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德江县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

德江县第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知某市两次数学测试的成绩 ξ1 和 ξ2 分别服从正态分布 ξ1:N1(90,86)和 ξ2:N2(93,79),则以下 结论正确的是( ) A.第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高,也比第二次成绩稳定 B.第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高,但不如第二次成绩稳定 C.第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高,也比第一次成绩稳定 D.第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高,但不如第一次成绩稳定 2. 已知点 F1,F2 为椭圆 则此椭圆的离心率的取值范围是( ) 的左右焦点,若椭圆上存在点 P 使得 ,

姓名__________

分数__________

A.(0, ) B.(0, ] C.( , ] D.[ ,1) 3. 半径 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( A. πR3 B. πR3 C. πR3 D. πR3 ) )

4. 已知 a=5

,b=log2 ,c=log5 ,则(

A.b>c>a B.a>b>c C.a>c>b D.b>a>c 5. 设 x,y∈R,且满足 A.1 B.2 C.3 ,则 x+y=( D.4 )

6. 2016 年 3 月“两会”期间,有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例,现拟从某工厂职工中抽取

20 名代表调查对这一提案的态度,已知该厂青年,中年,老年职工人数分别为 350 , 500 ,150 ,按分
层抽样的方法,应从青年职工中抽取的人数为( A. 5 B. 6 C. 7 ) D. 10

【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用,属容易题. 7. 运行如图所示的程序框图,输出的所有实数对(x,y)所对应的点都在某函数图象上,则该函数的解析式 为( )

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A.y=x+2

B.y=

C.y=3x D.y=3x3

8. 已知圆 O 的半径为 1, PA, PB 为该圆的两条切线, A, B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小值为 A、 ?4 ? 2 B、 ?3 ? 2 C、 ?4 ? 2 2 D、 ?3 ? 2 2 )

9. 若 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列为真命题的是( A.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? B.若 ?

? ? m, m / / n ,则 ? / / ? C.若 m ? ? , m / /? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? ,? ? ? ,则 ? ? ?
10.设函数 f(x)= 的最小值为﹣1,则实数 a 的取值范围是( )

A.a≥﹣2

B.a>﹣2

C.a≥﹣

D.a>﹣ )

11. 袋中装有红、 黄、 蓝三种颜色的球各 2 个, 无放回的从中任取 3 个球, 则恰有两个球同色的概率为 ( A. B. C. D.

12.设函数 y ? f ( x ) 对一切实数 x 都满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,且方程 f ( x) ? 0 恰有 6 个不同的实根,则这 6 个实根的和为( ) A. 18 B. 12 C. 9 D. 0

【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识,意在考查运算求解能力.

二、填空题

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13.如图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温 的范围是.已知样本中平均气温不大于 22.5℃的城市个数为 11,则样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个数 为 .

14.当下社会热议中国人口政策,下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过 2000 年第五次人口普查预测 的 15﹣64 岁劳动人口所占比例: 2030 2035 年份 年份代号 t 所占比例 y 1 68 2 65 2040 3 62 2045 4 62 2050 5 61

根据上表,y 关于 t 的线性回归方程为

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

=



= ﹣



15.已知 Sn 是数列 { ___________.

n n } 的前 n 项和,若不等式 | ? ? 1 | ? S n ? n ?1 对一切 n ? N ? 恒成立,则 ? 的取值范围是 n ?1 2 2

【命题意图】 本题考查数列求和与不等式恒成立问题, 意在考查等价转化能力、 逻辑推理能力、 运算求解能力. 16.方程 22x﹣1= 的解 x= .

17.若复数 z1 , z2 在复平面内对应的点关于 y 轴对称,且 z1 ? 2 ? i ,则复数 ( ) B.第二象限 C.第三象限

z1 在复平面内对应的点在 | z1 |2 ? z2

A.第一象限

D.第四象限

【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识,意在考查转化思想与计算能力.

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18. B, C 的对边分别为 a, b, c, 在△ABC 中, 角 A, 已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. 若 C=

, 则 =



三、解答题
19.设函数 f(x)=1+(1+a)x﹣x2﹣x3,其中 a>0. (Ⅰ)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (Ⅱ)当 x∈时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值.

20. 如图, 在四棱锥 中点, 为 的中点,且

中, 等边

所在的平面与正方形

所在的平面互相垂直,





(Ⅰ)求证: 平面 ; (Ⅱ)求二面角 的余弦值; (Ⅲ)在线段 上是否存在点 ,使线段 求出 的长,若不存在,请说明理由.



所在平面成

角.若存在,

21. PD⊥平面 ABCD, BC=PD=2, E 为 PC 的中点, 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形,



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求证:PC⊥BC; (Ⅱ)求三棱锥 C﹣DEG 的体积; (Ⅲ)AD 边上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 MEG.若存在,求 AM 的长;否则,说明理由.

22.已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 4?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

23.已知数列{an}是等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 a3=3,S3=9 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log2 ,且{bn}为递增数列,若 cn= ,求证:c1+c2+c3+…+cn<1.

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24.已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且满足 Sn=2an﹣n2+3n+2(n∈N*) (Ⅰ)求证:数列{an+2n}是等比数列; (Ⅱ)设 bn=ansin (Ⅲ)设 Cn=﹣ π,求数列{bn}的前 n 项和; ,数列{Cn}的前 n 项和为 Pn,求证:Pn< .

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德江县第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:∵某市两次数学测试的成绩 ξ1 和 ξ2 分别服从正态分布 ξ1:N1(90,86)和 ξ2:N2(93,79), ∴μ1=90,?1=86,μ2=93,?2=79, ∴第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高,也比第一次成绩稳定, 故选:C. 【点评】本题考查正态分布曲线的特点,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 2. 【答案】D 【解析】解:由题意设 解得 x= ,故| |= ,| |= , =2x,则 2x+x=2a,

当 P 与两焦点 F1,F2 能构成三角形时,由余弦定理可得 4c2= + ﹣2× × ×cos∠F1PF2, ﹣ < <1,即
2

2 由 cos∠F1PF2∈(﹣1,1)可得 4c =

cos∠F1PF2∈( <e <1,∴ = ; <e<1;



),



2 <4c <

,∴

当 P 与两焦点 F1,F2 共线时,可得 a+c=2(a﹣c),解得 e= 综上可得此椭圆的离心率的取值范围为[ 故选:D ,1)

【点评】本题考查椭圆的简单性质,涉及余弦定理和不等式的性质以及分类讨论的思想,属中档题. 3. 【答案】A 【解析】解:2πr=πR,所以 r= ,则 h= 故选 A 4. 【答案】C 【解析】解:∵a=5 ∴a>c>b. 故选:C. >1,b=log2 <log5 =c<0, ,所以 V=

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5. 【答案】D
3 【解析】解:∵(x﹣2) +2x+sin(x﹣2)=2, 3 ∴(x﹣2) +2(x﹣2)+sin(x﹣2)=2﹣4=﹣2, 3 ∵(y﹣2) +2y+sin(y﹣2)=6, 3 ∴(y﹣2) +2(y﹣2)+sin(y﹣2)=6﹣4=2, 3 设 f(t)=t +2t+sint, 2 则 f(t)为奇函数,且 f'(t)=3t +2+cost>0,

即函数 f(t)单调递增. 由题意可知 f(x﹣2)=﹣2,f(y﹣2)=2, 即 f(x﹣2)+f(y﹣2)=2﹣2=0, 即 f(x﹣2)=﹣f(y﹣2)=f(2﹣y), ∵函数 f(t)单调递增 ∴x﹣2=2﹣y, 即 x+y=4, 故选:D. 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用,利用条件构造函数 f(t)是解决本题的关键,综合考查了函数的性 质. 6. 【答案】C

7. 【答案】 C 【解析】解:模拟程序框图的运行过程,得; 该程序运行后输出的是实数对 (1,3),(2,9),(3,27),(4,81); 这组数对对应的点在函数 y=3 的图象上. 故选:C. 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,是基础题目.
x

8. 【答案】D.

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【解析】设 PO ? t ,向量 PA 与 PB 的夹角为 ? ,

PA ? PB ? t 2 ? 1



sin

?
2

?

1 t,

2 2 ? PA PB ? t 2 ? 2 ? 3(t ? 1) ,依不等式? PA PB 的最小值为 2 2 ? 3 . t
9. 【答案】C 【解析】

cos ? ? 1 ? 2sin 2

?

? 1?

2 2 ? PA PB ? PA PB cos ? ? (t 2 ? 1)(1 ? 2 )(t ? 1) , 2 , t t

试题分析:两个平面垂直,一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面,所以 A 不正确;两个平面平行,两 个平面内的直线不一定平行,所以 B 不正确;垂直于同一平面的两个平面不一定垂直,可能相交,也可能平 行,所以 D 不正确;根据面面垂直的判定定理知 C 正确.故选 C. 考点:空间直线、平面间的位置关系. 10.【答案】C
x 【解析】解:当 x≥ 时,f(x)=4 ﹣3≥2﹣3=﹣1,

当 x= 时,取得最小值﹣1;
2 2 当 x< 时,f(x)=x ﹣2x+a=(x﹣1) +a﹣1,

即有 f(x)在(﹣∞, )递减, 则 f(x)>f( )=a﹣ , 由题意可得 a﹣ ≥﹣1, 解得 a≥﹣ . 故选:C. 【点评】本题考查分段函数的运用:求最值,主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法,属于中档 题. 11.【答案】B
3 【解析】解:从红、黄、蓝三种颜色的球各 2 个,无放回的从中任取 3 个球,共有 C6 =20 种, 1 1 其中恰有两个球同色 C3 C4 =12 种,

故恰有两个球同色的概率为 P= 故选:B.

= ,

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【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题,关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数,属于基 础题. 12.【答案】A. 【解析】 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ? f ( x) ? f (6 ? x) ,∴ f ( x) 的图象关于直线 x ? 3 对称, ∴ 6 个实根的和为 3 ? 6 ? 18 ,故选 A.

二、填空题
13.【答案】 9 . 【解析】解:平均气温低于 22.5℃的频率,即最左边两个矩形面积之和为 0.10×1+0.12×1=0.22, 所以总城市数为 11÷0.22=50, 平均气温不低于 25.5℃的频率即为最右面矩形面积为 0.18×1=0.18, 所以平均气温不低于 25.5℃的城市个数为 50×0.18=9. 故答案为:9 14.【答案】 y=﹣1.7t+68.7 【解析】解: = , = =63.6.

=(﹣2)×4.4+(﹣1)×1.4+0+1×(﹣1.6)+2×(﹣2.6)=﹣17. =4+1+0+1+2=10. ∴ =﹣ =﹣1.7. =63.6+1.7×3=68.7.

∴y 关于 t 的线性回归方程为 y=﹣1.7t+68.7. 故答案为 y=﹣1.7t+68.7. 【点评】本题考查了线性回归方程的解法,属于基础题. 15.【答案】 ?3 ? ? ? 1

1 1 1 1 , S n ? 1? ? 2 ? 2 ? … n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 n?2 n?2 ?(n ? 1) ? n ?1 ? n ? n ,两式相减,得 Sn ? 1 ? ? 2 ? ? n ?1 ? n ? n ? 2 ? n ,所以 S n ? 4 ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | ? 4 ? n ?1 对一切 n ? N? 恒成立,得 | ? ? 1 | ? 2 ,解得 ?3 ? ? ? 1 . 于是由不等式 | ? ? 1 2
【解析】由 S n ? 1 ? 2 ?

1 1 ? 3? 2 ? 2 2

? (n ? 1) ?

1

n?2

?n

16.【答案】 ﹣



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2x 1 2 【解析】解:2 ﹣ = =2﹣ ,

∴2x﹣1=﹣2, 解得 x=﹣ , 故答案为:﹣ 【点评】本题考查了指数方程的解法,属于基础题. 17.【答案】D 【 解 析 】

18.【答案】 =



【解析】解:在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, ∵已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1,
2 ∴sinAsinB+sinBsinC=2sin B. 2 再由正弦定理可得 ab+bc=2b ,即 a+c=2b,故 a,b,c 成等差数列.

C=

,由 a,b,c 成等差数列可得 c=2b﹣a,

2 2 2 2 2 由余弦定理可得 (2b﹣a) =a +b ﹣2abcosC=a +b +ab. 2 化简可得 5ab=3b ,∴

= .

故答案为: . 【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,二倍角公式、余弦定理的应用,属于中档题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(﹣∞,+∞),f′(x)=1+a﹣2x﹣3x , 由 f′(x)=0,得 x1= ∴由 f′(x)<0 得 x< ,x2= ,x> ,x1<x2, ;
2

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由 f′(x)>0 得 故 f(x)在(﹣∞, 在( ,

<x< )和( )上单调递增;

; ,+∞)单调递减,

(Ⅱ)∵a>0,∴x1<0,x2>0,∵x∈,当

时,即 a≥4

①当 a≥4 时,x2≥1,由(Ⅰ)知,f(x)在上单调递增,∴f(x)在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值. ②当 0<a<4 时,x2<1,由(Ⅰ)知,f(x)在单调递增,在上单调递减, 因此 f(x)在 x=x2= 处取得最大值,又 f(0)=1,f(1)=a,

∴当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 和 x=1 处取得最小值; 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值. 20.【答案】 【解析】【知识点】空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直 【试题解析】(Ⅰ) 平面 平面 (Ⅱ)取 分别以 则 , , 的中点 平面 . , 底面 是正方形, , 两两垂直. 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系, , 是等边三角形, , 是交线, 为 平面 的中点,

设平面

的法向量为





, 平面 的法向量即为平面

, 的法向量 .

由图形可知所求二面角为锐角, (Ⅲ)设在线段 上存在点 , ,
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使线段 平面



所在平面成 ,

角, , ,解得 ,适合 时,与 所在平 面成 角.

的法向量为

在线段

上存在点

,当线段

21.【答案】 【解析】解:(I)证明:∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥BC, 又∵ABCD 是正方形,∴BC⊥CD,∵PDICE=D, ∴BC⊥平面 PCD,又∵PC?面 PBC,∴PC⊥BC. (II)解:∵BC⊥平面 PCD, ∴GC 是三棱锥 G﹣DEC 的高. ∵E 是 PC 的中点,∴ ∴ . .

(III)连接 AC,取 AC 中点 O,连接 EO、GO,延长 GO 交 AD 于点 M,则 PA∥平面 MEG. 下面证明之: ∵E 为 PC 的中点,O 是 AC 的中点,∴EO∥平面 PA, 又∵EO?平面 MEG,PA?平面 MEG,∴PA∥平面 MEG, 在正方形 ABCD 中,∵O 是 AC 中点,∴△OCG≌△OAM, ∴ ,∴所求 AM 的长为 .

【点评】本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识,考查空间想象能、逻辑思维能力、 运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想. 22.【答案】 【解析】解:(1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 (a>0,b>0),且可知左焦点为

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F(﹣2,0),从而有

,解得 c=2,a=4, .

2 2 2 2 又 a =b +c ,所以 b =12,故椭圆 C 的方程为

(2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y= x+t,



2 2 得 3x +3tx+t ﹣12=0,

因为直线 l 与椭圆有公共点,所以有△=(3t) ﹣4×3(t ﹣12)≥0,解得﹣4 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 4= 由于±2 ?[﹣4 ,4 ,从而 t=±2 ,

2

2

≤t≤4



],所以符合题意的直线 l 不存在.

【点评】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、 数形结合思想、化归与转化思想.

23.【答案】已知数列{an}是等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 a3=3,S3=9 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log2 ,且{bn}为递增数列,若 cn= ,求证:c1+c2+c3+…+cn<1.

【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【专题】计算题;证明题;方程思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,从而可得 3(1+ + )=9,从而解得; =2n,利用裂项求和法求和.

2n 2n (Ⅱ)讨论可知 a2n+3=3?(﹣ ) =3?( ) ,从而可得 bn=log2

【解析】解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q, 则 3(1+ + )=9,

解得,q=1 或 q=﹣ ;
n 3 故 an=3,或 an=3?(﹣ ) ﹣ ;

(Ⅱ)证明:若 an=3,则 bn=0,与题意不符;

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2n 2n 故 a2n+3=3?(﹣ ) =3?( ) ,

故 bn=log2 故 cn=

=2n, = ﹣ ,

故 c1+c2+c3+…+cn=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ <1.

【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用,同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用. 24.【答案】
2 * ∴当 n≥2 时, 【解析】 (I) 证明: 由 Sn=2an﹣n +3n+2 (n∈N ) ,



an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1﹣2n+4, 变形为 an+2n=2[an﹣1+2(n﹣1)],当 n=1 时,a1=S1=2a1﹣1+3+2,解得 a1=﹣4,∴a1+2=﹣2,∴数列{an+2n} 是等比数列,首项为﹣2,公比为 2;
n 1 n (II)解:由(I)可得 an=﹣2×2 ﹣ ﹣2n=﹣2 ﹣2n.

∴bn=ansin

π=﹣(2n+2n)

,∵

=

=(﹣1)n,

n+1 n ∴bn=(﹣1) (2 +2n).

设数列{bn}的前 n 项和为 Tn.
* 2 3 4 2k 1 2k 当 n=2k(k∈N )时,T2k=(2﹣2 +2 ﹣2 +…+2 ﹣ ﹣2 )+2(1﹣2+3﹣4+…+2k﹣1﹣2k)

=

﹣2k=

﹣n. ﹣2k﹣(﹣2 ﹣4k)=
2k

当 n=2k﹣1 时,T2k﹣1= (III)证明:Cn=﹣ =

+n+1+2n+1=

+n+1.

,当 n≥2 时,cn



∴数列{Cn}的前 n 项和为 Pn<

=

= ,

当 n=1 时,c1= 综上可得:?n∈N ,
*

成立. .

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递 推式的应用,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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