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高中数学课件:第三章 章末复习方案与全优评估

第 三 章 三 角 恒 等 变 换

章 末 复 习 方 案 与 全 优 评 估

要点整合再现

考点一

高频考点例析

考点二 考点三

阶段质量检测

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1.和(差)角公式

(1)公式C(α-β),C(α+β)的公式特点:同名相乘,符号相
反;公式S(α-β),S(α+β)的公式特点:异名相乘,符号相同;

T(α±β)的符号规律为“分子同,分母反”.
(2)和(差)角公式揭示了不同角的三角函数的运算规律,

公式成立的条件是相关三角函数有意义,尤其是正切函数.

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2.二倍角公式 (1)分别令公式 C(α+β),S(α+β),T(α+β)中的 α=β,即得二倍角 公式 C2α,S2α,T2α. (2)“二倍”关系是相对的,只要两个角满足比值为 2 即 可.倍角公式揭示了具有倍角关系的两个角的三角函数的运算 规律. (3)公式变形: 升幂公式:cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α,1+cos 2α= 2cos2α,1-cos 2α=2sin2α. 1+cos 2α 1-cos 2α 2 降幂公式:cos α= ,sin α= . 2 2
2

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3.常见角的变换 使用本章公式时,要注意分析已知角与已知角,目标角与 已知角的关系.常见的角的变换有:α=(α+β)-β=(α-β)+β, 2α=(α+β)+(α-β)=(β+α)-(β-α),2α+β=(α+β)+α,α+ α+β α+β α-β α-β α+β β α β= + ,α-β= + , =(α- )-( -β), 2 2 2 2 2 2 2 α-β β α =(α+ )-( +β). 2 2 2 另外,分析角与角之间的互余、互补关系,利用诱导公式 可以简化运算.
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4.辅助角公式 形如y=asin ωx+bcos ωx的函数可转化为y=Asin(ωx +φ)(或y=Acos(ωx-φ)),进而可研究函数的周期、最值、 单调性及图像变换.

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[例 1]

1 π (2011· 重庆高考)已知 sin α= +cos α, α∈(0, ), 且 2 2

cos 2α 则 的值为________. π sin?α- ? 4
[解析] 1 依题意得 sin α-cos α= , 2

又(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2, 12 即(sin α+cos α) +( ) =2, 2
2

7 π 故(sin α+cos α) = ;又 α∈(0, ), 4 2
2

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7 因此有 sin α+cos α= , 2 cos2α-sin2α cos 2α 所以 = π 2 sin?α- ? ?sin α-cos α? 4 2 14 =- 2(sin α+cos α)=- . 2
[答案] 14 - 2

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[借题发挥]

在三角函数式的化简求值问题中要注意

角的变化,函数名的变化,合理选择公式进行变形,同时

注意三角变换技巧的运用.

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x 2sin2 -1 ?π? 2 1.若 f(x)=2tan x- x x ,则 f?12?的值为 ( ? ? sin cos 2 2 4 3 A.- B.8 3 C.4 3 D.-4 3 2x 1-2sin 2 2cos x 解析:∵f(x)=2tan x+ =2tan x+ 1 sin x sin x 2 ?π? 2 4 4 = = ,∴f?12?= =8. sin xcos x sin 2x π ? ? sin 6 答案:B

)

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2?3+cos 4x? 1 2.求证:tan x+ 2 = . tan x 1-cos 4x
2

4 4 sin2x cos2x sin x+cos x 证明:法一:左边= 2 + 2 = cos x sin x sin2xcos2x ?sin2x+cos2x?2-2sin2xcos2x = 1 2 sin 2x 4 1 2 1 2 1- sin 2x 1- sin 2x 2 2 = = 1 2 1 sin 2x ?1-cos 4x? 4 8 8-4sin22x 4+4cos22x = = 1-cos 4x 1-cos 4x 4+2?1+cos 4x? 2?3+cos 4x? = = =右边. 1-cos 4x 1-cos 4x 原式得证.

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2?2+1+cos 4x? 法二:右边= 2sin22x 2?2+2cos22x? 2?1+cos22x? = = 2sin22x 4sin2xcos2x ?sin2x+cos2x?2+?cos2x-sin2x?2 = 2sin2xcos2x 2?sin4x+cos4x? 1 2 = =tan x+ 2 =左边. 2sin2xcos2x tan x 原式得证.

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[例 2]

π π π (2011· 浙江高考)若 0<α< ,- <β<0,cos( +α) 2 2 4 ( )

1 π β 3 β = ,cos( - )= ,则 cos(α+ )= 3 4 2 3 2 3 A. 3 5 3 C. 9 3 B.- 3 6 D.- 9

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[解析]

β π π β π cos(α+ )=cos [( +α)-( - )]=cos( +α)cos 2 4 4 2 4

π β π π β ( - )+sin( +α)sin( - ), 4 2 4 4 2 π π 3π π β π π 而( +α)∈( , ),( - )∈( , ), 4 4 4 4 2 4 2 π 2 2 π β 6 因此 sin( +α)= ,sin( - )= , 4 3 4 2 3 β 1 3 2 2 6 5 3 则 cos(α+ )= × + × = . 2 3 3 3 3 9

[答案] C
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[借题发挥]

解决此类问题的关键在于寻找条件和结

论中的角的关系,合理拆、凑,把未知角用已知角表示.

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3.(2012· 辽宁高考)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π), 则 tan α = A.-1 2 C. 2 2 B.- 2 D.1 ( )

π 解析:由 sin α-cos α= 2sin (α- )= 2,α∈(0,π), 4 3π 3π 解得 α= ,所以 tan α=tan =-1. 4 4 答案:A
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π 4.已知 α、β∈(0, ), 4 α+β 的值为 π A. 6 π C. 3

1 α=4,且 3sin β=sin(2α+β),则 1-tan2 2 ( π B. 4 5π D. 12 )

α tan 2

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1 1 解析:由 α=4,得 tan α=2, 1-tan2 2 由 3sin β=sin(2α+β), 得 3sin [(α+β)-α]=sin [(α+β)+α], π tan(α+β)=2tan α=1,由题意知 α+β∈(0, ), 2 π 所以 α+β= . 4

α tan 2

答案:B
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[例 3]

2 π (2012· 安徽高考)设函数 f(x)= cos(2x+ )+sin2x. 2 4

(1)求 f(x)的最小正周期; π (2)设函数 g(x)对任意 x∈R,有 g(x+ )=g(x),且当 x∈ 2 π 1 [0, ]时,g(x)= -f(x).求 g(x)在区间[-π,0]上的解析式. 2 2

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[解]

2 π (1)f(x)= cos(2x+ )+sin2 x 2 4

2 π π 1-cos 2x = (cos 2x cos -sin 2x sin )+ 2 4 4 2 1 1 = - sin 2x, 2 2 故 f(x)的最小正周期为 π.

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π 1 1 (2)当 x∈[0, ]时,g(x)= -f(x)= sin 2x,故 2 2 2 π π π ①当 x∈[- ,0]时,x+ ∈[0, ]. 2 2 2 π 由于对任意 x∈R,g(x+ )=g(x), 2 π 1 π 从而 g(x)=g(x+ )= sin[2(x+ )] 2 2 2 1 1 = sin(π+2x)=- sin 2x. 2 2

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π π ②当 x∈[-π,- )时,x+π∈[0, ).从而 2 2 1 1 g(x)=g(x+π)= sin[2(x+π)]= sin 2x. 2 2 综合①、②得 g(x)在[-π,0]上的解析式为 π ?1 ?2sin 2x,x∈[-π,-2?, g(x)=? ?-1sin 2x,x∈[-π,0]. 2 ? 2

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[借题发挥]

此类问题综合考查三角恒等变换、三

角函数的性质等知识,解决此类问题的关键是利用三角 恒等变换把所给的三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)+h的 形式.

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π 5.已知函数 f(x)=(1-tan x)· [1+ 2sin(2x+ )],求: 4 (1)函数 f(x)的定义域和值域; (2)写出函数 f(x)的单调递增区间. sin x π π 解:f(x)=(1- )(1+ 2sin 2xcos + 2cos 2xsin )=(1- cos x 4 4
sin x )(2sin xcos x+2cos2x) cos x =2(cos x-sin x)(cos x+sin x) =2(cos2x-sin2x)=2cos 2x.

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π (1)函数 f(x)的定义域{x|x≠ +kπ,k∈Z}. 2 ∵2x≠π+2kπ,k∈Z,∴2cos 2x≠-2. 函数 f(x)的值域为(-2,2]. (2)令-π+2kπ<2x≤2kπ(k∈Z),得 π - +kπ<x≤kπ(k∈Z). 2 π ∴函数 f(x)的单调递增区间是(- +kπ,kπ](k∈Z). 2

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π π 2π 6.设函数 f(x)=sin( x- )-2cos x+1. 4 6 8 (1)求 f(x)的最小正周期. (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称, 求当 x 4 ∈[0, ]时,y=g(x)的最大值. 3 π π π π π 解:(1)f(x)=sin xcos -cos xsin -cos x 4 6 4 6 4
= 3 π 3 π sin x- cos x 2 4 2 4

π π = 3sin( x- ), 4 3 2π 故 f(x)的最小正周期为 T= =8. π 4
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(2)在 y=g(x)的图像上任取一点(x,g(x)),它关于 x=1 的对称点 为(2-x,g(x)). 由题设条件,点(2-x,g(x))在 y=f(x)的图像上,从而 g(x)=f(2-x) π π = 3sin[ (2-x)- ] 4 3 π π π = 3sin( - x- ) 2 4 3 π π = 3cos( x+ ). 4 3 4 π π π 2π 当 0≤x≤ 时, ≤ x+ ≤ , 3 3 4 3 3 4 π 3 因此 y=g(x)在区间[0, ]上的最大值为 g(x)max= 3cos = . 3 3 2
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