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辽宁省普通高中学生2012年高二学业水平考试模拟卷(1)(数学)

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2012 年辽宁省普通高中学生学业水平考试模拟卷 数学(1)
第Ⅰ卷(选择题 共 36 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个符合题目的要求)
1.下列说法正确的是( )

(A) ? ? N*

(B) ? 2 ? Z

(C) 0 ? ? (D) 2 ? Q

2.三个数 a ? 30.7 , b ? 0.73 , c ? log3 0.7 的大小顺序为(

(A) b ? c ? a

(B) b ? a ? c

(C) c ? a ? b

3. 2sin ? ? cos ? 的值为(



12 12


(D) c ? b ? a

(A) 1 2

(B) 2 2

(C) 3 2

(D)1

4. 函数 y ? 4sin 2x(x ?R) 是 (



(A) 周期为 2? 的奇函数 (C) 周期为? 的奇函数

(B)周期为 2? 的偶函数 (D) 周期为? 的偶函数

5.已知 a ? (1, 2) , b ? ? x,1? ,当 a + 2b 与 2a - b 共线时, x 值为( )

(A) 1

(B)2

(C) 1 3

(D) 1 2

6. 某公司有员工 150 人,其中 50 岁以上的有 15 人,35~49 岁的有 45 人,不到 35 岁的有

90 人.为了调查员工的身体健康状况,采用分层抽样方法从中抽取 30 名员工,则各年龄

段人数分别为(



(A) 5, 10, 15

(B) 5, 9, 16

(C) 3, 9, 18 (D) 3, 10, 17

1

2

7.在下列函数中:① f (x) ? x2 , ② f (x) ? x3 ,③ f (x) ? cos x ,④ f (x) ? x ,

其中偶函数的个数是 (

)

(A)0

(B)1

( C)2

(D)3

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8. 某样本数据的频率分布直方图的部分图形如下图所示,

则数据在[50,70)的频率约为(

)

(A)0.25

(B)0.05

(C)0.5

(D)0.025

9. 把函数 y ? cos(x ? 4? ) 的图象向右平移? (? >0)个单位,所得的图象关于 y 轴对称, 3

则? 的最小值为(

)

(A) ? 6

(B) ? 3

(C) 2? 3

(D) 4? 3

10. 如图,大正方形的面积是 13,四个全等的直角三角形围成一个小正方形.

直角三角形的较短边长为 2.向大正方形内投一飞镖,则飞镖落在小正

方形内的概率为(



(A) 1 13

(B) 2 13

(C) 3 13

(D) 4 13

?x ? y ? 5 ? 0, 11. 已知 x、y 满足条件 ??x ? y ? 0, 则 2x+4y 的最小值为(
??x ? 3.

(A)6

(B) 12

(C) -6

12.条件语句⑵的算法过程中,当输入 x ? 4? 时, 3

输出的结果是(



A. ? 3 2

B. ? 1 2

C. 1 2

D. 3 2



(D)-12

Input x if x>0 then
y ? cos x
Else

y ? sin x

End Print y
第7题

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分,把答案填在题中的横线上)

13.设?, ? 是两个不同的平面,l 是一条直线,给出四个命题:①若 l ? ?,? ? ? ,则 l ? ? ;

②若 l / /?,? / /? ,则 l ? ? ③若 l ? ?,? / /? ,则 l ? ? ; ④若 l / /?,? ? ? ,则

l ? ? .则真命题的个数为



14.在等差数列{an}中,已知 a2 ? a8 ? 10,则a5 的值为



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15.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的体积





主 视图 22

2
2 左 视图

俯 视图

16.定义在 R 上的奇函数 f (x) 为减函数,若 a ? b ? 0,给出下列不等式:

① f (a) ? f (?a) ? 0 ;

② f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) ;

③ f (b) ? f (?b) ? 0 ;

④ f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) .

其中正确的是

(把你认为正确的不等式的序号全写上).

三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分,解答应写出文字说明或演算步骤)

17.(10 分)

在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cos

A+2 C=

3 3.

(Ⅰ)求 cosB 的值;

(II)若 BA ·BC =2,b=2 2,求 a 和 c 的值.

18.(10 分) 如图, 在底面是菱形的四棱锥 P ? ABCD ,
?ABC ? 60? , PA ? AC ? a , PB ? PD ? 2a ,
点 E 是 PD 的中点.证明: (Ⅰ) PA ⊥平面 ABCD ; (Ⅱ) PB ∥平面 EAC .

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19.(10 分)
某中学的高二(1)班男同学有 45 名,女同学有 15 名,老师按照分层抽样的方法组建了 一个 4 人的课外兴趣小组. (I)求课外兴趣小组中男、女同学的人数; (II)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定随机选出两名同学分别去做某项试 验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率; (III)在(II)的条件下,两名同学的试验结束后,男同学做试验得到的试验数据为 68、 70、71、72、74,女同学做试验得到的试验数据为 69、70、70、72、74,请问哪位同 学的试验更稳定?并说明理由.

20.(10 分) 已知圆 M 过两点 A (1,-1), B (-1,1),且圆心 M 在 x ? y ? 2 ? 0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x ? 4y ? 8 ? 0 上的动点, PC 、 PD 是圆 M 的两条切线,C 、 D 为 切点,求四边形 PCMD 面积的最小值.

? ? 21.(12 分) 在数列 an 中, a1 ? 3 , an?1 ? 3an ? 3n?1 .

(Ⅰ)设 bn

?

an 3n

.证明:数列?bn? 是等差数列;

(Ⅱ)求数列?an? 的前 n 项和 Sn .

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一、选择题

参考答案与评分标准

1.B;2.D;3.A;4. C;5. D;6.C;7.C;8. B;9. B;10. A;11. C;12. B.

二、填空题
13.1;14.5;15. 8 ;16.①④. 3

三、解答题

A+C 17.解:(1)∵cos 2 =

33,∴sinB2=sin(π2-A+2 C)=

33,

2分

∴cosB=1-2sin2B2=13......................................................................................5 分

(2)由 BA ·BC =2 可得 a·c·cosB=2,又 cosB=13,故 ac=6,...........................6 分

由 b2=a2+c2-2accosB 可得 a2+c2=12, .........................................................8 分

∴(a-c)2=0,故 a=c,∴a=c= 6...................................................................10 分

18.证明:(1) 底面 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 , ? AB ? BC ? CD ? DA ? AC ? a . ················································································2 分

PA ? AC ,?PA ? AB ? a , PB ? 2a ,

?PA ? AB ,同理可证 PA ? AD , ·················································································4 分 又 AB AD ? A ,?PA ? 平面 ABCD .··································································5 分 (2)连结 AC,BD 相交于 O ,则 O 为 BD 的中点.
E 为 PD 的中点,?PB∥OE . ···················································································6 分

又 OE ? 平面 EAC , PB ? 平面 EAC ,····································································8 分 ?PB∥平面 EAC .··········································································································10 分

19.解:(I) P ? n ? 4 ? 1 ?每个同学被抽到的概率为 1 .

2分

m 60 15

15

课外兴趣小组中男、女同学的人数分别为 3,1.

....................4 分

(II)把 3 名男同学和1名女同学记为 a1, a2 , a3, b 则选取两名同学的基本事件有

(a1, a2 ), (a1, a3), (a1, b), (a2, a3), (a2, b), (a3, b), 共 6 种,其中有一名女同学的有 3 种

?选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 P ? 3 ? 1 . 62

....................8 分

(III)

x1

?

68

?

70

?

71? 5

72

?

74

?

71,

x2

?

69

?

70

?

70 5

?

72

?

74

?

71

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s12

?

(68 ? 71)2

?

5

? (74 ? 71)2

?

4 , s22

?

(69 ? 71)2
2

?

5

? (74 ? 71)2

? 3.2

? 女同学的实验更稳定.

0

..................10 分

20.解:(1)法一:线段 AB 的中点为(0,0),其垂直平0分线方程为 x ? y ? 0 . 2 分

解方程组

?x ??x

? ?

y y

? 0, ?2?

0.

所以圆

M

9 的圆心坐标0 为(1,1).

3

故所求圆 M 的方程为: (x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 42. ············· 4 分

法二:设圆 M 的方程为: (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ?5r2 ,

?(1? a)2 ? (?1? b)2 ? r2,

根据题意得

? ?(?1

?

a)2

?

(1

?

b)2

? r2 , ··················

2分

??a ? b ? 2 ? 0.

解得 a ? b ? 1, r ? 2 .

故所求圆 M 的方程为: (x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 4 . ············· 4 分

(2)由题知,四边形 PCMD 的面积为

S

?

S?PMC

?

S?PMD

?

1 2

CM

PC ? 1 DM 2

PD . ············ 6 分

又 CM ? DM ? 2, PC ? PD ,

所以 S ? 2 PC ,而 PC ? | PM |2 ? | CM |2 ? | PM |2 ?4 ,

即 S ? | PM |2 ?4 . ························ 7 分 因此要求 S 的最小值,只需求 PM 的最小值即可,

即在直线 3x ? 4y ? 8 ? 0 上找一点 P ,使得 PM 的值最小,

所以 PM ? 3?1? 4?1? 8 ? 3 , ·················· 9 分

min

32 ? 42

所以四边形 PCMD 面积的最小值为

S ? | PM |2 ?4 ? 2 32 ? 4 ? 2 5 . ··················10 分

21.解: (Ⅰ) an?1 ? 3an ? 3n?1 ,∴

an?1 3n?1

?

an 3n

? 1 ,于是 bn?1

? bn

?1,

? ? ∴ bn 为首项和公差为 1 的等差数列. ···········································································4 分

(Ⅱ)由 b1 ? 1, bn ? n 得,

an 3n

? n .∴ an

?

n ? 3n .············································

6分

Sn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? ? (n ? 1) ? 3n?1 ? n ? 3n ,

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3Sn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? ? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n?1 ,

两式相减,得 2Sn ? n ? 3n?1 ? (31 ? 32 ? ? 3n ) , ···················································10 分

解出 Sn

?

(n 2

?

1 )3n?1 4

?

3 4



························································································12



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