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北师大版高中数学选修2-1《圆锥曲线与方程小结与复习》2课时教学设计

圆锥曲线与方程小结与复习(一) 一、教学目标:1、通过小结与复习,使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及 它们之间的区别与联系; 2、 通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧, 尤其是解析几何的基本方法――坐标法; 并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、 化 归的数学思想以及“应用数学”的意识;3、结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一 的观点的教育。 二、教学重点:三种曲线的标准方程和图形、性质。教学难点:做好思路分析,引导学生找 到解题的落足点。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (Ⅰ)圆锥曲线知识梳理 (一) 、椭圆 1.定义 (1)第一定义:若 F1,F2 是两定点,P 为动 点,且 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1 F2 则 P 点的轨迹是椭圆。 (2)第二定义:若 F1 为定点, l 为定直线,动点 P 到 F1 的距离与到定直线 l 的距离之 比为常数 e(0<e<1) ,则 P 点的轨迹是椭圆。 (3)焦半径: ( a 为常数)

a2 a2 PF1 ? e( x ? ) ? ex ? a , PF2 ? e( ? x) ? ex ? a c c
2.标准方程: (1)焦点在 x 轴上:

x2 y2 y 2 x2 y ? ? 1 ? ?1 ( a ? b ? 0 ) ; 焦 点 在 轴 上 : a 2 b2 a2 b2

(a ? b ? 0) ;
(2)焦点的位置 ? 标准方程形式 3.几何性质(以焦点在 x 轴上为例) (1)范围: ? a ? x ? a 、 ?b ? y ? b (2)对称性:长轴长= 2 a ,短轴长=2b,焦距=2c

a c (3)离心率 e ? ,准线方程 x ? ? c a

2

(4) 有用的结论:PF a ? c ? PF1 ? a ? c , A1 F1 ? A2 F2 ? a ? c , 1 ? 2a ? PF 2 ,

A1 F2 ? A2 F1 ? a ? c ,顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与 a, b, c 有关.
(5) ?PF 、三角形面积公式 将有关线段 PF1 、 PF2 、2c, 1 F2 中经常利用余弦定理 .... ....... 有关角 ?F1 PF2 结合起来,建立 PF1 + PF2 、 PF1 · PF2 等关系 (6)椭圆上的点有时常用到三角换元: ? (二) 、双曲线 1.定义: (1)第一定义:若 F1,F2 是两定点, PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ( a 为常数) , 则动点 P 的轨迹是双曲线。 (2)第二定义:若动点 P 到定点 F 与定直线 l 的距离之比是常数 e(e>1) ,则动点 P 的轨迹是双 曲线。 ( 3 )焦半径(点 P 在右支) : PF1 ? e( x ?

? x ? a cos? (椭圆的参数方程) ? y ? b sin ?

a2 ), c

PF2 ? e( x ?

a2 ) c

2.标准方程

x2 y2 y2 x2 ( 1 )焦点在 x 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) ;焦点在 y 轴上: 2 ? 2 ? 1 a b a b
(a ? 0, b ? 0) .
(2)焦点的位置 ? 标准方程形式 3.几何性质(以焦点在 x 轴上为例) (1)范围: x ? a 或 x ? ? a 、 y ? (??, ??) (2)对称性:实轴长= 2 a ,虚轴长=2b,焦距=2c.

a c (3)离心率 e ? ,准线方程 x ? ? c a

2

( 4 )渐近线方程:

x2 y2 b ? 2 ? 0 ? y ? ? x . 与此有关的结论:若渐近线方程为 2 a a b
2 2 2 2

y??

x y x y x y b 若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐 x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? ; a b a a b a b x2 y2 ? ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上; ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). a2 b2

近线,可设为

(5)当 a ? b时 ? 离心率 e ?

2 ? 两渐近线互相垂直,分别为 y= ? x ,此时双曲线

为等轴双曲线,可设为 x 2 ? y 2 ? ? ; (5)注意 ?PF 1 F2 中结合定义 PF1 ? PF2 ? 2 a 与余弦定 理 cos?F1 PF2 ,将有关线段 PF1 、 PF2 、 F1 F2 和角结合起 来。 (三) 、抛物线 1.定义:到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛 物线。即:到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e (e=1) 。
2 2.标准方程(以焦点在 x 轴的正半轴为例) : y ? 2 px( p ? 0) (其中 p 为焦点到准

线的距离——焦参数) ; 3.几何性质

p p ,0) ,通径 AB ? 2 p ,准线: x ? ? ; 焦半径: 2 2 p p p CF ? x0 ? ,过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2 2 p (2)几何特征:焦点到顶点的距离= ;焦点到准线的距离= p ;通径长= 2 p (通径 2
( 1 )焦点: ( 是最短的焦点弦) ,顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

y 2 (3)抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( ? , y? ) 或 P(2 pt , 2 pt ) 或 P ( x , y ) ,其中 2p
2

2

y 2 ? 2 px
(四) 、直线与圆锥曲线的关系判断 1.直线与双曲线:当直线与双曲线的渐进线平行时,直线与双曲线仅有一个交点.

2.直线与抛物线:当直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线仅有一个交点. (五) 、圆锥曲线的统一定义:平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过 这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点 F(c,0)称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率.当 0<e<1 时,轨迹 为椭圆;当 e=1 时,轨迹为抛物线;当 e>1 时,轨迹为双曲线。 (Ⅱ) 、课堂练习:课本复习题三 A 组 1、2、3 (Ⅲ) 、作业布置:课本复习题三 A 组 4、5、6、7 五、教后反思:

圆锥曲线与方程小结与复习(二) 一、教学目标:1、通过小结与复习,使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及 它们之间的区别与联系。 2、 通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧, 尤其是解析几何的基本方法――坐标法; 并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、 化 归的数学思想以及“应用数学”的意识。3、结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一 的观点的教育。 二、教学重点:三种曲线的标准方程和图形、性质。教学难点:做好思路分析,引导学生找 到解题的落足点。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程: (一) 、范例探析: 例 1、 根据下列条件,写出椭圆方程
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⑴ 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为 1/2、长轴长为 8; ⑵ 和椭圆 9x +4y =36 有相同的焦点,且经过点(2,-3); ⑶ 中心在原点,焦点在 x 轴上,从一个焦点看短轴两端的视角为直角,焦点到长轴上较近 顶点的距离是 10 - 5
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2

2

分析: 求椭圆的标准方程,首先要根据焦点位置确定方程形式,其次是根据 a =b +c 及已 知条件确定 a 、b 的值进而写出标准方程
2 2
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2

2

2

解 ⑴ 焦点位置可在 x 轴上,也可在 y 轴上,因此有两解:

x y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 16 12 16 12

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⑵ 焦点位置确定,且为(0, ? 5 ) ,设原方程为

x2 y2 ? ? 1 ,(a>b>0),由已知条件 a2 b2

?a 2 ? b 2 ? 5 y2 x ? 2 2 ? ?1 有? 9 , 故方程为 ? a ? 15 , b ? 10 4 15 10 ? ? 1 ? 2 b2 ?a
⑶ 设椭圆方程为

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?b ? c x2 y2 2 2 2 ? 2 ? 1 ,(a>b>0)由题设条件有 ? 及 a =b +c , 2 a b ?a ? c ? 10 ? 5

解得 b= 5, a ? 10 ,故所求椭圆的方程是

x y2 ? ?1 10 5

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例 2、从椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,(a>b>0)上一点 M 向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点 F1,A、 a2 b2
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B 分别是椭圆长、短轴的端点,AB∥OM 设 Q 是椭圆上任意一点,当 QF2⊥AB 时,延长 QF2 与 椭圆交于另一点 P,若⊿F2PQ 的面积为 20 3 ,求此时椭圆的方程
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x2 y2 解 可用待定系数法求解 ∵b=c,a= 2 c,可设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 2c c
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∵ PQ ⊥ AB, ∴ kPQ=-

1 a ? ? 2 ,则 PQ 的方程为 y= 2 (x-c) ,代入椭圆方程整理得 k AB b 6 2 2 6 c c ,又点 F1 到 PQ 的距离 d= 5 3

5x -8cx+2c =0,根据弦长公式,得 PQ=
2 2

∴ S ?F1PQ ?

1 4 3 2 4 3 2 PQ d ? c ,由 c ? 20 3,得c 2 ? 25, 故 所 求 椭 圆 方 程 为 2 5 5

x2 y2 ? ?1 50 25

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例 3、 直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1 相交于 A、B 两点,当 a 为何值时,A、B 在双
2 2

曲线的同一支上?当 a 为何值时,A、B 分别在双曲线的两支上? 解: 把 y ? kx ? 1 代入 3x ? y ? 1 整理得: (3 ? a ) x ? 2ax ? 2 ? 0 ……(1)
2 2 2 2

当 a ? ? 3 时, ? ? 24 ? 4a 由 ? >0 得 ? 6 ?a? 6 且 a ? ? 3 时,方程组有两解,直线
2
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与双曲线有两个交点 若 A、 B 在双曲线的同一支, 须 x1 x 2 ?
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2 >0 , 所以 a? ? 3 或 a? 3 a ?3
2

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故当 ? 6 ?a? ? 3 或 3? a 6 时,A、B 两点在同一支上;当 ? 3?a 3 时,A、B 两点在双 曲线的两支上
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y2 ? 1 ,过点 A(2,1)的直线与已知双曲线交于 P、Q 两点 (1) 例 4、 已知双曲线 x ? 2
2
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求 PQ 中点的轨迹方程; (2)过 B(1,1)能否作直线 l ,使 l 与所给双曲线交于两点 M、N, 且 B 为 MN 的中点,若存在,求出 l 的方程,不存在说明理由
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解: (1)设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2),其中点为(x,y),PQ 的斜率为 k,若 PQ 的斜率不存在显然

y ( 2 , 0 ) 点 是 曲 线 上 的 点 若 PQ 的 斜 率 存 在 , 由 题 设 知 : x1 ? 1 ? 1 … ( 1 ) 2
2
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2

x2 ?

2

y2 ? 1 …(2) 2 x ? x2 k ( y1 ? y 2 )( y 2 ? y1 ) x k ? 0? 1 ? ,即 ? … 2 y 2 y1 ? y 2 2

2

( 2 ) -( 1)得: ( x1 ? x2 )( x2 ? x1 ) ? (3) 又k ?

y ?1 代入(3)整理得: 2x 2 ? y 2 ? 4x ? y ? 0 x?2
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(2) 显然过 B 点垂直 X 抽的直线不符合题意 只考虑有斜率的情况 设 l 的方程为 y-1=k(x-1)
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代入双曲线方程 x ?
2

y2 ? 1 ,整理得: 2 ? k 2 x 2 ? 2k ?1 ? k ?x ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 …※ 2
2k ?1 ? k ? ? 2 解得: k =2 2?k2
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?

?

设 M(x1,y1) 、N(x2,y2)则有 x1 ? x 2 ?

又 直 线 与 双 曲 线 必 须 有 两 不 同 交 点 , 所 以 ※ 式 的

? ? 4k 2 ?1 ? k ? ? 4 2 ? k 2 k 2 ? 2k ? 3 ?o
2

?

??

?

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把 K=2 代入得 ? ? ?8 <0,故不存在满足题意的直线 l

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2 例 5、 已知抛物线方程为 y ? 2 p( x ? 1)( p ? 0) ,直线 l : x ? y ? m 过抛物线的焦点 F 且

被抛物线截得的弦长为 3,求 p 的值. 解:设 l 与抛物线交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB |? 3. 由距离公式|AB|= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 = 1 ? 1 | y1 ? y2 |? 2 | y1 ? y2 | 则有 ( y1 ? y2 ) 2 ? 9 . 2
k
2

由 ? x ? y ? ?1 ? 2 ,消去x, 得y 2 ? 2 py ? p 2 ? 0. ?
? y 2 ? 2 p( x ? 1). ?

?

p

? ? (2 p) 2 ? 4 p 2 ? 0.

? y1 ? y2 ? ?2 p, y1 y2 ? ? p 2 .

从而 ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ,即(?2 p) 2 ? 4 p 2 ? 9 . 由于 p>0,解得 p ?
2

3 4

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例 6、 如图, 线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M (m,0) (m>0) , 端点 A、 B 到 x 轴距离之积为 2 m , 以 x 轴为对称轴,过 A,O,B 三点作抛物线
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,求m 的取值范围 (1)求抛物线方程; (2)若 tg?AOB ? ?1

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y

A

O

M B

x

解: (1)当 AB 不垂直 x 轴时,设 AB 方程为
y ? k ( x ? m).抛物线方程 y 2 ? 2 px( p ? 0)

y ? k ( x ? m) 由? 得ky 2 ? 2 py ? 2 pkm ? 0,? y1 y 2 ? ?2 pm?| y1 y 2 | ? 2 pm ? 2m ? 2 ? y ? 2 px
? p ? 1.当AB ? X轴时, A, B分别为 (m, 2Pm), (m,? 2 pm),由题意有 2 pm ? 2m, p ? 1 ,

故所求抛物线方程为 y 2 ? 2 x. (2)设 A( y1 , y1 ), B( y 2 , y 2 )由(1)知 2 2 2 ? | y1 ? y 2 |? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 4 ? 8m , y1 y 2 ? ?2m, y1 ? y 2 ? k k2 2 2 又tg?AOB ? ?1 k1 ? , k2 ? , y1 y2
2 2 ? | y1 y2 ? ? ?1 4 1? y1 y2 | 即y1 y2 ? 4 ? 2 | y1 ? y2 |,? ?2m ? 4 ? 2
2 2

①, 4 ? 8m k2

平方后化简得 m 2 ? 12 m ? 4 ? 4

k2

? m 2 ? 12 m ? 4 ? 0,

? m ? 6 ? 4 2或m ? 6 ? 4 2

又由①知 ? 2m ? 4 ? 0,? m ? 2 ? m 的取值范围为 0 ? m ? 6 ? 4 2当m ? 6 ? 4 2且AB ? x 轴时,
y1 ? 2( 2 ? 1), y2 ? ?2( 2 ? 1), y1 y2 ? ?4( 2 ? 1) 2 ? ?2m. tan?AOB ? ?1 符合条件,

故符合条件的 m 取值范围为 0 ? m ? 6 ? 4 2. (二) 、课堂练习: 1.直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 1的左支仅有一个公共点,求 K 的取值范围 答案:
2 2
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? 1? k ? 1 或 k ? 2
2.已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1 与点 P(1,2) ,过 P 点作直线 L 与双曲线交于 A、B 两点,若 P 2
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为 AB 的中点 (1)求直线 AB 的方程 (2)若 Q 为(-1,-1) ,证明不存在以 Q 为中点的弦 答
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案 AB:x-y+1=0

y2 ? 1( x ? 1) ,一条长为 8 的弦 AB 的两端在曲线上运动,其中点为 M,求距 3.双曲线 x ? 3
2

Y 轴最近的点 M 的坐标 答案: ? ,
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?5 ?2 ?

15 ? ? 2 ? ?

(三) 、小结 : (1)直线与曲线的位置关系有相离、相切、相交三种。 (2)判断其位置关系 看直线是否过定点, 在根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确 定其位置关系(3)可通过解直线方程与曲线方程解的个数来确定他们的位置关系 但有一解
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不一定是相切,要根据斜率作进一不的判定。 (四) 、课后作业:课本复习题三 五、教后反思: A 组 8、9 B 组 2、3


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