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【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题八 第2讲


思想方法概述

专题八 第2讲

第2讲

数形结合思想

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1.数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形” 两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的 生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段, 数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性 质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些 属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程 来精确地阐明曲线的几何性质.

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专题八 第2讲

2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则: (1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转 换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有时,由于图
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形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性 质只能是一种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效 应. (2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的 代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易出错.

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专题八 第2讲

(3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运 用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要选择好突破口,恰 当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐含条件,准 确界定参变量的取值范围, 特别是运用函数图象时应设法选择
本 动直线与定二次曲线. 讲 栏 3.数形结合思想解决的问题常有以下几种: 目 开 (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围. 关

(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围. (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系. (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证 明不等式. (5)构建立体几何模型研究代数问题.

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(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问 题. (7)构建方程模型,求根的个数.
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(8)研究图形的形状、位置关系、性质等. 4. 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧, 特别是在解填空题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平 时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具 体操作时,应注意以下几点: (1)准确画出函数图象,注意函数的定义域.

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(2)用图象法讨论方程 (特别是含参数的方程 )的解的个数是一
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种行之有效的方法, 值得注意的是首先要把方程两边的代数式 看作是两个函数的表达式 (有时可能先作适当调整,以便于作 图),然后作出两个函数的图象,由图求解.

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专题八 第2讲

类型一 例1
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利用数形结合思想讨论方程的根、函数的零点

(2012· 辽宁改编)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x), f(x)

=f(2-x), 且当 x∈[0,1]时, f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos(πx)|, ? 1 3? 则函数 h(x)=g(x)-f(x)在?-2,2?上的零点个数为______. ? ?

解析 根据题意, 函数 y=f(x)是周期为 2 的偶函数且 0≤x≤1 时,f(x)=x3, 则当-1≤x≤0 时,f(x)=-x3,且 g(x)=|xcos(πx)|,

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所以当 x=0 时,f(x)=g(x). 1 当 x≠0 时,若 0<x≤ ,则 x3=xcos(πx), 2 即 x2=cos πx. ? 1 3? ? ? 本 再根据函数性质画出?-2,2?上的图象,
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在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象, 如图所示,有5个根.所以总共有6个.

答案 6

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专题八 第2讲

用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对 数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方
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法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函 数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函 数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点 个数即为方程解的个数.

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2 ? ?x +bx+c,x≤0 f(x)=? ? ?2, x>0

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设函数

,若 f(-4)=f(0),

3 f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为________ .
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解析 由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
解得
2 ? ?x +4x+2,x≤0 b=4,c=2,∴f(x)=? ? ?2, x>0

∴方程

? ?x>0 f(x)=x?? ? ?x=2

? ?x≤0 或? 2 ? ?x +4x+2=x

解得 x=2 或 x=-1 或 x=-2,均合题意.

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类型二

专题八 第2讲

利用数形结合思想解不等式或求参数范围

例 2 (1)(2012· 福建)对于实数 a 和 b,定义运算“*”:a*b= 2 ? ?a -ab,a≤b, ? 2 设 f(x)=(2x-1)*(x-1), 且关于 x 的方程 ? ?b -ab,a>b.
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f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是________.
? ??2x-1?x,x≤0, 由定义可知,f(x)=? ? ?-?x-1?x,x>0.

解析

作出函数 f(x)的图象,如图所示. 1 由图可知,当 0<m<4时, f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数
根 x1,x2,x3.

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不妨设 x1<x2<x3, 易知 x2>0, 1 且x2+x3=2× =1, 2 1 ∴x2x3< . 4

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1 ? ??2x-1?x= , 1- 3 1+ 3 4 令? 解得 x= 或 x= (舍去). 4 4 ? ?x<0, 1- 3 1- 3 ∴ 4 <x1<0,∴ 16 <x1x2x3<0.
答案
?1- ? ? 16 ? ? 3 ? ,0? ?

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专题八 第2讲

(2)已知奇函数 f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},且在(0,+∞) 上单调递增,若 f(1)=0,则满足 x· f(x)<0 的 x 的取值范围是
本 讲 解析 作出符合条件的一个函数图象草图即可, 栏 目 f(x)<0的x的取值范围是 开 由图可知x· 关

(-1,0)∪(0,1) . ______________

(-1,0)∪(0,1).

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专题八 第2讲

求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象,
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根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用 两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题,往 往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答.

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专题八 第2讲

(1)使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是_____. |lg x|, 0<x≤10, ? ? (2)已知函数 f(x)=? 1 若 a,b,c 互不相 - x+6,x>10, ? ? 2
本 讲 栏 解析 (1)在同一坐标系中,分别作出 y=log2(-x),y=x+1 的 目 开 图象, 关

等,且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc 的取值范围是________.

由图可知,x 的取值范围是(-1,0).

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(2)作出 f(x)的大致图象.

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由图象知,要使 f(a)=f(b)=f(c),不妨设 a<b<c,则 1 -lg a=lg b=- c+6. 2 ∴lg a+lg b=0,∴ab=1,∴abc=c. 由图知 10<c<12,∴abc∈(10,12).
答案 (1)(-1,0) (2)(10,12)

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专题八 第2讲

类型三 例3
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利用数形结合思想求最值

已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 x2

+y2-2x-2y+1=0 的两条切线,A、B 是切点,C 是圆心, 求四边形 PACB 面积的最小值.
在同一坐标系中画出直线与圆. 作出圆的切线 PA、PB,则四边形 PACB 的 面积 S 四边形 PACB=S△PAC+S△PBC=2S△PAC.

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解 方法一

专题八 第2讲
从运动的观点看问题,当动点 P 沿直线 3x+4y

+8=0 向左上方或向右下方无穷远处运动时, 1 1 直角三角形 PAC 的面积 SRt△PAC=2PA· AC=2PA 越来越大, 从而
本 讲 栏 当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时,S 四边形 PACB 变小, 目 开 显然,当点 P 到达一个最特殊的位置, 关

S 四边形 PACB 也越来越大;

即 CP 垂直直线时,S |3×1+4×1+8| =3, 2 2 3 +4

四边形 PACB

应有唯一的最小值,此时 PC=

从而PA= PC2-AC2=2 2. 1 ∴(S 四边形 PACB)min=2· PA· AC=2 2. 2·

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方法二

专题八 第2讲

利用等价转化的思想,设点 P 的坐标为(x,y),

则 PC= ?x-1?2+?y-1?2,由勾股定理及 AC=1, 得 PA= PC2-AC2= ?x-1?2+?y-1?2-1,
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1 从而 S 四边形 PACB=2S△PAC=2· PA· AC=PA 2· = ?x-1?2+?y-1?2-1, 从而欲求 S
四边形

PACB

的最小值,只需求 PA 的最小值,只需求

PC2=(x-1)2+(y-1)2 的最小值, 即定点 C(1,1)与直线上动点 P(x, y)距离的平方的最小值, 它也 就是点 C(1,1)到直线 3x+4y+8=0 的距离的平方,

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专题八 第2讲

|3×1+4×1+8| 2 即 d =( ) =9, 2 2 3 +4
2

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∴(S四边形PACB)min= 9-1=2 2. 方法三 利用函数思想,将方法二中 S
四 边 形

PACB



?x-1?2+?y-1?2-1中的 y 由 3x+4y+8=0 解出, 代入转化为关于 x 的一元二次函数,进而用配方法求最值,也 可得(S 四边形 PACB)min=2 2.

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专题八 第2讲

在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三 点:①要彻底弄清一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数
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特征,对数学题目中的条件和结论,既分析其几何意义又分析 其代数意义.②要恰当设立参数,合理建立关系,由数思形, 以形思数,做好数形转化.③要正确确定参数的取值范围.

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?x-y+1≤0, ? 若实数x,y满足 ?x>0, ?y≤2, ? ________ . 2
本 解析 画可行域如图所示. 讲 y 栏 目 又x的几何意义是可行域内的点与坐标原 开 关 点连线的斜率 k.

专题八 第2讲
y 则 x 的最小值是

由图知,过点 A 的直线 OA 的斜率最小.
? ?x-y+1=0, 联立? ? ?y=2

得 A(1,2),

2-0 y ∴kOA= =2.∴x的最小值为 2. 1-0

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专题八 第2讲

1.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面
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区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助 数的途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可 以通过图形分析这些数量关系,达到解题的目的. 2.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就 要对图形进行数量上的分析,通过数的帮助达到解题的目 的.

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专题八 第2讲

3.利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出即可, 不需要精确图象.
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4.数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技 巧,特别是在解填空题时更方便,可以提高解题速度. 5.数形结合思想常用模型:一次、二次函数图象;斜率公 式;两点间的距离公式(或向量的模、复数的模);点到直 线的距离公式等.

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专题八 第2讲

1.已知0<a<1,则方程a|x|=|logax|的实根个数为________ 2 .
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解析 作出函数y=a|x|,y=|logax|的图象, 由图象可知,两图象只有两个交点, 故方程有2个实根.

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专题八 第2讲

5π 2π 2π 2.设 a=sin ,b=cos ,c=tan ,则 a、b、c 的大小 7 7 7 关系为________ b<a<c .
? 2π? 5π 解析 a=sin =sin?π- 7 ? 7 ? ? 2π π 2π π =sin 7 ,又4< 7 <2,

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可通过单位圆中的三角函数线进行比较:
2π 2π 如图所示,cos 7 =OA,sin 7 =AB, 2π tan 7 =MN,

2π 2π 2π ∴cos 7 <sin 7 <tan 7 ,即 b<a<c.

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3.等差数列{an}中,a1>0,S8=S12,则当 n=________ 时,Sn 10 取得最大值;S20=________. 0
解析
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由于等差数列前 n 项和可写成 Sn=an2+bn 的形式,

其图象是过原点的一条抛物线. 由已知 S8=S12 可知对应的二次函数的对称轴应是 x=10, 且 公差小于零,开口向下,有最大值.

于是可知 n=10 时,Sn 取得最大值. 因为二次函数图象过原点, 所以过点(20,0),即 S20=0.(如图)

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1 4.当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 2
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? 2 ? ? ? , 1 ? 2 ? 的取值范围是________ ? ? .

解析

利用指数函数和对数函数的性质及图象得,
2 ,解得 2 <a<1.

? ?0<a<1 1 ? 1 ? ? log a ? 4 2

2

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专题八 第2讲

5.若不等式 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为区间[a,b],且 b
2 -a=2,则 k=________.

解析 令 y1= 9-x2,
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y2=k(x+2)- 2,在同一个坐标系中 作出其图象,
因 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为[ a,b] 且 b-a=2.

结合图象知 b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2 2). 2 2+ 2 ∴k= = 2. 1+2

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专题八 第2讲

1 6.若不等式|x-2a|≥ x+a-1 对 x∈R 恒成立,则 a 的取值 2
? 1? -∞, ? . 范围是? ________ 2? ?

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1 解析 作出 y=|x-2a|和 y= x+a-1 的简图, 2 1 依题意知应有 2a≤2-2a,故 a≤ . 2

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7.已知实系数方程x2+ax+2b=0的两根x1,x2满足0<x1<1<x2<2. 则a2+b2的取值范围是________.
解析 令f(x)=x2+ax+2b,由二次方程根的分布(如图①),
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?f?0?>0, ? 可得?f?1?<0, ?f?2?>0 ?

?b>0, ? ??1+a+2b<0, ?2+a+b>0, ?

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则点(a,b)所在区域为△ABC 的内部(如图②).

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a2+b2 的几何意义是区域内的点(a,b)与原点距离的平方, 由图②可看出:OB2<a2+b2<OA2,即 a2+b2∈(1,10).
答案 (1,10)

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专题八 第2讲

8.设函数 f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知它 们在 x=1 处的切线互相平行. (1)求 b 的值;
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? ?f?x?,x≤0, F(x)=? ? ?g?x?,x>0,

(2)若函数

且方程 F(x)=a2 有且仅有

四个解,求实数 a 的取值范围.
解 函数 g(x)=bx2-ln x 的定义域为(0,+∞),

(1)f′(x)=3ax2-3a?f′(1)=0, 1 g′(x)=2bx- ?g′(1)=2b-1, x 1 依题意 2b-1=0,所以 b= . 2

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1 (2)x∈(0,1)时,g′(x)=x-x<0, 1 x∈(1,+∞)时,g′(x)=x- >0, x
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1 所以当 x=1 时,g(x)取得极小值 g(1)= ; 2 当a=0时,方程F(x)=a2不可能有四个解; 当 a<0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0, x∈(-1,0)时,f′(x)>0, 所以当 x=-1 时,f(x)取得极小值 f(-1)=2a,

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又 f(0)=0,所以 F(x)的图象如图所示:
从图象可以看出 F(x)=a2 不可能有四个解. 当 a>0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0,
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x∈(-1,0)时,f′(x)<0, 所以当 x=-1 时,f(x)取得极大值 f(-1)=2a. 又 f(0)=0,所以 F(x)的图象如图:
从图象看出方程 F(x)=a2 有四个解, 1 2 则 <a <2a, 2 所以实数 a
? 的取值范围是? ? ? ? 2 ? ,2?. 2 ?


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