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【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七 第2讲矩阵与变换

第2讲

矩阵与变换

【高考考情解读】 本讲从内容上看,主要考查二阶矩阵的基本运算,考查矩阵的逆运算及 利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等.从形式上看,以解答题为主,本节知识是 高考中数学教材和高等数学教材的接轨知识,一般以基础题目为主,难度不大.又经常与其 他知识结合,在考查基础知识的同时,考查转化与化归等数学思想,以及分析问题、解决问 题的能力.分值为 10 分.

1. 矩阵乘法的定义 一般地,我们规定行矩阵[a11,a12]与列矩阵? +a12b21],二阶矩阵?

?b11?的乘法规则为[a ,a ]?b11?=[a b ? ? 11 12 ? 11 11 ?b21? ?b21?

?a b?与列矩阵?x?的乘法规则为?a b??x?=?ax+by?. ? ?? ? ?? ? ? ? ?c d ? ?y? ?c d ??y? ?cx+dy ?

说明:矩阵乘法 MN 的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先 TN 后 TM)的复 合变换. 一般地,对于平面上的任意一个点(向量)(x,y),若按照对应法则 T,总能对应惟一的一

?x? 个平面点(向量)(x′,y′),则称 T 为一个变换,简记为 T:(x,y)→(x′,y′)或 T:? ? ?y?
→?

?x′? ?. ?y′?

2. 几种常见的平面变换 (1)恒等变换;(2)伸缩变换;(3)反射变换;(4)旋转变换;(5)投影变换;(6)切变变换. 3. 矩阵的逆矩阵 (1)逆矩阵的有关概念 对于二阶矩阵 A,B,若有 AB=BA=E,则称 A 是可逆的,B 称为 A 的逆矩阵.若二 阶矩阵 A 存在逆矩阵 B,则逆矩阵是唯一的,通常记 A 的逆矩阵为 A 1,A 1=B.
- -

(2)逆矩阵的求法 一般地,对于二阶可逆矩阵 A=? d ?ad- ? bc ? -c ?ad-bc

?a b? (ad - bc≠0) , 它 的 逆 矩 阵 为 A - 1 = ? ?c d ?

? ?. a ? ad-bc?
-b ad-bc

(3)逆矩阵的简单性质 ①若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在逆矩阵,且(AB) 1=B 1A 1.
- - -

②已知 A,B,C 为二阶矩阵,且 AB=AC,若矩阵 A 存在逆矩阵,则 B=C. (4)逆矩阵与二元一次方程组
?ax+by=m, ? 对于二元一次方程组? ? ?cx+dy=n

?x? (ad-bc≠0),若将 X=? ?看成是原先的向量,而 ?y?

?m? ?a b?(ad-bc≠0)对应变换作用后得到的向量,则 将 B=? ?看成是经过系数矩阵 A=? ? ?n ? ?c d ?
-b d ad - bc ad -bc a b x m ? ?? ?=? ?, - 可记为矩阵方程 AX=B, 其中 A 1= . ? ?? ? ? ? 则 X=A-1B, ?c d ??y? ?n ? -c a ad-bc ad-bc 4. 二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念 设 A 是一个二阶矩阵,如果对于实数 λ,存在一个非零向量 α,使得 Aα=λα,那么 λ 称为 A 的一个特征值,而 α 称为 A 的一个属于特征值 λ 的一个特征向量. (2)特征向量的几何意义 特征向量的方向经过变换矩阵 A 的作用后,保持在同一条直线上,这时特征向量或者 方向不变(λ>0),或者方向相反(λ<0),特别地,当 λ=0 时,特征向量就被变成了零向量. (3)特征多项式 设 λ 是二阶矩阵 A=?

? ? ? ?

? ? ? ?

?a b?的一个特征值, ?x? 则 A?x?=λ?x?, 它的一个特征向量为 α=? ?, ? ?? ?? ?c d ? ?y? ?y? ?y?

? ? ?ax+by=λx, ??λ-a?x-by=0, ?x? 即? ?满足二元一次方程组? 故? (*) ?y? ?cx+dy=λy, ? ? ?-cx+?λ-d?y=0.

由特征向量的定义知 α≠0,因此 x,y 不全为 0,此时 Dx=0,Dy=0,因此,若要上述 二元一次方程组有不全为 0 的解,则必须有 D=0,即? 定义:设 A=?

?λ-a ?-c

-b? λ-d?

?=0.
-b? λ-d ?

?a b?是一个二阶矩阵,λ∈R,我们把行列式 f(λ)=?λ-a ? ? ?c d ? ?-c

?=λ2

-(a+d)λ+ad-bc. 称为 A 的特征多项式. (4)求矩阵的特征值与特征向量 如果 λ 是二阶矩阵 A 的特征值,则 λ 一定是二阶矩阵 A 的特征多项式的一个根,它满

?x0? 足 f(λ)=0.此时,将 λ 代入二元一次方程组(*),就可以得到一组非零解? ?,于是,非 ?y0?

?x0? 零向量? ?即为 A 的属于 λ 的一个特征向量. ?y0?

考点一 常见矩阵变换的应用 例1 已知矩阵 A=?

?1 0?,B=?0 2?. ? ? ? ?1 1? ?3 2?

(1)求满足条件 AM=B 的矩阵 M; (2)矩阵 M 对应的变换将曲线 C:x2+y2=1 变换为曲线 C′,求曲线 C′的方程. 解 =? (1)设 M=?

?a b?,AM=?1 0??a b? ? ? ?? ? ?c d ? ?1 1??c d ?

b ? ?0 2? ?a ?=? ?, ?a+c b+d? ?3 2?

a=0, ? ?a+c=3, 得? b=2, ? ?b+d=2, ∴a=0,b=2,c=3,d=0. ∴M=?

?0 2?. ? ?3 0?
2??x? ?2y? ?x′? ?? ?=? ?=? ?, 0??y? ?3x? ?y′? , ?y=x′ 2 ? y′ ?x= 3 ,

(2)设曲线 C 上任意一点 P(x,y)在矩阵 M 对应的变换作用下变为点 P′(x′,y′),

?x? ?0 则 M? ?=? ?y? ?3

?2y=x′, ? ∴? 即 ? ?3x=y′,

x′ y′ 代入曲线 C:x2+y2=1,得( )2+( )2=1. 2 3 x2 y2 ∴曲线 C′的方程是 + =1. 4 9 求曲线经过二阶矩阵变换的方法步骤 曲线 f(x,y)=0 经过二阶矩阵变换,得曲线 g(x,y)=0,求曲线 g(x,y)的一般步骤为: (1)取曲线 f(x,y)=0 上的任意一点 A(x,y); (2)A(x,y)通过二阶矩阵变换得 A′(x′,y′); (3)用 x 表示 x′,y 表示 y′代入 f(x,y)=0,得 g(x′,y′)=0;

(4)g(x′,y′)=0 用 x 代替 x′,y 代替 y′,得 g(x,y)=0,即为所求. (2013· 福建)已知直线 l:ax+y=1 在矩阵 A=? 直线 l′:x+by=1. (1)求实数 a,b 的值;

?1 2? ?对应的变换作用下变为 ?0 1?

?x0? ?x0? (2)若点 P(x0,y0)在直线 l 上,且 A? ?=? ?,求点 P 的坐标. ?y0? ?y0?
解 (1)设直线 l: ax+y=1 上任意点 M(x, y)在矩阵 A 对应的变换作用下的象是 M′(x′, y′). 由?
? ?x′=x+2y, ?x′? ?1 2??x? ?x+2y? ?? ?=? ?=? ?,得? ?y′=y. ?y′? ?0 1??y? ? y ? ?

又点 M′(x′,y′)在 l′上,所以 x′+by′=1,即 x+(b+2)y=1,
?a=1, ?a=1, ? ? 依题意得? 解得? ? ? ?b+2=1, ?b=-1. ? ?x0=x0+2y0, ?x0? ?x0? (2)由 A? ?=? ?,得? 解得 y0=0. ?y0? ?y0? ?y0=y0, ?

又点 P(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0=1. 故点 P 的坐标为(1,0). 考点二 求二阶矩阵的逆矩阵 例2 设矩阵 M=?

?a 0?(其中 a>0,b>0). ? ?0 b?


(1)若 a=2,b=3,求矩阵 M 的逆矩阵 M 1; x2 (2)若曲线 C:x2+y2=1 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线 C′: +y2=1, 4 求 a,b 的值. 解

?x1 y1?, - (1)设矩阵 M 的逆矩阵 M 1=? ? ?x2 y2?


则 MM 1=? 又 M=?

?1 0?. ? ?0 1?

?2 0?,所以?2 0??x1 y1?=?1 0?. ? ? ?? ? ? ? ?0 3? ?0 3??x2 y2? ?0 1?

所以 2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1, 1 1 即 x1= ,y1=0,x2=0,y2= , 2 3

故所求的逆矩阵 M

-1

?2 0 ? =? . 1? ? 0 3?

1

(2)设曲线 C 上任意一点 P(x, y), 它在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点 P′(x′, y′), 则?
?ax=x′, ?a 0??x?=?x′?,即? ? ?? ? ? ? ?0 b??y? ?y′? ? ?by=y′.

x′2 又点 P′(x′,y′)在曲线 C′上,所以 +y′2=1. 4 则 a2x2 +b2y2=1 为曲线 C 的方程. 4
2 2

?a2=4, ? 又已知曲线 C 的方程为 x +y =1,故? 2 ?b =1. ? ?a=2, ? 又 a>0,b>0,所以? ? ?b=1.

求逆矩阵的常见方法 (1)待定系数法 设 A 是一个二阶可逆矩阵? (2)公式法

?a b?,AB=BA=E; ? ?c d ?
d ?|A | =? -c ? |A| -b |A|

|A|=?

?a

?=ad-bc,有 A ?c d ?

b?

-1

? ?, a |A| ?

当且仅当|A|≠0; (3)利用逆矩阵的性质(AB) 1=B 1A 1.
- - -

(2013· 江苏)已知矩阵 A=? 解 则? 即?

?-1 0? ?1 2?,求矩阵 A-1B. ?,B=? ? ?0 6? ? 0 2?

?a 设矩阵 A 的逆矩阵为? ?c ? -1 ? 0 ? -a ? 2c
0??a

b? ?, d? 0? ?, 1?

?? 2??c

b? ?1 ?=? d ? ?0 1? 0?

-b? ?1 ?=? 2d? ?0

?

1 故 a=-1,b=0,c=0,d= , 2

?-1 从而 A 的逆矩阵为 A =? ? 0 ?
-1

0? 1?, 2?

?

?-1 所以 A B=? ? 0 ?
-1

??1 1?? ?0 2?

0?

?-1 ? =? 6? ? 0
2?

-2? 3 ?

?.

考点三 求矩阵的特征值与特征向量 例3

?1? 并且矩阵 M 对应的 已知二阶矩阵 M 有特征值 λ=8 及对应的一个特征向量 e1=? ?, ?1?
变换将点(-1,2)变换成(-2,4). (1)求矩阵 M; (2)求矩阵 M 的另一个特征值,及对应的一个特征向量 e2 的坐标之间的关系; (3)求直线 l:x-y+1=0 在矩阵 M 的作用下的直线 l′的方程. 解 (1)设 M=?

?a b?,则?a b??1?=8?1?=?8?, ? ? ?? ? ? ? ? ? ?c d ? ?c d??1? ?1? ?8?

? ?a+b=8, 故? ?c+d=8. ? ?-a+2b=-2, ?a b??-1?=?-2?,故? ? ? ?? ? ? ? ?c d ?? 2 ? ? 4 ? ?-c+2d=4. ?

联立以上两方程组解得 a=6,b=2,c=4,d=4, 故 M=?

?6 2?. ? ?4 4?

(2)由(1)知,矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)=?

?λ-6 -2 ? ?=(λ-6)(λ-4)-8=λ2-10λ+16,故其另一个特征值为 λ=2.设矩阵 ? -4 λ-4?

?6x+2y? ?x? ?x? M 的另一个特征向量是 e2=? ?,则 Me2=? ?=2? ?,解得 2x+y=0. ?y? ?4x+4y? ?y?
(3)设点(x,y)是直线 l 上的任一点,其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为(x′,y′), 则?

?6 2??x?=?x′?, ?? ? ? ? ?4 4??y? ?y′?

1 1 1 3 即 x= x′- y′,y=- x′+ y′,代入直线 l 的方程后并化简得 x′-y′+2=0, 4 8 4 8 即 x-y+2=0. 求特征值和特征向量的方法 (1)矩阵 M=?

?a b?的特征值 λ 满足(λ-a)(λ-d)-bc=0, ?x? 属于 λ 的特征向量 α=? ?满足 ? ?c d ? ?y?

?x? ?x? M? ?=λ? ?. ?y? ?y?
(2)求特征向量和特征值的步骤: ①解 f(λ)=? -b? ?λ-a ?=0 得特征值; ?-c λ-d ?

??λ-a?x-by=0, ? ②解? ?(λ-a)x-by=0,取 x=1 或 y=1,写出相应的向量. ?-cx+?λ-d?y=0 ?

求矩阵 A=? 解

?3 6?的特征值与属于每个特征值的一个特征向量. ? ?5 2?
-6? ?λ-3 ?, ?-5 λ-2 ?

矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=?

令 f(λ)=0 得,λ2-5λ-24=0, ∴λ1=8,λ2=-3 为矩阵 A 的两个特征值. ①当 λ1=8 时,解相应线性方程组?
? ?5x-6y=0, ?-5x+6y=0, ?

?6? ?6? 可任取一解如? ?,得 λ=8 的特征向量 ξ1=? ?. ?5? ?5?
? ?-6x-6y=0, ②当 λ2=-3 时,解相应线性方程组? ?-5x-5y=0. ?

可任取一解?

? 1? ? 1? ?,得 λ=-3 的特征向量 ξ2=? ?. ?-1? ?-1?

1. 在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时,变换矩阵可以通过待定系数法解决,在变 换时一定要把变换前后的变量区别清楚,防止混淆. 2. 对于二阶矩阵, 要能够熟练地根据常见的几种变换的坐标形式和矩阵形式相互转化的规 则,直接指明对应的变换. 3. 对于常见的变换,要能够根据前后的图形中的点的坐标变换规律准确写出变换矩阵. 4. 对于二阶矩阵 A 而言,至多有两个特征值,将特征值 λ 代入 Aα=λα,即可求得对应的 特征向量 α. 5. 关于特征值与特征向量的讨论与矩阵变换性质、矩阵的乘积、行列式以及线性方程组的 解等有密切的联系,或说是所学知识的一个综合运用.

?x? ?x′? ?x+2y?作用后,再绕原点逆时针旋转 90° 1. 已知点 A 在变换 T:? ?→? ?=? ,得到点 B. ? ?y? ?y′? ? y ?
若点 B 的坐标为(-3,4),求点 A 的坐标. 解 ∴? 变换 T 对应的矩阵为?

?1 2?, ? ?0 1?

?0 -1??1 2? ?0 -1? ?? ?=? ?. ?1 0 ??0 1? ?1 2 ? ?0 -1??a? ?-3? ?? ?=? ?, ?1 2 ??b? ? 4 ?

设 A(a,b),由题意得?

? ? ?-b=-3, ?a=-2, 即? 所以? 即 A(-2,3). ?a+2b=4. ?b=3, ? ?

2. 已知矩阵 A=? (1)求(AB) 1.


? 1 -3? ?1 2?. ?,B=? ? ?0 1? ?-1 -1?
-1

(2)求直线 2x+y-5=0 在(AB) 解 (1)AB=?

对应变换作用下的直线方程.

? 1 -3??1 2? ? 1 -1? ?? ?=? ?, ?-1 -1??0 1? ?-1 -3?
3 1 - 4

又|AB|=-3-1=-4,

∴(AB)

-1

? 4 =? 1 ?-4

? . 1? - ? 4 ? 4 ? 1 ?-4
3 1 - 4 ?x0? ? ?. 1 ?y0? - 4

(2)设 P(x0,y0)是直线 2x+y-5=0 上任一点,P′(x,y)是在变换作用下点 P 的象,则 x - ? 0? 有? ?=(AB) 1? ?= ?y? ?y0?

?x?

? ? ?

?x=4x -4y , ∴? 1 1 ?y=-4x -4y .
0 0 0 0

3

1

? ?x0=x-y, ∴? ?y0=-x-3y. ?

代入直线方程 2x+y-5=0,得 2(x-y)-(x+3y)-5=0,即 x-5y-5=0,即为所求的 直线方程.

(推荐时间:60 分钟) 1. 求满足 X?

?2 3?=? 3 2?的二阶矩阵 X. ? ? ? ?1 2? ?-1 1? ?a b?,由于?a b??2 3?=?2a+b 3a+2b?=? 3 2?,则 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?c d ? ?c d??1 2? ?2c+d 3c+2d ? ?-1 1?

解 设 X=?

2a+b=3, ? ?3a+2b=2, ?2c+d=-1, ? ?3c+2d=1 得 a=4,b=-5,c=-3,d=5,故 X=?

? 4 -5? ?. 5? ?-3
2?

x2 y2 ?0 2. 双曲线 - =1 的右焦点为 F,矩阵 A=? 5 4 ?1 的变换作用下的象 F′. 解 BA=?

?1 0?,求点 F 在矩阵 BA 对应 ?,B=? ? ?0 3? 0?

?1 0??0 2?=?0 2?, ?? ? ? ? ?0 3??1 0? ?3 0?
2??3?

?3? ?0 ∴(BA)? ?=? ?0? ?3

?0? ?? ?=? ?. 0??0? ?9?

即 F′的坐标为(0,9).

?1 0? 3. 求函数 y=x 在矩阵 M=? 1 ?变换作用下的结果. ?0 ? ? 4 ?
2

?1 0? x ?x ? ?? 解 任选曲线 y=x 上一点(x, y), 它在变换 TM 作用下变为(x′, y′), 则? 1?? ?=?1 ? ?0 ??y? ? y? ? 4? ?4 ?
2

=?

?x′? ??x=x′, ?y′?

1 1 y=4y′,代入 y=x2,得 y′= x′2,即 y= x2. 4 4

4. (2012· 江苏)已知矩阵 A 的逆矩阵 A

-1

?-4 4? =? ,求矩阵 A 的特征值. 1 1? ?2 -2?

1

3



因为 A 1A=E,所以 A=(A 1) 1.
- - -

因为 A

-1

?-4 4? =? ,所以 A=(A 1 1? ?2 -2?

1 3

-1 -1

) =?

?2 3?, ? ?2 1?

于是矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=?

?λ-2 -3? 2 ?=λ -3λ-4. ?-2 λ-1? ?1 1?,向量 β=?1?.求向量 α,使得 A2α=β. ? ? ? ?2 1? ?2?

令 f(λ)=0,解得 A 的特征值 λ1=-1,λ2=4. 5. 已知矩阵 A=? 解 A2=?

?1 1??1 1?=?3 2?. ?? ? ? ? ?2 1??2 1? ?4 3?

?x? ?3 2??x?=?1?, 设 α=? ?,由 A2α=β,得? ?? ? ? ? ?y? ?4 3??y? ?2?
?3x+2y=1, ?x=-1, ? ? ?-1? 从而? 解得? 所以 α=? ?. ? 2? ?4x+3y=2, ?y=2. ? ?

6. 已知变换 S 把平面上的点 A(3,0),B(2,1)分别变换为点 A′(0,3),B′(1,-1),试求 变换 S 对应的矩阵 T. 解 设 T=?

?a c ?, ? ?b d?
c ??3? d??0?

?3? ?x′? ?a 则 S:? ?→? ?=? ?0? ?y′? ?b

?? ?

? ?a=0 ?3a? ?0? =? ?=? ?,解得? ; ?3b? ?3? ?b=1 ?

?2? ?x′? ?a c??2?=?2a+c?=? 1?, S:? ?→? ?=? ?? ? ? ? ? ? ?1? ?y′? ?b d??1? ?2b+d? ?-1?
? 1? ?c=1 ?0 解得? ,综上可知,T=? ?. ?1 -3? ?d=-3 ?

7. 已知曲线 C: xy=1, 将曲线 C 绕坐标原点逆时针旋转 45° 后, 求得到的曲线 C′的方程. 解 设 P(x0,y0)是曲线 C:xy=1 上的任一点,点 P(x0,y0)在旋转变换后对应的点为

P′(x′0,y′0),则

?x0′? ?cos 45° -sin 45° ??x0? ? ?=? ?? ? ??y0? ?y0′? ?sin 45° cos 45°

? 22 =? 2 ?2



2 2 x- 2 ?x0? 2 0 ? ?= 2 ?y0? 2 x+ 2 2 0

? ? ?

? ? ?

? ? 2 y 2 ?
2 y 2 0
0

?x′ = 22x - 22y , ∴? 2 2 ?y′ = 2 x + 2 y ,
0 0 0 0 0 0

?x = 22?x′ +y′ ?, ∴? 2 ?y = 2 ?y′ -x′ ?.
0 0 0 0 0 0

又 x0y0=1,∴

2 2 (y′0+x′0)× (y′0-x′0)=1. 2 2

2 2 2 ∴y′2 0-x′0=2,即曲线 C:xy=1 旋转后所得到的曲线 C′的方程为:y -x =2.

8. 在直角坐标系中,已知△ABC 的顶点坐标为 A(0,0)、B(1,1)、C(0,2),求△ABC 在矩阵 MN 作用下变换所得到的图形的面积,其中 M=? 解

?0 1?,N=?0 -1?. ? ? ? ?1 0? ?1 0? ?0 -1? ?作用下,一个图形变换 ?1 0?

由在矩阵线性变换下的几何意义可知,在矩阵 N=?

为其绕原点逆时针旋转 90° 得到的图形;在矩阵 M=?

?0 1?作用下,一个图形变换为与 ? ?1 0?

之关于直线 y=x 对称的图形,因此,△ABC 在矩阵 MN 作用下变换所得到的图形与 △ABC 全等,从而其面积等于△ABC 的面积,即为 1. 9. 已知矩阵 A=?

?1 -1? ?,其中 a∈R,若点 P(1,1)在矩阵 A 的变换下得到点 P′(0,-3). ?a 1?

(1)求实数 a 的值; (2)求矩阵 A 的特征值及特征向量. 解

?1 (1)由题意得? ?a

-1??1?

? 0? ?? ?=? ?, 1??1? ?-3?

所以 a+1=-3,所以 a=-4. (2)由(1)知 A=? 令 f(λ)=? -1? ?1 ?, 1? ?-4

1? ?λ-1 ?=(λ-1)2-4=0. ? 4 λ-1?

解得 A 的特征值为 λ=-1 或 3.
?-2x+y=0 ? ?1? 当 λ=-1 时,由? 得矩阵 A 的属于特征值-1 的一个特征向量为? ?, ?2? ?4x-2y=0 ? ? ?2x+y=0 ? 1? 当 λ=3 时,由? 得矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特征向量为? ?. ?-2? ?4x+2y=0 ?

10.(2012· 福建)设曲线 2x2+2xy+y2=1 在矩阵 A=? 线为 x2+y2=1. (1)求实数 a,b 的值; (2)求 A2 的逆矩阵.

?a 0?(a>0)对应的变换作用下得到的曲 ? ?b 1?



(1)设曲线 2x2+2xy+y2=1 上任意点 P(x,y)在矩阵 A 对应的变换作用下的象是

P′(x′,y′). 由?
?x′=ax, ? ?x′? ?a 0??x? ? ax ? ?=? ?? ?=? ?,得? ?y′=bx+y. ?y′? ?b 1??y? ?bx+y? ?

又点 P′(x′,y′)在 x2+y2=1 上,所以 x′2+y′2=1, 即 a2x2+(bx+y)2=1, 整理得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1.
2 2 ? ? ? ?a +b =2, ?a=1, ?a=-1, ? 依题意得 解得? 或? ?2b=2, ? ? ? ?b=1, ?b=1.

? ?a=1, 因为 a>0,所以? ?b=1. ?

(2)由(1)知,A=?

?1 0?,A2=?1 0??1 0?=?1 0?. ? ? ?? ? ? ? ?1 1? ?1 1??1 1? ?2 1?


所以|A2|=1,(A2) 1=?

0? ?1 ?. ?-2 1?


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