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2015-2016学年高中数学 1.1 正弦定理和余弦定理课时作业1 新人教A版必修5


课时作业(一)

正弦定理
)

A 组 基础巩固 1.在△ABC 中,已知 b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定 解析:由正弦定理 = , sinB sinC

b

c

3 40× 2 bsinC 得 sinB= = = 3>1. c 20 ∴B 不存在.即满足条件的三角形不存在. 答案:C 2.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 acosB+acosC=b+c,则△ABC 的形状是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 解析:∵acosB+acosC=b+c,由正弦定理得, sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC=sin(A+C)+sin(A+B), 化简得:cosA(sinB+sinC)=0,又 sinB+sinC>0, π ∴cosA=0,即 A= , 2 ∴△ABC 为直角三角形. 答案:D 3.在△ABC 中,一定成立的等式是( ) A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB C.asinB=bsinA D.acosB=bcosA 解析:由正弦定理 = = ,得 asinB=bsinA. sinA sinB sinC 答案:C 3+1 4. 在△ABC 中, 已知 B=60°, 最大边与最小边的比为 , 则三角形的最大角为( ) 2 A.60° B.75° C.90° D.115° a sinA 3+1 sinA 解析:不妨设 a 为最大边,c 为最小边,由题意有 = = ,即 c sinC 2 sin?120°-A? = 3+1 .整理,得(3- 3)sinA=(3+ 3)cosA.∴tanA=2+ 3,∴A=75°,故选 B. 2 答案:B 5.在△ABC 中,∠BAC=120°,AD 为角 A 的平分线,AC=3,AB=6,则 AD 的长是( A.2 B.2 或 4 C.1 或 2 D.5

a

b

c

)

解析: 如图,由已知条件可得∠DAC=∠DAB=60°. ∵AC=3,AB=6,S△ACD+S△ABD=S△ABC, 1 3 1 3 1 3 ∴ ×3×AD× + ×6×AD× = ×3×6× , 2 2 2 2 2 2 解得 AD=2.
-1-

答案:A 6.在△ABC 中,A=60°,BC=3,则△ABC 的两边 AC+AB 的取值范围是( A.[3 3,6] B.(2,4 3) C.(3 3,4 3] D.(3,6] AC AB BC 3 解析:由正弦定理,得 = = = . sinB sinC sinA 3 2 ∴AC=2 3sinB,AB=2 3sinC. ∴AC+AB=2 3(sinB+sinC) =2 3[sinB+sin(120°-B)] 3 1 ? ? =2 3?sinB+ cosB+ sinB? 2 2 ? ? 3 ?3 ? =2 3? sinB+ cosB? 2 ?2 ? 1 ? 3 ? =6? sinB+ cosB?=6sin(B+30°). 2 2 ? ? ∵0°<B<120°,∴30°<B+30°<150°. 1 ∴ <sin(B+30°)≤1.∴3<6sin(B+30°)≤6. 2 ∴3<AC+AB≤6. 答案:D π π 7.已知在△ABC 中,a+b= 3,A= ,B= ,则 a 的值为________. 3 4 解析:由正弦定理,得 b= 由 a+b=a+

)

asinB 6 = a. sinA 3

6 a= 3,解得 a=3 3-3 2. 3

答案:3 3-3 2 8.若三角形三个内角的比是 1∶2∶3,最大的边是 20,则最小的边是________. 解析:∵三个内角和为 180°,∴三个内角分别为 30°,60°,90°. 20 x 设最小的边为 x,∵最大的边为 20,∴ = ,∴x=10, sin90° sin30° ∴最小的边是 10. 答案:10 2 5 9.在△ABC 中,B=45°,AC= 10,cosC= ,求 BC 边的长. 5 2 5 解:∵cosC= , 5 ∴sinC= 1-cos C=
2

1-?

5 ?2 5?2 ?= 5 . ? 5 ?

∴sinA=sin(B+C)=sin(45°+C) 2 3 10 = (cosC+sinC)= . 2 10 由正弦定理可得:

-2-

ACsinA BC= = sinB

3 10 10× 10 2 2

=3 2.

10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cosA= (1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. 解:(1)在△ABC 中, 由题意知 sinA= 1-cos A= π 又因为 B=A+ , 2 6 ? π? 所以 sinB=sin?A+ ?=cosA= . 2? 3 ? 由正弦定理可得 6 3× 3 asinB b= = =3 2. sinA 3 3 π (2)由 B=A+ 得 2 3 ? π? cosB=cos?A+ ?=-sinA=- , 2? 3 ? 由 A+B+C=π ,得 C=π -(A+B). 所以 sinC=sin[π -(A+B)] =sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB 3 ? 6 6 3? = ×?- ?+ × 3 ? 3? 3 3 1 = . 3 因此△ABC 的面积 1 1 1 3 2 S= absinC= ×3×3 2× = . 2 2 3 2
2

6 π ,B=A+ . 3 2

3 , 3

B 组 能力提升 2 11.若△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos A= 2a, 则 =(

b a

)

A.2 3 B.2 2 C. 3 D. 2 2 2 2 2 解析: 由正弦定理得, sin AsinB+sinBcos A= 2sinA, 即 sinB(sin A+cos A)= 2sinA, 故 sinB= 2sinA,所以 = 2. 答案:D

b a

-3-

a-2b+c 12.已知在△ABC 中,A∶B∶C=1∶2∶3,a=1,则 =________. sinA-2sinB+sinC 解析:∵A∶B∶C=1∶2∶3, ∴A=30°,B=60°,C=90°. a b c 1 ∵ = = = =2, sinA sinB sinC sin30° ∴a=2sinA,b=2sinB,c=2sinC. a-2b+c ∴ =2. sinA-2sinB+sinC 答案:2

13. 如图,D 是 Rt△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α ,∠ABC=β . (1)证明:sinα +cos2β =0; (2)若 AC= 3DC,求 β 的值. π π 解:(1)证明:∵α = -(π -2β )=2β - , 2 2 π? ? ∴sinα =sin?2β - ?=-cos2β ,即 sinα +cos2β =0. 2? ? (2)解:在△ADC 中,由正弦定理, 得 即 = , sinα sin?π -β ?

DC

AC

DC 3DC = ,∴sinβ = 3sinα . sinα sinβ 由(1)得 sinα =-cos2β , 2 ∴sinβ =- 3cos2β =- 3(1-2sin β ), 2 由 2 3sin β -sinβ - 3=0, 3 3 解得 sinβ = 或 sinβ =- . 2 3
π 3 π ∵0<β < ,∴sinβ = ,∴β = . 2 2 3 a+b sinB 14.在△ABC 中,已知 = ,且 cos(A-B)+cosC=1-cos2C. a sinB-sinA (1)试确定△ABC 的形状; a+c (2)求 的取值范围.

b

a+b sinB a+b b = ,∴ = , a sinB-sinA a b-a 2 2 ∴b -a =ab. ∵cos(A-B)+cosC=1-cos2C, 2 ∴cos(A-B)-cos(A+B)=2sin C. 2 ∴cosAcosB+sinAsinB-cosAcosB+sinAsinB=2sin C. 2 2 ∴2sinAsinB=2sin C.∴sinAsinB=sin C. 2 2 2 2 2 2 2 ∴ab=c .∴b -a =c ,即 a +c =b . ∴△ABC 为直角三角形.
解:(1)∵ π (2)∵在△ABC 中,B= , 2

-4-

π ∴A+C= ,sinC=cosA. 2 a+c sinA+sinC sinA+sinC ∵ = = =sinA+cosA, b sinB π sin 2 a+c ? π? ∴ = 2sin?A+ ?. 4? b ? π π π 3π ∵0<A< ,∴ <A+ < . 2 4 4 4 π 2 ? ? ? π? ∴ <sin?A+ ?≤1.∴1< 2sin?A+ ?≤ 2, 4? 4? 2 ? ? a+c 即 的取值范围为(1, 2].

b

-5-


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