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惠城区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

惠城区二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 一个圆的圆心为椭圆的右焦点,且该圆过椭圆的中心交椭圆于 P,直线 PF1(F1 为椭圆的左焦点)是该圆 的切线,则椭圆的离心率为( A. B. ) C. D. )

姓名__________

分数__________

2. 过抛物线 y2=4x 焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|=10,则 AB 的中点到 y 轴的距离等于( A.1 πR3 B.2 πR3 πR3 C.3 ) πR3 ) D.4

3. 半径 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( A. B. C. D.

4. 空间直角坐标系中,点 A(﹣2,1,3)关于点 B(1,﹣1,2)的对称点 C 的坐标为( A.(4,1,1) B.(﹣1,0,5) 5. 求值: A.tan 38° 6. 椭圆 A. B. B. =1 的离心率为( C. D. ) ) =( C.(4,﹣3,1) ) C. D.﹣ D.(﹣5,3,4)

7. 设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则( A. ac ? bc B.

1 1 ? a b
C.(4,﹣2)

C. a ? b
2

2

D. a ? b
3

3

8. 若复数 z 满足 iz=2+4i,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( A.(2,4) B.(2,﹣4)

) D.(4,2) )

9. AD, BE 分别是 ?ABC 的中线,若 AD ? BE ? 1 ,且 AD 与 BE 的夹角为 120 ,则 AB ? AC =( (A)

1 3

( B )

4 9

(C)

2 3

(D)

8 9

10.已知函数 f ( x) ? a sin x ? 3 cos x 关于直线 x ? ?

?
6

对称 , 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?4 ,则 x1 ? x2 的最小值为

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5? 2? D、 6 3 6 3 11.已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7? , A ? ?2, 4,6? , B ? ?1,3,5,7? ,则 A (? U B) ? (
A、 B、 C、 A. ?2,4,6? B. ?1,3,5? C. ?2,4,5?

?

?

) D. ?2,5? )

12.若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C : f ( x) ? x ? 1 ? A.-1 B.

1 没有公共点,则实数 k 的最大值为( ex

1 2

C.1

D. 3

【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理,意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算 求解能力.

二、填空题
13.命题“?x∈R,x2﹣2x﹣1>0”的否定形式是 的面积为 . . . 14.已知△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,asinA=bsinB+(c﹣b)sinC,且 bc=4,则△ ABC 15.直线 2x+3y+6=0 与坐标轴所围成的三角形的面积为

16.台风“海马”以 25km/h 的速度向正北方向移动,观测站位于海上的 A 点,早上 9 点观测,台风中心位于其 东南方向的 B 点;早上 10 点观测,台风中心位于其南偏东 75°方向上的 C 点,这时观测站与台风中心的距离 AC 等于 km. ,那么| + || ﹣ |= . 17.下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是____. 18.已知| |=1,| |=2, 与 的夹角为

三、解答题
19.已知集合 A={x|2≤x≤6},集合 B={x|x≥3}. (1)求 CR(A∩B); (2)若 C={x|x≤a},且 A ? C,求实数 a 的取值范围.

20.在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2,E 为 BB1 中点. (Ⅰ)证明:AC⊥D1E;

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(Ⅱ)求 DE 与平面 AD1E 所成角的正弦值; (Ⅲ)在棱 AD 上是否存在一点 P,使得 BP∥平面 AD1E?若存在,求 DP 的长;若不存在,说明理由.

21.双曲线 C:x2﹣y2=2 右支上的弦 AB 过右焦点 F. (1)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程 (2)是否存在以 AB 为直径的圆过原点 O?若存在,求出直线 AB 的斜率 K 的值.若不存在,则说明理由.

22.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAB⊥平面 ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E 为 PA 的中 点,M 在 PD 上. (I)求证:AD⊥PB; (Ⅱ)若 ,则当 λ 为何值时,平面 BEM⊥平面 PAB?

(Ⅲ)在(II)的条件下,求证:PC∥平面 BEM.

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23.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2﹣19n+1,记 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|. (1)求 Sn 的最小值及相应 n 的值; (2)求 Tn.

24.已知直角梯形 ABCD 中,AB∥CD, G、F 分别为 AD、CE 的中点,现将△ ADE 沿 AE 折叠,使得 DE⊥EC. (1)求证:FG∥面 BCD; (2)设四棱锥 D﹣ABCE 的体积为 V,其外接球体积为 V′,求 V:V′的值.

,过 A 作 AE⊥CD,垂足为 E,

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惠城区二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:设 F2 为椭圆的右焦点 由题意可得:圆与椭圆交于 P,并且直线 PF1(F1 为椭圆的左焦点)是该圆的切线, 所以点 P 是切点,所以 PF2=c 并且 PF1⊥PF2. 又因为 F1F2=2c,所以∠PF1F2=30°,所以 根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a, 所以|PF2|=2a﹣c. 所以 2a﹣c= 故选 D. 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题,以即椭圆的定义. 2. 【答案】D
2 【解析】解:抛物线 y =4x 焦点(1,0),准线为 l:x=﹣1,



,所以 e=



设 AB 的中点为 E,过 A、E、B 分别作准线的垂线, 垂足分别为 C、G、D,EF 交纵轴于点 H,如图所示: 则由 EG 为直角梯形的中位线知, EG= = = =5,

∴EH=EG﹣1=4, 则 AB 的中点到 y 轴的距离等于 4. 故选 D.

【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,体现了数形结合的数学思想.

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3. 【答案】A 【解析】解:2πr=πR,所以 r= ,则 h= 故选 A 4. 【答案】C 【解析】解:设 C(x,y,z), ∵点 A(﹣2,1,3)关于点 B(1,﹣1,2)的对称点 C, ,所以 V=



,解得 x=4,y=﹣3,z=1,

∴C(4,﹣3,1). 故选:C. 5. 【答案】C

【解析】解: 故选:C.

=tan(49°+11°)=tan60°=



【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用,属于基础题. 6. 【答案】D 【解析】解:根据椭圆的方程 则 c= =2 ; , =1,可得 a=4,b=2 ,

则椭圆的离心率为 e= = 故选 D.

【点评】本题考查椭圆的基本性质:a2=b2+c2,以及离心率的计算公式,注意与双曲线的对应性质的区分. 7. 【答案】D 【 解 析 】

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考 点:不等式的恒等变换. 8. 【答案】C 【解析】解:复数 z 满足 iz=2+4i,则有 z= = =4﹣2i,

故在复平面内,z 对应的点的坐标是(4,﹣2), 故选 C. 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,复数与复平面内对应点之间的 关系,属于基础题. 9. 【答案】C

2 2 1 ? ? AB ? AD ? BE AD ? ( AB ? AC ), ? ? ? ? 3 3 2 【解析】由 ? , 解得 ? 1 4 ? BE ? (?2 AB ? AC ), ? AC ? AD ? 2 BE ? ? ? 2 3 3 ? 2 2 4 2 2 AB ? AC ? ( AD ? BE) ? ( AD ? BE) ? . 3 3 3 3 3

10.【答案】D 【解析】: f ( x) ? a sin x ? 3 cos x ? a 2 ? 3 sin( x ? ? )(tan ? ?

f ( x)对称轴为x ? ?

?
6

?? ? k ? ?

?
3

3 ) a

,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?4
? 2? 3
y
5 4 3 2 1

? x1 ? ?

?
6

? 2k1? , x2 ?

5? ? 2k2? ,? x1 ? x2 6

min

11.【答案】A

x=m y=2x P x 2y 3=0
2 3 4 5

O

1

x

x+y 3=0

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考点:集合交集,并集和补集. 【易错点晴】集合的三要素是:确定性、互异性和无序性.研究一个集合,我们首先要看清楚它的研究对象, 是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式,我们首先用 十字相乘法分解因式,求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中,要注意分母不能为零.元素与集合之间是 属于和不属于的关系,集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并 集和补集的题目. 12.【答案】C

1 ,则直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C : y ? f ? x ? 没有公共点, ex 1 ? 1 ? 等价于方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解.假设 k ? 1 ,此时 g ? 0 ? ? 1 ? 0 , g ? ? ? ?1 ? 1 ? 0 .又函 ? k ?1 ? e k ?1 数 g ? x ? 的图象连续不断,由零点存在定理,可知 g ? x ? ? 0 在 R 上至少有一解,与“方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没
【解析】令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? kx ? 1? ? ?1 ? k ? x ? 有实数解”矛盾,故 k ? 1 .又 k ? 1 时, g ? x ? ? 为 1 ,故选 C.

1 ? 0 ,知方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解,所以 k 的最大值 ex

二、填空题
13.【答案】 .

2 【解析】解:因为全称命题的否定是特称命题所以,命题“?x∈R,x ﹣2x﹣1>0”的否定形式是:

. 故答案为: 14.【答案】 . .

【解析】解:∵asinA=bsinB+(c﹣b)sinC,
2 2 2 2 2 2 ∴由正弦定理得 a =b +c ﹣bc,即:b +c ﹣a =bc, 2 2 2 ∴由余弦定理可得 b =a +c ﹣2accosB,

∴cosA= ∵bc=4,

=

= ,A=60°.可得:sinA=



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∴S△ABC= bcsinA= 故答案为:

=



【点评】本题主要考查了解三角形问题.考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用,考查了三角形面积公式的 应用,属于中档题. 15.【答案】 3 . 【解析】解:把 x=0 代入 2x+3y+6=0 可得 y=﹣2,把 y=0 代入 2x+3y+6=0 可得 x=﹣3, ∴直线与坐标轴的交点为(0,﹣2)和(﹣3,0), 故三角形的面积 S= ×2×3=3, 故答案为:3. 【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式,属基础题. 16.【答案】 25 【解析】解:由题意,∠ABC=135°,∠A=75°﹣45°=30°,BC=25km, 由正弦定理可得 AC= 故答案为:25 . =25 km,

【点评】本题考查三角形的实际应用,转化思想的应用,利用正弦定理解答本题是关键. 17.【答案】 27 【解析】由程序框图可知:

S

0 1

1 2

6 3

27 4

n

4 ? 3 符合,跳出循环.
18.【答案】 .

【解析】解:∵| |=1,| |=2, 与 的夹角为 ∴ = =1× =1.



∴| + || ﹣ |=

=

=

=



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故答案为:



【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)由题意:集合 A={x|2≤x≤6},集合 B={x|x≥3}. 那么:A∩B={x|6≥x≥3}. ∴CR(A∩B)={x|x<3 或 x>6}. (2)C={x|x≤a}, ∵A ? C , ∴a≥6 ∴故得实数 a 的取值范围是[6,+∞). 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 20.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:连接 BD ∵ABCD﹣A1B1C1D1 是长方体,∴D1D⊥平面 ABCD, 又 AC?平面 ABCD,∴D1D⊥AC…1 分 在长方形 ABCD 中,AB=BC,∴BD⊥AC…2 分 又 BD∩D1D=D,∴AC⊥平面 BB1D1D,…3 分 而 D1E?平面 BB1D1D,∴AC⊥D1E…4 分 (Ⅱ)解:如图建立空间直角坐标系 Dxyz,则 A(1,0,0),D1(0,0,2),E(1,1,1),B(1,1,0), ∴ 设平面 AD1E 的法向量为 令 z=1,则 ∴ ∴DE 与平面 AD1E 所成角的正弦值为 …9 分 …7 分 …8 分 ,则 ,即 …5 分

(Ⅲ)解:假设在棱 AD 上存在一点 P,使得 BP∥平面 AD1E. 设 P 的坐标为(t,0,0)(0≤t≤1),则 ∵BP∥平面 AD1E ∴ ,即 ,

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∴2(t﹣1)+1=0,解得

,…12 分

∴在棱 AD 上存在一点 P,使得 BP∥平面 AD1E,此时 DP 的长 .…13 分.

21.【答案】
2 2 2 2 【解析】解:(1)设 M(x,y),A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1 ﹣y1 =2,x2 ﹣y2 =2,

两式相减可得(x1+x2)(x1﹣x2)﹣(y1+y2)(y1﹣y2)=0, ∴2x(x1﹣x2)﹣2y(y1﹣y2)=0, ∴ = ,

2 2 ∵双曲线 C:x ﹣y =2 右支上的弦 AB 过右焦点 F(2,0),





2 2 化简可得 x ﹣2x﹣y =0,(x≥2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(2)假设存在,设 A(x1,y1),B(x2,y2),lAB:y=k(x﹣2) 由已知 OA⊥OB 得:x1x2+y1y2=0, ∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣① , 所以
2 联立①②得:k +1=0 无解 2 (k ≠1)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

所以这样的圆不存在.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 22.【答案】 【解析】(I)证明:∵平面 PAB⊥平面 ABCD,AB⊥AD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB,

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∴AD⊥平面 PAB.又 PB?平面 PAB, ∴AD⊥PB. (II)解:由(I)可知,AD⊥平面 PAB,又 E 为 PA 的中点, 当 M 为 PD 的中点时,EM∥AD, ∴EM⊥平面 PAB,∵EM?平面 BEM, ∴平面 BEM⊥平面 PAB. 此时, .

(III)设 CD 的中点为 F,连接 BF,FM 由(II)可知,M 为 PD 的中点. ∴FM∥PC. ∵AB∥FD,FD=AB, ∴ABFD 为平行四边形. ∴AD∥BF,又∵EM∥AD, ∴EM∥BF. ∴B,E,M,F 四点共面. ∴FM?平面 BEM,又 PC?平面 BEM, ∴PC∥平面 BEM.

【点评】本题考查了线面垂直的性质,线面平行,面面垂直的判定,属于中档题. 23.【答案】
2 【解析】解:(1)Sn=2n ﹣19n+1=2





∴n=5 时,Sn 取得最小值=﹣44.
2 (2)由 Sn=2n ﹣19n+1,

∴n=1 时,a1=2﹣19+1=﹣16. n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣19n+1﹣[2(n﹣1)2﹣19(n﹣1)+1]=4n﹣21. 由 an≤0,解得 n≤5.n≥6 时,an>0.
2 ∴n≤5 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=﹣(a1+a2+…+an)=﹣Sn=﹣2n +19n﹣1.

n≥6 时,Tn=﹣(a1+a2+…+a5)+a6+…+an
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=﹣2S5+Sn =2n2﹣19n+89. ∴Tn= .

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题,考查了分 类讨论方法推理能力与计算能力,属于中档题. 24.【答案】 【解析】解: (1)证明:取 AB 中点 H,连接 GH,FH, ∴GH∥BD,FH∥BC, ∴GH∥面 BCD,FH∥面 BCD ∴面 FHG∥面 BCD, ∴GF∥面 BCD (2)V= 又外接球半径 R= ∴V′= ∴V:V′= 【点评】本题考查的知识点是直线与平面平等的判定及棱锥和球的体积,其中根据 E 点三条棱互相垂直,故 棱锥的外接球半径与以 AE,CD,DE 为棱长的长方体的外接球半径相等,求出外接球半径是解答本题的关键 点. π

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