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第5章-第3讲 机械能守恒定律及其应用


第3讲

机械能守恒定律及其应用

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第 3讲

机械能守恒定律及其应用

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知识梳理

小题快练

一、重力势能和弹性势能 1.重力做功的特点 高度差有关. (1)重力做功与路径 ____无关,只与始、末位置的______ 机械能的变化. (2)重力做功不引起物体______ 2.重力势能

Ep=____ mgh 标量,但有正、负,其意义 重力势能是____ 参考平面 是表示物体的重力势能比它在________ 矢标性 上大还是小,这与功的正、负的物理意 义不同 大小

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系统性
知识梳理

物体和____ 重力势能是____ 地球共有的

相对性

参考平面的选取有关.重力 重力势能的大小与________ 绝对的,与参考平面的选取____ 无关 势能的变化是____

小题快练

与重力做 WG=-(Ep2-Ep1)=-ΔEp,即重力对物体做 等于物体重力势能的变化量 功的关系 的功____

3.弹性势能 劲度系数 形变量及________ (1)大小:弹簧弹性势能的大小与弹簧的______ 有关. (2)弹力做功与弹性势能变化的关系:弹力做正功 ____,弹性势 增加. 能减小,弹力做负功,弹性势能____

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知识梳理

小题快练

二、机械能守恒定律 1.内容 重力或弹力 做功的物体系统内,动能和势能可以互 在只有___________ 相____ 转化,而总的机械能保持____ 不变. 2.机械能守恒的条件 弹力做功. 只有重力 ____或____ 3.机械能守恒的三种表达式 (1)E1=E2(E1、E2分别表示系统初、末状态时的总机械能). (2)ΔEk=-ΔEp或ΔEk增=ΔEp减(表示系统势能的减少量等于 系统动能的增加量). (3)ΔEA=-ΔEB或ΔEA增=ΔEB减(表示系统只有A、B两物体 时,A增加的机械能等于B减少的机械能).

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试题

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小题快练

1.(多选)下列关于重力势能的 说法正确的是( AB ) A.重力势能是地球和物体共同 具有的,而不是物体单独具有 的 B.重力势能的大小是相对的 C.重力势能等于零的物体,不 可能对别的物体做功 D.在地面上的物体,它具有的 重力势能一定等于零
答案

重力势能是由物体和地球 的相对位置所决定的,由 地球和物体所共有,所以 A、B正确;由于重力势 能的大小与零势能面的选 取有关,与是否对别的物 体做功无关,所以C错 误;只有选地面为零势能 面时,地面上的物体的重 力势能才为零,否则不为 零,D错误.

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试题

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知识梳理

小题快练

2.如图所示,在光滑水平面上有一物 体,它的左端接连着一轻弹簧,弹簧 的另一端固定在墙上,在力F作用下 物体处于静止状态,当撤去力F后, 物体将向右运动,在物体向右运动的 过程中,下列说法正确的是( D ) A.弹簧的弹性势能逐渐减少 B.物体的机械能不变 C.弹簧的弹性势能先增加后减少 D.弹簧的弹性势能先减少后增加
答案

因弹簧左端固定在 墙上,右端与物体 连接,故撤去F后, 弹簧先伸长到原长 后,再被物体拉 伸,其弹性势能先 减少后增加,物体 的机械能先增大后 减小,故D正确, A、B、C均错误.

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试题

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小题快练

3.(多选)下列物体中,机械能守恒的是( AC ) A.做平抛运动的物体 B.被匀速吊起的集装箱 C.光滑曲面上自由运动的物体

4 D.物体以 g 的加速度竖直向上做匀减速运动 5

答案

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试题

解析

物体做平抛运动或沿光滑曲面自由运动时,不受摩擦力,在
知识梳理

曲面上弹力不做功,只有重力做功,机械能守恒;匀速吊起 的集装箱,绳的拉力对它做功,不满足机械能守恒的条件, 4 机械能不守恒;物体以 g 的加速度向上做匀减速运动时,由 5 4 1 牛顿第二定律有 mg- F= m× g,有 F= mg,则物体受到 5 5 1 竖直向上的大小为 mg 的外力作用,该力对物体做了正功, 5 机械能不守恒.

小题快练

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试题

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知识梳理

小题快练

4.如图所示,一根跨过光滑定滑轮的轻绳,两端各有一杂技 演员(可视为质点).a站在地面上,b从图示的位置由静止开 始向下摆动,运动过程中绳始终处于伸直状态.当演员b摆 至最低点时,a刚好对地面无压力,则演员a的质量与演员b 的质量之比为( B ) A. 1∶ 1 B.2∶1 C. 3 ∶ 1 D. 4 ∶ 1

答案

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试题

解析

知识梳理

设 b 摆至最低点时的速度为 v,b 侧所拉绳子长度为 l,由机 1 械能守恒定律可得 mbgl(1- cos 60° )= mbv2,解得 v= gl. 2

小题快练

设 b 摆至最低点时绳子的拉力为 FT,由牛顿第二定律得 FT v2 - mbg= mb ,解得 FT= 2mbg,对演员 a 有 FT= mag,所以 l ma∶ mb= 2∶1, B 正确.

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机械能守恒定律及其应用 考点一

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研考向 考点探究 考点一 对机械能 守恒的理解与判 断 考点二 单个物体 的机械能守恒问 题 考点三 多个物体 的机械能守恒问 题

对机械能守恒的理解与判断

机械能守恒的判定方法 (1)做功条件分析法:若物体系统内只有重力和弹簧弹力做 功,其他力均不做功,则系统的机械能守恒. (2)能量转化分析法:若只有系统内物体间动能和重力势能 及弹性势能的相互转化,系统跟外界没有发生机械能的传 递,机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加), 则系统的机械能守恒.

考点四 非质点系 统的机械能守恒

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研考向 考点探究 考点一 对机械能 守恒的理解与判 断 考点二 单个物体 的机械能守恒问 题 考点三 多个物体 的机械能守恒问 题

试题

解析

1-1.(多选)(2016· 杭州质检)如图所示,下列关于机械能是否 守恒的判断正确的是( CD )

考点四 非质点系 统的机械能守恒

A.甲图中,物体A将弹簧压缩的过程中,A机械能守恒 B.乙图中,A置于光滑水平面,物体B沿光滑斜面下滑,物 体B机械能守恒 C.丙图中,不计任何阻力时A加速下落、B加速上升过程 中,A、B系统机械能守恒 D.丁图中,小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时,小球的机 械能守恒
答案

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试题

解析

甲图中重力和弹力做功,物体A和弹簧组成的系统机械能守 恒,但物体A机械能不守恒,A错误;乙图中物体B除受重 力外,还受弹力,弹力对B做负功,机械能不守恒,但从能 量特点看A、B组成的系统机械能守恒,B错误;丙图中绳 子张力对A做负功,对B做正功,其代数和为零,A、B系统 机械能守恒,C正确;丁图中小球的动能不变,势能不变, 则其机械能守恒,D正确.

考点四 非质点系 统的机械能守恒

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研考向 考点探究 考点一 对机械能 守恒的理解与判 断 考点二 单个物体 的机械能守恒问 题 考点三 多个物体 的机械能守恒问 题

试题

解析

1-2.(多选)如图所示,一轻弹簧一端固定在O点,另一端系一 小球,将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A 点无初速度地释放,让小球自由摆下,不计空气阻力,在小 球由A点摆向最低点B的过程中,下列说法中正确的是( BD ) A.小球的机械能守恒 B.小球的机械能减少 C.小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变 D.小球与弹簧组成的系统机械能守恒

考点四 非质点系 统的机械能守恒
答案

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试题

解析

小球由A点下摆到B点的过程中,弹簧被拉长,弹簧的弹力 对小球做了负功,所以小球的机械能减少,故选项A错误, B正确;在此过程中,由于有重力和弹簧的弹力做功,所以 小球与弹簧组成的系统机械能守恒,即小球减少的重力势 能等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和,故选 项C错误,D正确.

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试题

解析

1-3.(多选)如图所示,质量分别为m和2m的两个小球A和 B,中间用轻质杆相连,在杆的中点O处有一固定转动轴, 把杆置于水平位置后释放,在B球顺时针摆动到最低位置的 过程中(不计一切摩擦)( BC )

考点四 非质点系 统的机械能守恒
答案

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试题

解析

考点四 非质点系 统的机械能守恒

A.B球的重力势能减少,动能 增加,B球和地球组成的系统机 械能守恒 B.A球的重力势能增加,动能 也增加,A球和地球组成的系统 机械能不守恒 C.A球、B球和地球组成的系 统机械能守恒 D.A球、B球和地球组成的系 统机械能不守恒

A球在上摆过程中,重力 势能增加,动能也增 加,机械能增加,B正 确;由于A球、B球和地 球组成的系统只有重力 做功,故系统的机械能 守恒,C正确,D错误; B球部分机械能转移给A 球,所以B球和地球组成 系统的机械能一定减 少,A错误.

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机械能守恒定律及其应用 考点二

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研考向 考点探究 考点一 对机械能 守恒的理解与判 断 考点二 单个物体 的机械能守恒问 题 考点三 多个物体 的机械能守恒问 题

单个物体的机械能守恒问题

1.机械能守恒的三种表达式

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研考向 考点探究 考点一 对机械能 守恒的理解与判 断 考点二 单个物体 的机械能守恒问 题 考点三 多个物体 的机械能守恒问 题

2.机械能守恒定律的应用技巧 (1)机械能守恒定律是一种“能—能转化”关系,其守恒是有 条件的,因此,应用时首先要对研究对象在所研究的过程 中机械能是否守恒做出判断. (2)如果系统(除地球外)只有一个物体,用守恒观点列方程 较方便;对于由两个或两个以上物体组成的系统,用转化 或转移的观点列方程较简便.

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研考向 考点探究 考点一 对机械能 守恒的理解与判 断 考点二 单个物体 的机械能守恒问 题 考点三 多个物体 的机械能守恒问 题

试题

解析

考点四 非质点系 统的机械能守恒

2-1.(2015· 高考四川卷)在同一 位置以相同的速率把三个小球 分别沿水平、斜向上、斜向下 方向抛出,不计空气阻力,则 落在同一水平地面时的速度大 小( A ) A.一样大 B.水平抛的最大 C.斜向上抛的最大 D.斜向下抛的最大
答案

根据机械能守恒定律可 知,落地时三个小球的 速度大小相同.

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试题

解析

2-2.(2016· 三门峡调研)如图所示,一固定在竖直平面内的 光滑的半圆形轨道ABC,其半径R=0.5 m,轨道在C处与水 平地面相切,在C处放一小物块,给它一水平向左的初速度 v0=5 m/s,结果它沿CBA运动,通过A点,最后落在水平地 面上的D点,求C、D的距离x(重力加速度g取10 m/s2,空气 阻力不计).

1m

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答案

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试题

解析

设小物块质量为 m, 它从 C 点经 B 到达 A 点时速度为 v.由机 械能守恒定律有 1 2 1 2 mv = mv + 2mgR 2 0 2 1 2R= gt2 2 x= vt 由 ①②③式联立代入数据得 x= 1 m. ①

物块由 A 到 D 做平抛运动,设时间为 t,水平位移为 x,则 ② ③

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试题

解析

2-3.如图所示,将一质量为m=0.1 kg的小球自水平平台右 端O点以初速度v0水平抛出,小球飞离平台后由A点沿切线 落入竖直光滑圆轨道ABC,并沿轨道恰好通过最高点C,圆 轨道ABC的形状为半径R=2.5 m的圆截去了左上角127°的 圆弧,CB为其竖直直径.已知sin 53°=0.8,cos 53°= 0.6,重力加速度g取10 m/s2,空气阻力不计,求:

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试题

解析

考点四 非质点系 统的机械能守恒

(1)小球经过C点时速度vC 的大小; (2)小球运动到轨道最低 点B时轨道对小球的支持 力大小; (3)平台末端O点到A点的 竖直高度H. (1)5 m/s (2)6.0 N (3)3.36 m
答案

(1)小球恰好运动到 C 点时,重 力提供向心力, 由牛顿第二定律
2 vC 知 mg= m R

解得 vC= gR= 5 m/s. (2)从 B 点到 C 点,由机械能守 1 2 1 2 恒定律有 mvC+ mg· 2R= mvB 2 2

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研考向 考点探究 考点一 对机械能 守恒的理解与判 断 考点二 单个物体 的机械能守恒问 题 考点三 多个物体 的机械能守恒问 题

试题

解析

在 B 点对小球进行受力分析,由牛顿第二定律有
2 vB FN- mg= m R

联立解得 vB= 5 5 m/s, FN= 6.0 N. (3)从 A 到 B 由机械能守恒定律有 1 2 1 2 mv + mgR(1- cos 53° )= mvB 2 A 2 所以 vA= 105 m/s

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试题

解析

在 A 点对小球进行速度的分解如图所示, 有 vy= vAsin 53° v2 y 所以 H= = 3.36 m. 2g

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机械能守恒定律及其应用 考点三

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多个物体的机械能守恒问题

1.对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中, 系统的机械能是否守恒. 2.注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移 关系. 3.列机械能守恒方程时,一般选用ΔEk=-ΔEp或ΔEA= -ΔEB的形式.

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试题

解析

【典例1】 (2016· 青岛检测)一半径为R的半圆形竖直圆柱 面,用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱 面边缘两侧,A球质量为B球质量的2倍,现将A球从圆柱 边缘处由静止释放,如图所示.已知A球始终不离开圆柱 内表面,且细绳足够长.若不计一切摩擦,求: (1)A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小; (2)A球沿圆柱内表面运动的最大位移的大小.

考点四 非质点系 统的机械能守恒

(1)2

2- 2 gR (2) 3R 5
答案

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研考向 考点探究 考点一 对机械能 守恒的理解与判 断 考点二 单个物体 的机械能守恒问 题 考点三 多个物体 的机械能守恒问 题

试题

解析

(1)设 A 球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小为 v, B 球的 1 质量为 m,则根据机械能守恒定律有 2mgR- 2mgR= × 2 1 2mv2+ mv2 2 B 由图甲可知,A 球的速度 v 与 B 球速度 vB 的关系为 vB= v1= vcos 45° 联立解得 v= 2 2- 2 gR. 5

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试题

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(2)当 A 球的速度为零时,A 球沿圆柱内表面运动的位移最 大,设为 x,如图乙所示.由几何关系可知 A 球下降的高 x 度 h= 4R2- x2 2R 根据机械能守恒定律有 2mgh- mgx= 0 解得 x= 3R.

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解决多物体机械能守恒问题的三点注意 (1)正确选取研究对象. (2)合理选取物理过程. (3)正确选取机械能守恒定律的表达式.

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试题

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3-1.(多选)如图所示,轻质弹簧的一端与固定的竖直板P连 接,另一端与物体A相连,物体A置于光滑水平桌面上,A右 端连接一细线,细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连.开始时 托住B,让A处于静止且细线恰好伸直,并且由静止释放B, 直至B获得最大速度.下列有关该过程的分析正确的是( BD ) A.B物体受到细线的拉力保持不变 B.A物体与B物体组成的系统机械能不守恒 C.B物体机械能的减少量小于弹簧弹性势能 的增加量 D.当弹簧的拉力等于B物体的重力时,A物 体的动能最大 答案

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试题

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考点四 非质点系 统的机械能守恒

以A、B组成的系统为研究对象,有mBg-kx=(mA+mB)a.由 于弹簧的伸长量x逐渐变大,从开始到B速度达到最大的过 程中B加速度逐渐减小,由mBg-FT=mBa可知,此过程中 细线的拉力逐渐增大,是变力,A错误.A物体、弹簧与B物 体组成的系统机械能守恒,而A物体与B物体组成的系统机 械能不守恒,B正确.B物体机械能的减少量等于A物体机械 能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和,故B物体机械能 的减少量大于弹簧弹性势能的增加量,C错误.当弹簧的拉 力等于B物体的重力时,B物体速度最大,A物体的动能最 大,D正确.

第3讲

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试题

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3-2.质量分别为 m 和 2m 的两个小球 P 和 Q,中间用轻质 L 杆固定连接,杆长为 L,在离 P 球 处有一个光滑固定轴 O, 3 如图所示. 现在把杆置于水平位置后自由释放, 在 Q 球顺时 针摆动到最低位置时,求:
(1)小球P的速度大小; (2)在此过程中,杆对小球P做的功.

考点四 非质点系 统的机械能守恒

(1)

2gL 3

4 (2) mgL 9
答案

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试题

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(1)两球和杆组成的系统机械能守恒,设小球 Q 摆到最低位置时 P 球 的速度为 v,由于 P、Q 两球的角速度相等,Q 球运动半径是 P 球运 动半径的两倍,故 Q 球的速度为 2v.由机械能守恒定律得 2 1 1 1 2mg· L- mg·L= mv2+ · 2m· (2v)2 3 3 2 2 2gL 解得 v= 3 . (2)杆对 P 球做的功等于小球 P 机械能的增加量Δ E,则 1 1 2 4 Δ E= mg· L + 3 2mv =9mgL.

考点四 非质点系 统的机械能守恒

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机械能守恒定律及其应用 考点四 非质点系统的机械能守恒

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研考向 考点探究 考点一 对机械能 守恒的理解与判 断 考点二 单个物体 的机械能守恒问 题 考点三 多个物体 的机械能守恒问 题

1.非质点系统 指的是“链条”“井绳(缆绳)”“液柱”等质量不可忽略、柔软 的物体或液体. 2.重力势能变化的分析方法 在确认了系统机械能守恒之后,一般采用转化法列方 程.重力势能的变化与运动的过程无关,常常分段找等效 重心的位置变化来确定势能的变化.

考点四 非质点系 统的机械能守恒

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试题

解析

【典例2】 (2016· 济南质检)两个底面积都是S的圆桶,放 在同一水平面上,桶内装水,水面高度分别为h1和h2,如 图所示.已知水的密度为ρ.现把连接两桶的阀门打开,不 计摩擦阻力,当两桶水面第一次高度相等时,液面的速度 为多大(连接两桶的阀门之间水质量不计)?

考点四 非质点系 统的机械能守恒
(h1- h2)

g 2( h1+ h2)

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第3讲

机械能守恒定律及其应用

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研考向 考点探究 考点一 对机械能 守恒的理解与判 断 考点二 单个物体 的机械能守恒问 题 考点三 多个物体 的机械能守恒问 题

试题

解析

对于容器中的液体,在运动过程中只有重力做功,系统机械能守恒, 第一次液面高度相等时,重力势能的减少量等于动能的增加量. 容器中水的总质量为 m= ρS(h1+ h2), h1- h2 h1- h2 水面相平时,相当于质量为 m′= ρS 的液体下降了 ,所 2 2 以由机械能守恒定律可得,减少的重力势能Δ Ep=Δ Ek, h1- h2 h1- h2 1 即 ρgS 2 · 2 =2ρ S(h1+ h2)v2, 解得 v= (h1- h2) g . 2( h1+ h2)

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分析非质点系统重力势能变化时的注意问题

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试题

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4-1.长为 L 的均匀链条,放在 光滑的水平桌面上, 且使其长度 1 的 垂在桌边,如图所示,松手 4 后链条从静止开始沿桌边下滑, 则链条滑至刚刚离开桌边时的 速度大小为多大?

链条下滑时,因桌面光滑, 没有摩擦力做功, 整根链条 总的机械能守恒, 设整根链 条质量为 m, 由机械能守恒 定律得 3 3 1 3 1 mg· L+ mg· L= mv 2 4 8 4 4 2 解得 v= 15 gL. 16

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15 gL 16

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试题

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4-2.如图所示,一条长为L的柔软匀质链条,开始时静止 在光滑梯形平台上,斜面上的链条长为x0,已知重力加速 度为g,L<BC,∠BCE=α,试用x0、x、L、g、α表示斜 面上链条长为x时链条的速度大小(链条尚有一部分在平台 上且x>x0).

考点四 非质点系 统的机械能守恒

g (x2-x2 0)sin α L

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试题

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链条各部分和地球组成的系统机械能守恒,设链条的总质量 为 m,以平台所在位置为零势能面,则 m 1 1 m 1 - x0g· x0sin α= mv2- xg· xsin α L 2 2 L 2 解得 v= g ( x2- x2 0) sin α L

所以当斜面上链条长为 x 时,链条的速度为 g ( x2- x2 0 ) sin α. L

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