  而 由定理 1 的结论 得 , 当且仅当 j } 矾? J }   =一   ( 或D A、   O B分别为椭 圆 E 的长 、 短半轴 )时 s  ∞ 取得最 大值 

相切于 点 (   o , 0 ) ( 或( 一   n , 0 ) ) , 因此 当且 仅 当直 

线A B 与椭圆F 相切时, S   ∞取得最大值÷o b .  
综合 (i ) 、 ( i i ) , 定理 1 得证.  
定理 2   设椭 圆 E:   +   =1 ( n>b>0 )的中 

心为 0, A、 B是椭 圆 E上 的两 点 ( A 、 B、 0不 共线 ) , 记 
、   ∞

最后作一点说 明 : 设 A、 B是椭 圆 E上的两点 ( A 、 B、   0不共线 ) , 若记 P: 直线 A B与椭 圆 F相切 , Q :   ? k o e  
= 一  

分别 为直 线 O A 、 O B的斜 率 , 则 当且 仅 当 

?  

。   = 一   ( 或 O A 、 O B分别 为椭 圆 E的长 、 短 半轴 )时 

( 或O A、 D 曰分别为椭 圆E的长 、 短半轴) , R: S  ∞  

. s   脚 取得最大值  。 6 .   证明  (i)当直线 A B不过点( 0 ,±6 )且不与  轴垂直时( 如图 1 ) , 设A (  。 , y 。 ) , B ( x : , Y : ) , 直线 A B的  方程为 Y=k x+m( m≠0 , m ≠ ±6 ) , 即 

取得最大值÷o 6 , 则 由以上两个定理的结论可知 , 将 
P 、 Q、 R中任一个 作为条 件 , 剩余 两个 中的一个 作为结  论, 都为一个正确 的命题 ( 共有 6 个结论 , 若R 作 为条件 

时应改为: . s △   o B = ÷0 6 ) .  
参考文献 

:1 .

③ 

将 ③ 式代入 E的方程得 
6   + 。z y z一  

:  

: 0
,  

[ 1 ]   姜坤崇. 相似 椭 圆的性质 又探 [ J ] . 数 学通讯 , 2 0 1 1 ( 4 )  
( 下半月) .   [ 2 ]   姜坤崇. 对2 0 1 1年高考 山东卷 理科 2 2 (I) 题 的研 究  [ J ] . 数学教 学, 2 0 1 2 ( 2 ) .   [ 3 ]   姜坤崇. 椭圆的“ 姊妹椭 圆” 与“ 姊妹 圆” 及其 性质 [ J ] .   中学教研( 数 学) , 2 0 1 1 ( 1 2 ) .  
2 9  

上式整 理后 两边 同除以  得 

a 2 ( m  一b   ) t  +2 a   b   k t +b 2 (   一a 2 k   ) =0 ( 其 中 
V 

t =   ) .  

④ 


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