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2016高中数学 第一章 集合与函数概念章末复习提升课课件 新人教A版必修1_图文

链 接 高 考 · 专 题 突 破

章末复习提升课(一)

综 合 测 评

[先总揽全局]

[再填写关键] ①确定性 ②互异性 ③描述法 ④交集

⑤补集

⑥定义域 ⑦图象法 ⑧解析法 ⑨奇偶性

(2014·郑州高一检测)全集U=R,若集合A={x|3≤x< 10},B={x|2<x≤7},则

(1)求A∩B,A∪B,(?UA)∩(?UB).
(2)若集合C={x|x>a},A?C,求a的取值范围.

【思路点拨】 分别求解.

(1)利用交、并、补的定义并借助数轴

(2)根据集合间的关系借助数轴求解. 【规范解答】 ={x|3≤x≤7}; A∪B={x|3≤x<10}∪{x|2<x≤7}={x|2<x<10}; (?UA)∩(?UB)={x|x≤2,或x≥10}. (2)A = {x|3≤x < 10} , C = {x|x > a} , 要使 A?C , 结合 (1)A∩B = {x|3≤x < 10}∩{x|2 < x≤7}

数轴分析可知a≤3,即a的取值范围是{a|a≤3}.

利用不等式表示的集合的问题,常用数轴的直观图来 解,特别要注意不等式边界值的取舍,含参数时要注意对

集合空集的讨论.

已知集合A={x|x2-3x-10≤0},集合B={x|p+1≤x≤2p -1}.若B?A,求实数p的取值范围. 【解】 由x2-3x-10≤0,得-2≤x≤5.

当B=?时,即p+1>2p-1,p<2,符合题意; 当B≠?时,即p+1≤2p-1,∴p≥2. 由B?A,得-2≤p+1,且2p-1≤5,即-3≤p≤3, ∴2≤p≤3.

综上,可知p≤3.

1 (1)函数 f(x)= x+1+ 的定义域为________. 2-x
(2)(2014·广州高一检测)若函数y=f(x)的定义域是[0, 2],则函数F(x)=f(x+1)定义域是________. 【思路点拨】 (1)转化为关于x的不等式组求解.

(2)可转化为求不等式组0≤x+1≤2的解集问题.

【规范解答】
? ?x+1≥0, ? ? ?2-x≠0, ? ?x≥-1, ∴? ? ?x≠2,

(1) 要 使 f(x) 有 意 义 , 须 且 只 需

∴f(x)的定义域为[-1,2)∪(2,+∞). (2)由0≤x+1≤2,解得-1≤x≤1,所以函数F(x)=f(x+1)

的定义域是[-1,1].
【答案】 (1)[-1,2)∪(2,+∞) (2)[-1,1]

1 .给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有 意义的自变量的取值集合. 2 . (1) 若 f(x) 的定义域为 [a , b] , f(g(x)) 的定义域应由 a≤g(x)≤b解出; (2) 若 f(g(x)) 的定义域为 [a , b] ,则 f(x) 的定义域为 g(x) 在[a,b]上的值域.

(x+1)0 函数 y= 的定义域是________. 3-2x

【解析】

要使函数有意义,

? ?x+1≠0, 需满足? ? ?3-2x>0,

3 即 x< 且 x≠-1. 2

【答案】

? 3? (-∞,-1)∪?-1,2? ? ?

已知函数f(x)=|-x2+2x+3|.

(1)画出函数图象并写出函数的单调区间;
(2) 求集合 M = {m| 使方程 f(x) = m 有四个不相等的实 根 }.

【思路点拨】

(1)先去掉绝对值号化为分段函数的形

式,再画出其图象,然后利用图象判断在哪些区间上是上 升的,在哪些区间上是下降的,进而写出单调区间.

(2)转化为求使y=f(x)与y=m的图象有四个不同交点的
实数m的集合. 【规范解答】 (1)当-x2+2x+3≥0时,得-1≤x≤3,

函数y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
当-x2+2x+3<0时,得x<-1或x>3,函数y=x2- 2x-3=(x-1)2-4,



2 ? -( x - 1 ) +4(-1≤x≤3), ? y=? 的图象如下 2 ? ?(x-1) -4(x<-1或x>3)

图所示,单调增区间为[-1,1]和[3,+∞),单调减区间 为(-∞,-1)和(1,3).

(2)由题意可知,函数y=f(x)与y=m的图象有四个不同 的交点,则0<m<4. 故集合M={m|0<m<4}.

1 .本题采用零点分段法去掉绝对值符号,将函数化

为分段函数,再画出函数的图象.
2 .利用函数的图象可以研究函数的性质,如单调性、 最大(小)值、奇偶性等,以及讨论方程组解的个数的问题.

已知函数f(x)=3x+2,x∈[-1,2],则该函数的最 大值为________,最小值为________. 【解析】 函数的图象如图所示,

所以函数 f(x) 在 [ - 1 , 2] 上是单调增函数,所以 f(x)min =f(-1)=-1,f(x)max=f(2)=8. 【答案】 8 -1

函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是 增函数,若 f(1)=0,求不等式
? 1? f?x-2?<0 ? ?

的解集.

【思路点拨】

本题主要考查函数单调性的逆向应

用.解题的关键是去掉“f”,转化为关于x的不等式问题.

【规范解答】 上单调递增.
∴不等式

∵f(x) 是奇函数,且 f(1)= 0, f(x)在 (0,

+ ∞ ) 上单调递增, ∴ f( - 1) =- f(1) = 0,且 f(x) 在 ( - ∞ , 0)

? 1? f?x-2?<0 ? ?

可化为:

1 ? ?x-2>0, ?? ? ?f?x-1?<f(1), ? ? 2?

1 ? ?x-2<0, 或? ? ? ?f?x-1?<f(-1), ? ? 2? 1 1 即 0<x- <1,或 x- <-1, 2 2 1 3 1 解得 <x< ,或 x<- . 2 2 2
? 1 1 3? ? ? ? ? ? 所以原不等式的解集是?x x<-2,或2<x<2? . ? ? ? ?

单调性是函数的重要性质,某些数学问题,通过函数 的单调性可将函数值间的关系转化为自变量间的关系进行 研究,从而达到化繁为简的目的,特别是在比较大小、证 明不等式、求值域、求最值、解方程(组)等方面应用十分广 泛.奇偶性是函数的又一重要性质,利用奇偶函数的对称 性,可缩小问题研究的范围,常能使求解的问题避免复杂 的讨论.

已知函数f(x)在区间[-5,5]上是偶函数,在区间[0, 5]上是单调函数,且f(3)<f(1),则( A.f(-1)<f(-3) C.f(-1)<f(1) 【解析】 ) B.f(0)>f(-1) D.f(-3)<f(-5)

函数 f(x) 在区间 [0 , 5] 上是单调函数,又

3>1,且f(3)<f(1),故此函数在区间[0,5]上是减函数. 由已知条件及偶函数性质,知函数f(x)在区间[-5,0]

上是增函数.

选项A中,-3<-1,故f(-3)<f(-1); 选项B中,0>-1,故f(0)>f(-1). 同理选项C中f(-1)=f(1); 选项D中f(-3)>f(-5). 【答案】 B

已知函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函数f(x)

的最小值.
【思路点拨】 抛物线开口方向确定,对称轴不确定, 需根据对称轴的不同情况分类讨论,可画出二次函数图象

的简图,利用数形结合思想解决问题.

【规范解答】

f(x) = x2 - 2ax + 2 = (x - a)2 + 2 - a2 的

图象开口向上,且对称轴为直线x=a. 当a≥1时,函数图象如图①所示,函数 f(x)在区间 [-1, 1]上是减函数,最小值为f(1)=3-2a; 当-1<a<1时,函数图象如图②所示,函数f(x)在区 间[-1,1]上是先减后增,最小值为f(a)=2-a2; 当a≤-1时,函数图象如图③所示,函数f(x)在区间[- 1,1]上是增函数,最小值为f(-1)=3+2a.

?3+2a,a≤-1 ? 2 2 - a ,-1<a<1 ? 综上,f(x)min= ?3-2a,a≥1 ?

求二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上 b 的最值一般分为以下几种情况: ①若对称轴 x=- 在区 2a 间[m,n]内,则最小值为 中的较大者;
? b? f?-2a?,最大值为 ? ?

f(m),f(n)

b ②若对称轴 x=- <m,则 f(x)在区间[m,n]上是 2a 增函数,最大值为 f(n),最小值为 f(m);③若对称轴 x= b - > n, 则 f(x)在区间[m, n]上是减函数, 最大值为 f(m), 2a 最小值为 f(n).

设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数 f(x)的最小值g(t)的表达式. 【解】 律. f(x) = x2 - 2x + 2 = (x - 1)2 + 1 , x∈[t , t + 1] , t∈R , 对称轴x=1,作出其图象如图所示. 二次函数是确定的,但定义域是变化的,依t 的大小情况作出对应的图象 ( 抛物线的一段 ) ,从中发现规

(1)

(2)

(3)

当t+1≤1,即t≤0时,如图(1),函数f(x)在区间[t,t+1] 上为减函数,所以g(t)=f(t+1)=t2+1; 当1<t+1≤2,即0<t≤1时,如图(2),g(t)=f(1)=1;

当t+1>2,即t>1时,如图(3),函数f(x)在区间[t,t+1]
上为增函数,所以g(t)=f(t)=t2-2t+2.

综上, 函数 f(x)在区间[t, t+1], t∈R 上的最小值 g(t) ?t2+1,(t≤0), ? 的表达式为 g(t)=?1,(0<t≤1), ?t2-2t+2,(t>1). ?


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