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贵德县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

贵德县第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2﹣b2= bc,sinC=2 sinB,则 A=(



A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

?x ? y ? 2? 0

2.

已知实数 x ?[?1,1] ,

y

?[0,

2]

,则点

P(

x,

y)

落在区域

? ?

x

?

2

y

?

1?

0

内的概率为(



??2x ? y ? 2…0

3

3

A.

B.

4

8

1
C.
4

1
D.
8

【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识,意在考查数形结合思想及基本运算能力.

3. 已知 i 是虚数单位,则复数

等于( )

A.﹣ + i B.﹣ + i C. ﹣ i D. ﹣ i

4. 函数 y ? (a2 ? 4a ? 4)a x 是指数函数,则的值是( )
A.4 B.1 或 3 C.3 D.1 5. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x﹣2)=f(x+2),当 0<x<2 时,f(x)=1﹣log2(x+1), 则当 0<x<4 时,不等式(x﹣2)f(x)>0 的解集是( ) A.(0,1)∪(2,3) B.(0,1)∪(3,4) C.(1,2)∪(3,4) D.(1,2)∪(2,3)

6. 独立性检验中,假设 H0:变量 X 与变量 Y 没有关系.则在 H0 成立的情况下,估算概率 P(K2≥6.635)≈0.01 表示的意义是( ) A.变量 X 与变量 Y 有关系的概率为 1% B.变量 X 与变量 Y 没有关系的概率为 99% C.变量 X 与变量 Y 有关系的概率为 99% D.变量 X 与变量 Y 没有关系的概率为 99.9%

7. “a>0”是“方程 y2=ax 表示的曲线为抛物线”的(

)条件.

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要

8. 下列满足“? x∈R,f(x)+f(﹣x)=0 且 f′(x)≤0”的函数是( )

A.f(x)=﹣xe|x| B.f(x)=x+sinx

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C.f(x)=

D.f(x)=x2|x|

9. 下列函数中,为偶函数的是(

A.y=x+1

B.y=

) C.y=x4

D.y=x5

10.利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;

③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是( )

A.①②

B.①

C.③④

D.①②③④

11.若点 O 和点 F(﹣2,0)分别是双曲线

的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任

意一点,则 A.

的取值范围为(

) B.

C.

D.

12.已知函数 f(x)=2x﹣ +cosx,设 x1,x2∈(0,π)(x1≠x2),且 f(x1)=f(x2),若 x1,x0,x2 成等
差数列,f′(x)是 f(x)的导函数,则( ) A.f′(x0)<0 B.f′(x0)=0 C.f′(x0)>0 D.f′(x0)的符号无法确定

二、填空题

13.抛物线 y2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为



14.已知直线 l 过点 P(﹣2,﹣2),且与以 A(﹣1,1),B(3,0)为端点的线段 AB 相交,则直线 l 的斜

率的取值范围是



15.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时,

甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市;

乙说:我没去过 C 城市;

丙说:我们三人去过同一城市;

由此可判断乙去过的城市为



lnx ? 1 ,x ? 1,

16.【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数 f ? x? ? {

x



2x2 ? mx ? m ? 5,x ? 1,

28

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g ? x? ? f ? x? ? m 有三个零点,则实数 m 的取值范围是________.

17.【泰州中学 2018 届高三 10 月月考】设二次函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? c( a,b, c 为常数)的导函数为 f ?? x? ,

对任意 x ? R ,不等式

f

?x? ?

f ?? x? 恒成立,则

b2 a2 ? c2

的最大值为__________.

18.设

f

(x)

?

x ex

,在区间[0,3] 上任取一个实数

x0

,曲线

f

(x)

在点 ? x0,

f

(x0)? 处的切线斜率为 k

,则随机

事件“ k ? 0 ”的概率为_________.

三、解答题

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? x2 ? (2a ?1)x ? a ln x ( a ? R ).

(I)若 a ? 1 ,求 y ? f (x) 的单调区间; 2
(II)函数 g(x) ? (1? a)x ,若 ?x0 ?[1 , e] 使得 f (x0 ) ? g(x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

20.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 过点 P(1,0), 斜率为 ,曲线 C:ρ=ρcos2θ+8cosθ. (Ⅰ)写出直线 l 的一个参数方程及曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|PA|?|PB|的值.

21.(本小题满分 12 分)椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的右焦点为 F,P 是椭圆上一点,PF⊥x 轴,A,B 是 C 的长轴上的两个顶点,已知|PF|=1,kPA·kPB=-12.
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(1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的中心 O 的直线 l 交椭圆于 M,N 两点,求三角形 PMN 面积的最大值,并求此时 l 的方程.

22.如图,M、N 是焦点为 F 的抛物线 y2=2px(p>0)上两个不同的点,且线段 MN 中点 A 的横坐标为



(1)求|MF|+|NF|的值; (2)若 p=2,直线 MN 与 x 轴交于点 B 点,求点 B 横坐标的取值范围.

23.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC=3acosB﹣ccosB.

(Ⅰ)求 cosB 的值;

(Ⅱ)若

,且

,求 a 和 c 的值.

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24.在 ?ABC 中已知 2a ? b ? c , sin2 A ? sin B sin C ,试判断 ?ABC 的形状.
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贵德县第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:∵sinC=2 sinB,∴c=2 b,

∵a2﹣b2= bc,∴cosA=

=

=

∵A 是三角形的内角 ∴A=30° 故选 A. 【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用,解题的关键是边角互化,属于中档题.

2. 【答案】B









3. 【答案】A

【解析】解:复数

=

=

故选:A. 【点评】本题考查了复数的运算法则,属于基础题.

4. 【答案】C 【解析】

=



考点:指数函数的概念.

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5. 【答案】D 【解析】解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x﹣2)=f(x+2), ∴f(0)=0,且 f(2+x)=﹣f(2﹣x), ∴f(x)的图象关于点(2,0)中心对称, 又 0<x<2 时,f(x)=1﹣log2(x+1), 故可作出 fx(x)在 0<x<4 时的图象, 由图象可知当 x∈(1,2)时,x﹣2<0,f(x)<0, ∴(x﹣2)f(x)>0; 当 x∈(2,3)时,x﹣2>0,f(x)>0, ∴(x﹣2)f(x)>0; ∴不等式(x﹣2)f(x)>0 的解集是(1,2)∪(2,3) 故选:D
【点评】本题考查不等式的解法,涉及函数的性质和图象,属中档题. 6. 【答案】C 【解析】解:∵概率 P(K2≥6.635)≈0.01, ∴两个变量有关系的可信度是 1﹣0.01=99%, 即两个变量有关系的概率是 99%, 故选 C. 【点评】本题考查实际推断原理和假设检验的应用,本题解题的关键是理解所求出的概率的意义,本题是一个 基础题. 7. 【答案】A
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【解析】解:若方程 y2=ax 表示的曲线为抛物线,则 a≠0. ∴“a>0”是“方程 y2=ax 表示的曲线为抛物线”的充分不必要条件. 故选 A. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用抛物线的定义是解决本题的关键,比较基础.

8. 【答案】A

【解析】解:满足“?x∈R,f(x)+f(﹣x)=0,且 f′(x)≤0”的函数为奇函数,且在 R 上为减函数, A 中函数 f(x)=﹣xe|x|,满足 f(﹣x)=﹣f(x),即函数为奇函数,

且 f′(x)=

≤0 恒成立,故在 R 上为减函数,

B 中函数 f(x)=x+sinx,满足 f(﹣x)=﹣f(x),即函数为奇函数,但 f′(x)=1+cosx≥0,在 R 上是增函数,

C 中函数 f(x)=

,满足 f(﹣x)=f(x),故函数为偶函数;

D 中函数 f(x)=x2|x|,满足 f(﹣x)=f(x),故函数为偶函数, 故选:A.
9. 【答案】C
【解析】解:对于 A,既不是奇函数,也不是偶函数, 对于 B,满足 f(﹣x)=﹣f(x),是奇函数, 对于 C,定义域为 R,满足 f(x)=f(﹣x),则是偶函数, 对于 D,满足 f(﹣x)=﹣f(x),是奇函数, 故选:C. 【点评】本题主要考查了偶函数的定义,同时考查了解决问题、分析问题的能力,属于基础题.

10.【答案】A 【解析】

考 点:斜二测画法.
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11.【答案】B

【解析】解:因为 F(﹣2,0)是已知双曲线的左焦点,

所以 a2+1=4,即 a2=3,所以双曲线方程为



设点 P(x0,y0),

则有

,解得

因为





所以

=x0(x0+2)+

=

, ,

此二次函数对应的抛物线的对称轴为



因为



所以当

时,

取得最小值

=





的取值范围是



故选 B.

【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等,

考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力.

12.【答案】 A 【解析】解:∵函数 f(x)=2x﹣ +cosx,设 x1,x2∈(0,π)(x1≠x2),且 f(x1)=f(x2),





∴存在 x1<a<x2,f'(a)=0,



,∴

,解得 a= ,

假设 x1,x2 在 a 的邻域内,即 x2﹣x1≈0.









∴f(x)的图象在 a 的邻域内的斜率不断减少小,斜率的导数为正, ∴x0>a, 又∵x>x0,又∵x>x0 时,f''(x)递减,

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故选:A.

【点评】本题考查导数的性质的应用,是难题,解题时要认真审题,注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运

用.

二、填空题
13.【答案】 ( 1,±2 ) .

【解析】解:设点 P 坐标为( a2,a)

依题意可知抛物线的准线方程为 x=﹣2

a2+2=

,求得 a=±2

∴点 P 的坐标为( 1,±2 ) 故答案为:( 1,±2 ). 【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质,属基础题.

14.【答案】 [ ,3] .

【解析】解:直线 AP 的斜率 K=

=3,

直线 BP 的斜率 K′= =

由图象可知,则直线 l 的斜率的取值范围是[ ,3],

故答案为:[ ,3],

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【点评】本题给出经过定点 P 的直线 l 与线段 AB 有公共点,求 l 的斜率取值范围.着重考查了直线的斜率与 倾斜角及其应用的知识,属于中档题.
15.【答案】 A .

【解析】解:由乙说:我没去过 C 城市,则乙可能去过 A 城市或 B 城市, 但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市,则乙只能是去过 A,B 中的任一个, 再由丙说:我们三人去过同一城市, 则由此可判断乙去过的城市为 A. 故答案为:A. 【点评】本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题.

16.【答案】

???1,74

? ??

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【解析】

17.【答案】 2 2 ? 2
【解析】试题分析:根据题意易得: f '? x? ? 2ax ? b ,由 f ?x ? ? f '?x ? 得:ax2 ? ?b ? 2a? x ? c ?b ? 0 在 R

a?0 上恒成立,等价于:{
?0

,可解得:b2

? 4ac ? 4a2

?

4a

?

c

?

a

?

,则:

a

b2 2?

c2

?

4ac ? 4a2 a2 ? c2

?

4 ? ??

? ??

c a

?1???

c a

?2 ??

?1



令t

?

c a

?1, (t

?

0)



y

?

t2

4t ? 2t

?

2

?

t

?

4 2

?

2

?

2

4 ?2 2?2

2

?

2

,故

b2 a2 ?

c2

的最大值为 2

2 ?2 .

t

考点:1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用

18.【答案】 3 5

【解析】解析:本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算.

k

?

f ?(x0 )

?

1

? x0 e x0

,由

f

?(x0 )

?

0 得, x0

? 1,∴随机事件“ k

? 0 ”的概率为

2 3



三、解答题

19.【答案】

【解析】【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识,意在考查转化与化归思想的运用和综合分析问题解决

问题的能力.

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请 20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵直线 l 过点 P(1,0),斜率为 ,

∴直线 l 的一个参数方程为

(t 为参数);

∵ρ=ρcos2θ+8cosθ,∴ρ(1﹣cos2θ)=8cosθ,即得(ρsinθ)2=4ρcosθ, ∴y2=4x,∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2=4x.

(Ⅱ) 把

代入 y2=4x 整理得:3t2﹣8t﹣16=0,

设点 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则







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【点评】本题考查了直线参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题.
21.【答案】 【解析】解:

(1)可设 P 的坐标为(c,m), 则ac22+mb22=1, ∴m=±ba2,
∵|PF|=1 ,
即|m|=1,∴b2=a,①

又 A,B 的坐标分别为(-a,0),(a,0),
由 kPA·kPB=-12得 b2 b2
c+a a·c-a a=-12,即 b2=12a2,②

由①②解得 a=2,b= 2,

∴椭圆 C 的方程为x42+y22=1.

(2)当 l 与 y 轴重合时(即斜率不存在),由(1)知点 P 的坐标为 P( 2,1),此时 S△PMN=12×2 2× 2=

2.

当 l 不与 y 轴重合时,设其方程为 y=kx,代入 C 的方程得x42+k22x2=1,即 x=±

2, 1+2k2

∴y=± 2k , 1+2k2

即 M(

2



2k

-2

-2k

),N(



),

1+2k2 1+2k2

1+2k2 1+2k2

∴|MN|=

? 4 ?2 ? 4k ?2

? ?

1+2k2??

+? ?

1+2k2??

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1+k2

=4

1+2k2,

点 P(

| 2,1)到 l:kx-y=0 的距离 d=

2kk2-+11|,∴S△PMN=12|MN|d=12·

1+k2 | 2k-1|

4

1+2k2· k2+1

| 2k-1|

=2·

=2

1+2k2

2k2+1-2 2k 1+2k2

=2

1-12+22kk2,

当 k>0 时,12+22kk2≤22

2k=1, 2k

此时 S≥0 显然成立,

当 k=0 时,S=2.

-2 2k 1+2k2 当 k<0 时, 1+2k2 ≤1+2k2=1,

当且仅当 2k2=1,即 k=- 22时,取等号. 此时 S≤2 2,综上所述 0≤S≤2 2.

即当 k=- 22时,△PMN 的面积的最大值为 2

2,此时

l

的方程为

y=-

2 2 x.

22.【答案】

【解析】解:(1)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=8﹣p,|MF|=x1+ ,|NF|=x2+ ,

∴|MF|+|NF|=x1+x2+p=8; (2)p=2 时,y2=4x, 若直线 MN 斜率不存在,则 B(3,0); 若直线 MN 斜率存在,设 A(3,t)(t≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则 代入利用点差法,可得 y12﹣y22=4(x1﹣x2)
∴kMN= ,

∴直线 MN 的方程为 y﹣t= (x﹣3),

∴B 的横坐标为 x=3﹣ , 直线 MN 代入 y2=4x,可得 y2﹣2ty+2t2﹣12=0

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△>0 可得 0<t2<12, ∴x=3﹣ ∈(﹣3,3), ∴点 B 横坐标的取值范围是(﹣3,3). 【点评】本题考查抛物线的定义,考查点差法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

23.【答案】

【解析】解:(I)由正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 则 2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB, 故 sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB, 可得 sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB, 即 sin(B+C)=3sinAcosB, 可得 sinA=3sinAcosB.又 sinA≠0,

因此



(II)解:由

,可得 accosB=2,



由 b2=a2+c2﹣2accosB,

可得 a2+c2=12,

所以(a﹣c)2=0,即 a=c,

所以



【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识,

考查了基本运算能力.

24.【答案】 ?ABC 为等边三角形.
【解析】
试题分析:由 sin2 A ? sin B sin C ,根据正弦定理得出 a2 ? bc ,在结合 2a ? b ? c ,可推理得到 a ? b ? c ,
即可可判定三角形的形状.

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考点:正弦定理;三角形形状的判定.
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