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2014广东高考数学专题复习3(含真题):三角函数与解三角形

3 三角函数
一、复习要求 1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念; 2、三角公式,包括诱导公式,同角三角函数关系式和差倍半公式等; 3、三角函数的图象及性质。 二、学习指导 1、角的概念的推广。从运动的角度,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于 360 的 角。这样一来,在直角坐标系中,当角的终边确定时,其大小不一定(通常把角的始边放在 x 轴正半轴上,角的顶点与原点重合,下同) 。为了把握这些角之间的联系,引进终边相同 的角的概念,凡是与终边α 相同的角,都可以表示成 k?360 +α 的形式,特例,终边在 x 轴上的角集合{α |α =k?180 ,k∈Z},终边在 y 轴上的角集合{α |α =k?180 +90 ,k∈Z}, 终边在坐标轴上的角的集合{α |α =k?90 ,k∈Z}。 在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小。 弧度制是角的度量的重要表示法, 能正确地进行弧度与角度的换算, 熟记特殊角的弧度 制。在弧度制下,扇形弧长公式?=|α |R,扇形面积公式 S ? 对圆心角的弧度数。 2、利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函 数定义是本章重点,从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。 设 P(x, y)是角α 终边上任一点 (与原点不重合) , 记 r ?| OP |? x 2 ? y 2 , 则s n i ??
cos ? ?
1 1 ?R ? R 2 | ? | ,其中α 为弧所 2 2
0 0 0 0 0 0

y , r

x y x , tan ? ? , cot ? ? 。 y r x
k (k∈Z) , ?t ? ? 与α 之间函数值关系 2

利用三角函数定义, 可以得到 (1) 诱导公式: 即

其规律是“奇变偶不变,符号看象限” ; (2)同角三角函数关系式:平方关系,倒数关系, 商数关系。 3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式,诱导公式是和差公式的特例,对公式要熟 练 地 正 用 、 逆 用 、 变 用 。 如 倍 角 公 式 : cos2 α =2cos α -1=1-2sin α , 变 形 后 得
2 cos ??
2 2

1? c o s 2? 1? c o s 2? 2 ,可以作为降幂公式使用。 , sin ?? 2 2

三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研究三角函数图象及性质做准备。 4、三角函数的性质除了一般函数通性外,还出现了前面几种函数所没有的周期性。周 期性的定义:设 T 为非零常数,若对 f(x)定义域中的每一个 x,均有 f(x+T)=f(x),则称 T 为 f(x)的周期。当 T 为 f(x)周期时,kT(k∈Z,k≠0)也为 f(x)周期。

三角函数图象是性质的重要组成部分。 利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何 作图法,熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。 5、本章思想方法 (1)等价变换。熟练运用公式对问题进行转化,化归为熟悉的基本问题; (2)数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题; (3)分类讨论。 三、典型例题 例1、 已知函数 f(x)= log 1 (sin x ? cos x)
2

(1)求它的定义域和值域; (2)求它的单调区间; (3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性。 分析: (1)x 必须满足 sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及 2k? ? k∈Z ∴ 函数定义域为 (2k? ?
? 5 , 2k? ? ?) ,k∈Z 4 4 ? 5 ? x ? 2k? ? ? , 4 4

? ∵ sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) 4

∴ 当 x∈ (2k? ?
? 0 ? sin( x ? ) ? 1 4

? 5 , 2k? ? ?) 时, 4 4

∴ 0 ? sin x ? cos ? 2 ∴ y ? log 1
2

2 ??

1 2

∴ 函数值域为[ ?

1 , ?? ) 2

(3)∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 ∴ f(x)不具备奇偶性 (4)∵ f(x+2π )=f(x) ∴ 函数 f(x)最小正周期为 2π 注; 利用单位圆中的三角函数线可知, 以Ⅰ、 Ⅱ象限角平分线为标准, 可区分 sinx-cosx 的符号;

以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准,可区分 sinx+cosx 的符号,如图。 例2、 化简 2 1 ? sin ? ? 2(1 ? cos ?) ,α ∈(π ,2π ) 分析: 凑根号下为完全平方式,化无理式为有理式 ∵ 1 ? sin ? ? sin 2
? ? ? ? ? ? ? cos 2 ? 2 sin cos ? (sin ? cos ) 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? 1) ? 4 cos 2 2 2

2(1 ? cos ?) ? 2(1 ? 2 cos 2

∴ 原式= 2 | sin

? ? ? ? cos | ?2 | cos | 2 2 2

∵ α ∈(π ,2π ) ∴
? ? ? ( , ?) 2 2 ? ?0 2

∴ cos 当

? ? 9 3 ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? 时, sin ? cos ? 0 2 2 4 2 2 2 ? 2

∴ 原式= 2 sin 当

3 ? 3 ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ? 2? 时, sin ? cos ? 0 4 2 2 2 2 ? ? ? ? 4 cos ? ?2 5 sin( ? arctan 2) 2 2 2

∴ 原式= ? 2 sin

? 3 ? 2 sin ???? ? ? ? 2 2 ∴ 原式= ? ? 3 ?? 2 5 sin( ? arctan 2) ? ? ? ? 2? ? 2 2 ?

注: 1、本题利用了“1”的逆代技巧,即化 1 为 sin 2
? ? ? cos 2 ,是欲擒故纵原则。一般 2 2

地有 1 ? sin 2? ?| sin ? ? cos ? | , 1 ? cos 2? ? 2 | cos ? | , 1 ? cos 2? ? 2 | sin ? | 。 2 、 三 角 函 数 式 asinx+bcosx 是 基 本 三 角 函 数 式 之 一 , 引 进 辅 助 角 , 将 它 化 为
b a 2 ? b 2 sin( x ? ?)(取 ? ? arctan ) 是常用变形手段。 特别是与特殊角有关的 sin±cosx, a

±sinx± 3 cosx,要熟练掌握变形结论。 例3、 求 ( 分析:

3 sin 140
2 0

?

1 cos 140
2 0

)?

1 2 sin 100



原式=
? ?

3 cos 2 1400 ? sin 2 1400 sin 140 cos 140
2 0 2 0

?

1 2 sin 100
0 2

( 3 cos1400 ? sin 1400 )( 3 cos1400 ? sin 1400 ) (? sin 40 cos 40 )
0

?

1 2 sin 10 0

? 4 sin 80 0 ? sin 2000 1 ? 1 2 sin 10 0 sin 2 80 0 4 sin 2000 sin 2000 ? ?8 ? ? 16 ? 16 sin 80 0 cos 80 0 sin 1600

注:在化简三角函数式过程中,除利用三角变换公式,还需用到代数变形公式,如本题 平方差公式。 例 4、已知 0 <α <β <90 ,且 sinα ,sinβ 是方程 x 2 ? ( 2 cos 400 ) x ? cos 2 400 ?
0 0

1 =0 2

的两个实数根,求 sin(β -5α )的值。 分析: 由韦达定理得 sinα +sinβ = 2 cos40 ,sinα sinβ =cos 40 0 2 0

1 2

∴ sinβ -sinα = (sin ? ? sin ?) 2 ? (sin ? ? sin ?) 2 ? 4 sin ? sin ? ? 2(1 ? cos 2 400 )
? 2 sin 400

又 sinα +sinβ = 2 cos40

0

1 ? sin ? ? ( 2 cos 400 ? 2 sin 400 ) ? sin 850 ? ? 2 ∴ ? ?sin ? ? 1 ( 2 cos 400 ? 2 sin 400 ) ? sin 5 0 ? 2 ?

∵ 0 <α <β < 90
0 ? ?? ? 85 ∴ ? 0 ? ?? ? 5

0

0

∴ sin(β -5α )=sin60 =

0

3 2

注:利用韦达定理变形寻找与 sinα ,sinβ 相关的方程组,在求出 sinα ,sinβ 后再 利用单调性求α ,β 的值。 例 5、 (1)已知 cos(2α +β )+5cosβ =0,求 tan(α +β )?tanα 的值; (2)已知 分析: (1)从变换角的差异着手。 ∵ 2α +β =(α +β )+α ,β =(α +β )-α
2 sin ? ? cos ? ? ?5 ,求 3 cos 2? ? 4 sin 2? 的值。 sin ? ? 3 cos ?

∴ 8cos[(α +β )+α ]+5cos[(α +β )-α ]=0 展开得: 13cos(α +β )cosα -3sin(α +β )sinα =0 同除以 cos(α +β )cosα 得:tan(α +β )tanα = (2)以三角函数结构特点出发 ∵ ∴
2 sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 ? sin ? ? 3 cos ? tan ? ? 3 2 tan ? ? 1 ? ?5 tan ? ? 3
13 3

∴ tanθ =2 ∴ 3 cos 2? ? 4 sin 2? ?
3(cos2 ? ? sin 2 ?) ? 8 sin ? cos ? sin ? ? cos ?
2 2

?

3 ? 3 tan 2 ? ? 8 tan ? 1 ? tan ?
2

?

7 5

注;齐次式是三角函数式中的基本式,其处理方法是化切或降幂。 例 6、已知函数 f (x) 单调性。 分析: 对三角函数式降幂
sin 4 x x x x x x ? sin 2 ? ? sin 2 (1 ? sin 2 ) ? ? sin 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ? cos 2 x cos 2 x ? 1 ? ?( sin x ) 2 ? ? sin 2 x ? ? ? ? 2 4 4 2 8
cos 2 x ?1 8

x x sin 4 ?sin 2 2 2 ?a

(a∈(0,1)) ,求 f(x)的最值,并讨论周期性,奇偶性,

∴ f(x)= a

1 1 令 u ? cos 2x ? 8 8

则 y=a

u

∴ 0<a<1 ∴ y=a 是减函数 ∴ 由 2x ?[2k? ? ? , 2k?] 得 x ? [k? ?
? , k?] ,此为 f(x)的减区间 2
u

? 由 2x ?[2k? , 2k? ? ?] 得 x ? [k? , k? ? ] ,此为 f(x)增区间 2

∵ u(-x)=u(x) ∴ f(x)=f(-x) ∴ f(x)为偶函数 ∵ u(x+π )=f(x)

∴ f(x+π )=f(x) ∴ f(x)为周期函数,最小正周期为π 当 x=kπ (k∈Z)时,ymin=1 当 x=kπ +
? (k∈Z)时,ynax= a 4 2
1

注:研究三角函数性质,一般降幂化为 y=Asin(ω x+φ )等一名一次一项的形式。

四、同步练习 (一) 选择题
? )上的增函数,又是以π 为周期的偶函数是 2

1、下列函数中,既是(0, A、y=lgx
2

B、y=|sinx|

C、y=cosx

D、y= 2 sin 2 x

2、如果函数 y=sin2x+acos2x 图象关于直线 x=A、 - 2 B、-1 C、1

? 对称,则 a 值为 8

D、 2
? 5 时, ymax=2; 当 x= ? 时, 8 8

3、 函数 y=Asin(ω x+φ ) (A>0, φ >0) , 在一个周期内, 当 x= ymin=-2,则此函数解析式为
x ? A、 y ? 2 sin( ? ) 2 4 ? C、 y ? 2 sin( x ? ) 4 ? B、 y ? 2 sin(2x ? ) 4

? D、 y ? ?2 sin(2x ? ) 8

4、已知 A、1997

tan ? ? 1 =1998,则 sec 2? ? tan 2? 的值为 1 ? tan ?

B、1998

C、1999

D、2000

? ? 5、已知 tanα ,tanβ 是方程 x 2 ? 3 3x ? 4 ? 0 两根,且α ,β ? (? , ) ,则α +β 等 2 2

于 A、 ?
2 ? 3

B、 ?

2 ? ?或 3 3

C、 ?

? 2 或 ? 3 3

D、

? 3

6、若 x ? y ? A、-1

? ,则 sinx?siny 的最小值为 3

B、-

1 2
0 0

C、 ?

3 4

D、

1 4

7、函数 f(x)=3sin(x+10 )+5sin(x+70 )的最大值是 A、5.5 B、6.5 C、7 D、8

8、若θ ∈(0,2π ],则使 sinθ <cosθ <cotθ <tanθ 成立的θ 取值范围是 A、 (
? ? , ) 4 2
3 B、 ( ?, ?) 4

C、 (

5 3 ?, ? ) 4 2

D、 (

7 ? , 2? ) 4

9、下列命题正确的是 A、若α ,β 是第一象限角,α >β ,则 sinα >sinβ B、函数 y=sinx?cotx 的单调区间是 (2k? ? C、函数 y ?
1 ? cos 2x 的最小正周期是 2π sin 2x
k? ? ? ,k∈Z 2 4

? ? , 2k? ? ) ,k∈Z 2 2

D、函数 y=sinxcos2φ -cosxsin2x 的图象关于 y 轴对称,则 ? ? 10、函数 f (x) ? log 1 (sin 2x ? cos 2x) 的单调减区间是
3

A、 (k? ? B、 (k? ? (二)

? ? , k? ? ) 4 8 ? 3 , k? ? ?) 8 8

B、 (k? ? D、 (k? ?

? ? , k? ? ] 8 8 ? 5 , k? ? ?) k∈Z 8 8

填空题

11、函数 f(x)=sin(x+θ )+ 3 cos(x-θ )的图象关于 y 轴对称,则θ =________。 12、已知α +β =
? , 且 3 (tanα tanβ +c)+tanα =0 (c 为常数) , 那么 tanβ =______。 3
2 2

13、函数 y=2sinxcosx- 3 (cos x-sin x)的最大值与最小值的积为________。 14、已知(x-1) +(y-1) =1,则 x+y 的最大值为________。 15、函数 f(x)=sin3x 图象的对称中心是________。
2 2

(三)

解答题
1 1 ,tanβ = ? ,α ,β ∈(-π ,0) ,求 2α -β 的值。 2 7

16、已知 tan(α -β )=

5 3 ? 2 17、是否存在实数 a,使得函数 y=sin x+acosx+ a ? 在闭区间[0, ]上的最大值是 8 2 2

1?若存在,求出对应的 a 值。 18、已知 f(x)=5sinxcosx- 5 3 cos x+ (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)单调区间; (3)求 f(x)图象的对称轴,对称中心。
2

5 3 (x∈R) 2

真题演练:三角函数
1、 (2011?广东文数)设函数 f(x)=x cosx+1,若 f(a)=11,则 f(﹣a)= ﹣9 . 3 1 解答:解:令 g(x)=f(x)﹣1=x cosx 则 g(x)为奇函数,双∵f(a)=11, ∴g(a)=f(a)﹣1=11﹣1=10∴g(﹣a)=﹣10=f(﹣a)﹣1∴f(﹣a)=﹣9 故答案为:﹣ 9 2. (2009 广东文科)函数 y ? 2 cos2 ( x ? A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为
3

?
4

) ? 1是

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

2 【答案】 A 【解析】 因为 y ? 2 cos 2 ( x ?

?

?? 2? ? ) ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x 为奇函数, T ? ?? 4 2? 2 ?
2

3. (2008 广东文数)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin x, x ? R ,则 f ( x) 是(



? 的奇函数 2 ? C、最小正周期为 ? 的偶函数 D、最小正周期为 的偶函数 2 1 1 ? cos 4 x 3【解析】 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x ? 2cos 2 x sin 2 x ? sin 2 2 x ? ,选 D. 2 4
A、最小正周期为 ? 的奇函数 B、最小正周期为 4. (2008 广东理数)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x) 的 最小正周期是 .

4【解析】 f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ? 最小正周期 T ?

2? ?? 。 2

1 ? cos 2 x 1 2 ? 1 ? sin 2 x ? ? cos(2 x ? ) ? ,故函数的 2 2 2 4 2

1 5(2007 广东理数)若函数 f ( x) ? sin 2 x ? ( x ? R) ,则 f(x)是 2

? 的奇函数; (B)最小正周期为 ? 的奇函数; 2 (C)最小正周期为 2 ? 的偶函数; (D)最小正周期为 ? 的偶函数; 5 案:D;
(A)最小正周期为 6. (2007 广东文数)已知简谐运动 f ( x) ? 2sin ? 则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 ? 分别为( A. T ? 6 , ? ?

π? ?π ?? x ? ? ?? ? ? ? 的图象经过点 (0, 1) , 2? ?3 ??


π 6

B. T ? 6 , ? ?

π 3

C. T ? 6π , ? ?

π 6

D . T ? 6π ,

??

π 3

6、A 7、 (2004 广东)当 0 ? x ? (A) 4 7、 8(2004 广东)函数 f ( x) ? sin 2 ( x ? (A)周期为 ? 的偶函数 (C)周期为 2? 的偶函数 8、 (B)

?
4
1 2

时,函数 f ( x) ?

cos 2 x 的最小值是 cos x sin x ? sin 2 x
(D)

(C) 2

1 4

?

(B)周期为 ? 的奇函数 (D)周期为 2? 的奇函数

) ? sin 2 ( x ? ) 是 4 4

?

7 ( 2010 上海文数) 18. 若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5:11:13 ,则△

ABC
(A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形. (B)一定是直角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

7.解析:由 sin A : sin B : sin C ? 5:11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13 由余弦定理得 cos c ?

5 2 ? 112 ? 13 2 ? 0 ,所以角 C 为钝角 2 ? 5 ? 11

8.(2010 浙江理数) (9)设函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x) 不 存 . 在零点的是 (A) ? ?4, ?2 ? (B) ? ?2, 0? (C) ? 0, 2 ? (D) ? 2, 4 ?

解析:将 f ? x ? 的零点转化为函数 g ?x ? ? 4 sin?2 x ? 1?与h?x ? ? x 的交点,数形结合可知答 案选 A 9(2010 浙江理数) (4)设 0<x< (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 9 解析:因为 0<x<

?
2

1 ”的 1 ”是“ x sin x< ,则“ x sin x<
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2

π ,所以 sinx<1,故 xsin2x<xsinx,结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围 2

相同,可知答案选 B 10 ( 2010 全 国 卷 2 理 数 ) ( 7 ) 为 了 得 到 函 数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图像,只需把函数

y ? sin(2 x ? ) 的图像 6 ? (A)向左平移 个长度单位 4 ? (C)向左平移 个长度单位 2

?

? 个长度单位 4 ? (D)向右平移 个长度单位 2 ? ? ? ? 10【答案】B 【解析】 y ? sin(2 x ? ) = sin 2( x ? ) , y ? sin(2 x ? ) = ? sin 2( x ? ) , 6 12 3 6 ? ? ? 所以将 y ? sin(2 x ? ) 的图像向右平移 个长度单位得到 y ? sin(2 x ? ) 的图像,故选 6 3 4
(B)向右平移 B. 11(2010 陕西文数)3.函数 f (x)=2sinxcosx 是 [C] (A)最小正周期为 2π 的奇函数 (B)最小正周期为 2π 的偶函数 (C)最小正周期为π 的奇函数 (D)最小正周期为π 的偶函数 11 解析: f (x)=2sinxcosx=sin2x,周期为π 的奇函数 12.(2010 辽宁文数) (6)设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ? 与原图像重合,则 ? 的最小值是 (A)

?
3

) ? 2 的图像向右平移

4? 个单位后 3

2 3

(B)

4 3
2?

(C)

3 2

(D) 3

12.解析:选 C.由已知,周期 T ?

?

?

4? 3 ,?? ? . 3 2

13(2010 辽宁理数) (5)设 ? >0,函数 y=sin( ? x+ 图像重合,则 ? 的最小值是 (A)

4? ? )+2 的图像向右平移 个单位后与原 3 3

4? ? )+2 的 图 像 向 右 平 移 个单位后为 3 3 4? ? ? 4?? 3k 4?? =2k ? , 即 ? ? , y ? sin[? ( x ? ) ? ] ? 2 ? sin(? x ? ? ) ? 2 ,所以有 3 3 3 3 2 3 3k 3 又因为 ? ? 0 ,所以 k≥1,故 ? ? ≥ ,所以选 C 2 2 2 14(2010 全国卷 2 文数) (3)已知 sin ? ? ,则 cos( x ? 2? ) ? 3
13 【 答 案 】 C 【 解 析 】 将 y=sin(

2 3

(B)

4 3

(C)

3 2

(D)3

?

x+

(A) ?

5 5 1 1 (B) ? (C) (D) 3 3 9 9

14【解析】B:本题考查了二倍角公式及诱导公式,∵ SINA=2/3,

cos(? ? 2? ) ? ? cos 2? ? ?(1 ? 2sin 2 ? ) ? ?


1 9


15 (2010 江西理数) 7.E, F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点, 则 tan ?ECF ? (

16 A. 27

2 B. 3

C.

3 3

3 D. 4

【答案】D 15【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。 解法 1:约定 AB=6,AC=BC= 3 2 ,由余弦定理 CE=CF= 10 ,再由余弦 定理得 cos ?ECF ? 解得 tan ?ECF ?

4 , 5

3 4

解法 2: 坐标化。 约定 AB=6,AC=BC= 3 2 ,F(1,0),E(-1,0),C (0,3) 利用向量的夹角公式得

cos ?ECF ?

4 3 ,解得 tan ?ECF ? 。 5 4

16(2010 重庆文数) (6)下列函数中,周期为 ? ,且在 [ (A) y ? sin(2 x ? (C) y ? sin( x ?

? ?

?
2 )

, ] 上为减函数的是 4 2

)

(B) y ? cos(2 x ? (D) y ? cos( x ?

?

?

?
2

2 )

)

解析:C、D 中函数周期为 2 ? ,所以错误 当 x ?[

2

? ?

? ? 3? ? ? , ] 时, 2 x ? ? ?? , ? ,函数 y ? sin(2 x ? ) 为减函数 2 ? 2 ? 4 2 2

而函数 y ? cos(2 x ?

?
2

) 为增函数,所以选 A

4 ' 3 ' 2 ' 17(2010 山东文数) (10)观察 ( x ) ? 2 x , ( x ) ? 4 x , (cos x) ? ? sin x ,由归纳推理

可得: 若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) , 记 g ( x) 为 f ( x) 的导函数, 则 g ( ? x) = (A) f ( x) 17 答案:D 18 (2010 四川理数) (6) 将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 (B) ? f ( x) (C) g ( x) (D) ? g ( x)

? 个单位长度, 10

再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是

(A) y ? sin(2x ?

?
10

) )

(B) y ? sin(2x ?

?
5

)

(C) y ? sin( x ?

1 2

?

10

(D) y ? sin( x ?

1 2

?
20

)

18 答案:C 解析:将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 函数图象的解析式为 y=sin(x-

? ) 10

? 个单位长度,所得 10

再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是

1 ? y ? sin( x ? ) . 2 10
19 ( 2010 天 津 文 数 )

? ? 5? ? 为了得到这个 右图是函数y ? A sin (? x+?)( x? R )在区间 ?- , ? 上的图象, ? 6 6 ?
函数的图象,只要将 y ? sin x( x? R 的图象上所有的点 )

1 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 3 ? (B) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 1 ? (C) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 6 ? (D) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6
(A)向左平移 19【答案】A 【解析】由图像可知函数的周期为 ? ,振幅为 1,所以函数的表达式可以是 y=sin(2x+ ? ). 代入( -

? ? ? , 0)可得 ? 的一个值为 ,故图像中函数的一个表达式是 y=sin(2x+ ) ,即 6 3 3

? ? ),所以只需将 y=sinx(x∈R)的图像上所有的点向左平移 个单位长度,再 6 6 1 把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变。 2
y=sin2(x+ 20 (2010 天津理数) (7) 在△ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 若 a ? b ? 3bc ,
2 2

sin C ? 2 3 sin B ,则 A=
(A) 300 (B) 600 (C) 1200 (D) 1500

20【答案】A 由由正弦定理得

c 2 3b ? ? c ? 2 3b , 2R 2R

所以 cosA=

b 2 +c 2 -a 2 ? 3bc ? c 2 ? 3bc ? 2 3bc 3 = ,所以 A=300 ? ? 2bc 2bc 2bc 2
)

21(2010 福建文数)2.计算 1 ? 2sin 22.5? 的结果等于(

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

3 2

21【答案】B【解析】原式= cos 45? =

2 ,故选 B. 2

22 (2010 四川文数) (7) 将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动

? 个单位长度, 10

再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是 (A) y ? sin(2 x ?

?
10

) )

(B) y ? sin(2 x ?

?
5

)

(C) y ? sin( x ?

1 2

?

10

(D) y ? sin( x ?

1 2

?
20

)

22 答案:C 解析:将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 函数图象的解 析式为 y=sin(x-

? 个单位长度,所得 10

? ) 10

再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得

图像的函数解析式是 y ? sin( x ? 23(2010 湖北文数)2.函数 f(x)= A.

1 2

?
10

).

? 2

x ? 3 sin( ? ), x ? R 的最小正周期为 2 4
C.2 ? D.4 ?

B.x

23【答案】D【解析】由 T=|

2? |=4π ,故 D 正确. 1 2

24(2009 广东文科)已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos? 的值 (2)若 5 cos( ? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

?
2

)

? ,求 cos? 的值 2

b ? sin ? ? 2cos ? ? 0 ,即 sin ? ? 2cos? 24【解析】 (1) Q a ? b ,? a g
又∵ sin 2 ? ? cos ? ? 1 , ∴ 4cos2 ? ? cos2 ? ? 1 ,即 cos 2 ?

v

v

v v

1 4 ,∴ sin 2 ? ? 5 5



? 2 5 5 , cos ? ? ? ? (0, ) ? sin ? ?
2 5

5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ?

? cos ? ? sin ? ,? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? ,即 cos 2 ? ?
又 0 ?? ?

1 2

2 ? , ∴ cos ? ? 2 2

w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

25. (2008 广东文、理数)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )(a ? 0,0 ? ? ? ? ), x ? R 的最大值 是 1,其图像经过点 M (

? 1

, )。 3 2

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)已知 ? , ? ? (0, 的值。 25 【解析】 (1) 依题意有 A ? 1 , 则 f( x) n ? s i ( 而 0 ? ? ? ? ,? ( 2 ) 依

?

3 12 ) ,且 f (?) ? , f( ? ) ? , 求 f (? ? ? ) 2 5 13

5 ? ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 3 6 2 2 3 12 题 意 有 cos ? ? , cos ? ? , 而 ?, ? ? 5 13

?

? 1 ? 1 将点 M ( , ) 代入得 sin( ? ? ) ? , x) ? ? , 3 2 3 2
?

( 0 , , 2

)

3 4 12 5 ? sin ? ? 1 ? ( ) 2 ? ,sin ? ? 1 ? ( ) 2 ? , 5 5 13 13
3 12 4 5 56 。 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65
26. (2007 广东理数)已知 ABC 的三个顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C(c,0) (1) 若 c=5,求 sin∠A 的值; (2) 若∠A 为钝角,求 c 的取值范围;

26 解 析 :
c o? s A?

??? ? ???? ( 1 ) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4) , 若 c=5 ,

???? 则 AC ? (2, ?4) , ∴

???? ??? ? ?6 ? 1 6 1 2 5 ,∴sin∠A= ; c? o sA C A,?? B ? 5 5? 2 5 5 ??3c ? 9 ? 16 ? 0 25 25 (2)若∠A 为钝角,则 ? 解得 c ? ,∴c 的取值范围是 ( , ??) ; 3 3 ?c ? 0

27、 (2006 广东)已知函数 f ( x) ? sin x ? sin(x ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 的最大值和最小值; (Ⅲ)若 f (? ) ?

?

2

), x ? R

3 ,求 sin 2? 的值. 4

27 解: f ( x) ? sin x ? sin(x ?

?

2

) ? sin x ? cos x ? 2 sin(x ? 2? ? 2? ; 1

?
4

)

(Ⅰ) f ( x) 的最小正周期为 T ?

(Ⅱ) f ( x) 的最大值为 2 和最小值 ? 2 ; ( Ⅲ ) 因 为 f (? ) ?

3 3 7 , 即 sin ? ? cos? ? ? ? ? ① ? 2 sin ? cos? ? ? , 即 4 4 16

sin 2? ? ?

7 16

28(2004 广东)已知角 ? , ? , ? 成公比为 2 的等比数列(? ? [0,2?]) , sin ? ,sin ? ,sin ? 也成等比数列,求 ? , ? , ? 的值。 28.解:∵α ,β ,γ 成公比为 2 的等比数列,∴β =2α ,γ =4α ∵sinα ,sinβ ,sinγ 成等比数列

?

sin ? sin ? sin 2? sin 4? ? ? ? ? cos? ? 2 cos2 ? ? 1 sin ? sin ? sin ? sin 2? 1 2

即2 cos2 ? ? cos? ? 1 ? 0 解得 cos? ? 1, 或 cos? ? ?

当 cosα =1 时,sinα =0,与等比数列的首项不为零,故 cosα =1 应舍去,

1 2? 4? 当 cos? ? ? ,? ? [0,2? ]时,? ? 或? ? , 2 3 3 2? 4? 8? 4? 8? 16? 所以? ? ,? ? ,? ? 或? ? ,? ? ,? ? 3 3 3 3 3 3
29(2005 广东)化简

6k ? 1 6k ? 1 ? f ( x) ? cos( ? ? 2 x) ? cos( ? ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x)( x ? R, k ? Z ), 并 求 函 数 3 3 3

f ( x) 的值域和最小正周期.
29 解: f ( x) ? cos(2k? ?

?
3

? 2 x) ? cos(2k? ?

?

? cos( ? 2 x) ? cos( ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x) 3 3 3 ? 2 cos( ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x) 3 3

?

?

? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x) 3 3

?

?

?

?



? 4[cos( ? 2 x) cos ? sin( ? 2 x) sin ] 3 3 3 3 ? 4 cos2x 2? f ( x) ? [?4,4] , T ? ?? , 2

?

?

?

?

∴ f ( x) 的值域是 [?4,4] ,最小正周期是 ? . (2010 广东理数)16、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? )( A ? 0, x ? (??, ??),0 ? ? ? ? 在 x ? (1) 求 f ( x) 的最小正周期; (2) 求 f ( x) 的解析式; (3) 若 f (

?
12

时取得最大值 4.

2 ? 12 α + )= ,求 sinα. 3 12 5

5 ? 3 3 3 1 . sin(2? ? ) ? , cos 2? ? , 1 ? 2sin 2 ? ? , sin 2 ? ? , sin ? ? ? 5 2 5 5 5 5

16、 (2011?广东文数)已知函数 f(x)=2sin( x﹣ (1)求 f(0)的值; (2)设 α,β∈ ,f(3 )=

) ,x∈R.

,f(3β+

)= .求 sin(α+β)的值.

考点:两角和与差的正弦函数。 专题:计算题。 分析: (1)把 x=0 代入函数解析式求解. (2)根据题意可分别求得 sinα 和 sinβ 的值,进而利用同角三角函数基本关系求得 cosα 和 cosβ 的值,最后利用正弦的两角和公式求得答案. 解答:解: (1)f(0)=2sin(﹣ (2)f(3 ∴sinα= ∵α,β∈ ∴cosα= = )=2sinα= ,sinβ= , ,cosβ= = )=﹣1 )=2sinβ= .

,f(3β+

∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= 点评:本题主要考查了两角和与差的正弦函数.考查了对三角函数基础公式的熟练记忆. 16、 (2011?广东理数)已知函数 f(x)=2sin( x﹣ (1)求 f( )的值; ],f(3α+ )= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. ) ,x∈R

(2)设 α,β∈[0,

考点:两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数。 专题:计算题。 分析: (1)把 x= 出对应的函数值; (2)分别把 x=3α+ 和 x=3β+2π 代入 f(x)的解析式中,化简后利用诱导公式即可求出 代入函数 f(x)的解析式中,化简后利用特殊角的三角函数值即可求

sinα 和 cosβ 的值, 然后根据 α 和 β 的范围, 利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 和 sinβ 的值,然后把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后,将各自的值代入即可求出值. 解答:解: (1)把 x= f( )=2sin( × )= 代入函数解析式得: ﹣ )=2sin = ;

(2)由 f(3α+

,f(3β+2π)= ,代入得:

2sin[ (3α+ sinα=

)﹣

]=2sinα=

,2sin[ (3β+2π)﹣ ],

]=2sin(β+

)=2cosβ=

,cosβ= ,又 α,β∈[0, ,sinβ= ,

所以 cosα=

则 cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ=

× ﹣

× =



点评: 此题考查学生掌握函数值的求法, 灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化 简求值,是一道中档题.

真题演练:解三角形
1 (2009 广东文科)已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a,b,c 若 a=c= 6 ?

2且

?A ? 75o ,则 b=
A.2 1 【 B.4+ 2 3 答 案 C.4— 2 3 】 D. 6 ? 2 A 【 解 析 】

sin A ? sin 750 ? sin(300 ? 450 ) ? sin 300 cos 450 ? sin 450 cos 300 ?
由 a=c= 6 ?

2? 6 4

2 可知, ?C ? 750 ,所以 ?B ? 300 , sin B ?

1 2

由正弦定理得 b ?

a ? sin B ? sin A

2? 6 1 ? ? 2 ,故选 A 2? 6 2 4

2(2010 湖北理数)3.在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B = A -

2 2 3

B

2 2 6 C - D 3 3

6 3
3 a b 15 10 可得 解得 sin B ? ,又因 ? ? ? 3 sin A sin B sin 60 sin B
6 ,故 D 正确. 3

2. 【答案】D【解析】根据正弦定理

为 b ? a ,则 B ? A ,故 B 为锐角,所以 cos B ? 1 ? sin 2 B ?

3. (2007 北京文、 理) 在 △ABC 中, 若 tan A ?

1 , 则 AB ? C ? 150? ,BC ? 1 , 3



3.

10 2

,B,C 所对的边分别为 a,b,c , 4. (2007 湖南理) 在 △ABC 中, 角A 若 a ?1, b= 7 ,
c ? 3 ,C ?
4 、

π ,则 B ? 3



5. (2007 湖南文) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,若

5π 6

a ? 1, c ? 3, C ?
5.

?

3

,则 A=



π 6


6. (2007 重庆文)在△ABC 中,AB=1,BC=2,B=60°,则 AC= 6. 3 7. ( 2007广东文) (本小题满分14分)已知ΔABC_三个顶点的直角坐标 分别为A(3,4) 、B(0,0) 、C(c,0) . (1)若 AB ? AC ? 0 ,求c的值;

??? ? ???? (2)若C=5,求sin∠A的值. ??? ? ???? 7【解析】 (1) AB ? (?3, ?4), AC ? (c ? 3, ?4) ??? ? ???? 25 由 AB ? AC ? 0 可得 ?3(c ? 3) ? 16 ? 0 解得 c ? 3 (2)当 c ? 5 时,可得 AB ? 5, AC ? 2 5, BC ? 5 , ΔABC为等腰三角形
过 B 作 BD ? AC 交 AC 于 D ,可求得 BD ? 2 5 故 sin A ?

(其它方法如①利用数量积 AB ? AC 求出 cos A 进而求 sin A ;②余弦定理正弦定理等!) 8. (2007 广东理) (本小题满分 12 分)已知△ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C (c,0) . (1)若 c ? 5 ,求 sin∠ A 的值; (2)若∠ A 是钝角,求 c 的取值范围. ??? ? ???? ???? AB ? (?3, ?4) AC ? (c ? 3, ?4) 8 、 解 : ( 1 ) , 当 c=5 时 , AC ? (2, ?4) ???? ??? ? ?6 ? 16 1 cos ?A ? cos ? AC, AB ?? ? 5? 2 5 5

??? ? ????

BD 2 5 ??14分 ? AB 5

sin ?A ? 1 ? cos 2 ?A ?
进而

2 5 5

25 2 (2)若A为钝角,则AB﹒AC= -3(c-3)+( -4) <0 解得c> 3 25 显然此时有AB和AC不共线,故当A为钝角时,c的取值范围为[ 3 ,+ ? )
9(2007 全国Ⅰ文) (本小题满分 10 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsinA (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a=3 3 ,c=5,求 b.

9 解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ?

1 , 2

π . 6 (Ⅱ)根据余弦定理,得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 27 ? 25 ? 45 ? 7 . 所以, b ? 7 .
由 △ABC 为锐角三角形得 B ? 10. (2007 全国Ⅰ理) (本小题满分 10 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别 为 a,b,c,a=2bsinA (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围. 10.解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ABC 为锐角三角形得 B ?

1 , 2

π . 6 ? ? ? ?? ? (Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ? ? A ? ? cos A ? sin ? ? A ? ? ? ? ?6 ? 1 3 ? cos A ? cos A ? sin A 2 2 ?? ? ? 3 sin ? A ? ? . 3? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? 由 △ABC 为锐角三角形知, ? A ? ? B , ? B ? ? ? . ? A? ? , 2 2 2 2 6 3 3 3 6 1 ?? 3 3 ?? 3 ? ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 所以 sin ? A ? ? ? .由此有 2 ? 3? 2 2 3? 2 ? ? 3 3? 所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ? ?. ? 2 , 2? ? ? 11(2007 山东文) (本小题满分 12 分)在 △ABC 中,角 A ,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ; ??? ? ??? ? 5 (2)若 CB? CA ? ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2 sin C 1 11.解: (1)? tan C ? 3 7, ? ? 3 7 又? sin 2 C ? cos2 C ? 1 解得 cos C ? ? . cos C 8 1 ? tan C ? 0 ,?C 是锐角.? cos C ? . 8 ??? ? ??? ? 5 5 (2)? CB? CA ? ,? ab cos C ? ,?ab ? 20 .又? a ? b ? 9 ? a 2 ? 2ab ? b2 ? 81 . 2 2 2 2 2 2 ? a ? b ? 41. ? c ? a ? b2 ? 2ab cos C ? 36 .?c ? 6 .
12. (2007 山东理)如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行,乙 船按固定方向匀速直线航行. 当甲船位于 A1 处时, 乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A1 处时,乙船航 行到甲船的北偏西 120°方向的 B1 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时 航行多少海里?

12.解:如图,连结 A1 B2 , A2 B2 ? 10 2 , A1 A2 ? 在 ?A1 B2 B1 中,由余弦定理得
2 2 B1 B2 ? A1 B12 ? A1 B2 ? 2 A1 B1 ? A1 B2 cos 45?

20 ? 30 2 ? 10 2 , 60 ?A1 A2 B2 是等边三角形, ?B1 A1B2 ? 105? ? 60? ? 45? ,

, 2 ? 200 2 10 2 B1 B2 ? 10 2. 因此乙船的速度的大小为 ? 60 ? 30 2. 20 答:乙船每小时航行 30 2 海里.

? 202 ? (10 2) 2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?

13(2007 上海文、理)

在 △ABC 中, a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边.若

B 2 5 π , cos ? ,求 △ABC 的面积 S . 2 5 4 4 3 13.解: 由题意,得 cos B ? , B 为锐角, sin B ? , 5 5

a ? 2, C ?

? 3π ? 7 2 sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin? ? B? ? 10 ? 4 ?
, 由正弦定理得 c ?

10 , 7

? S ? ac?sin B ? ? 2 ?

1 2

1 2

10 4 8 ? ? . 7 5 7

14. (2007 浙江文、理) (本题 14 分)已知 △ABC 的周长为 2 ? 1 ,且

sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; 1 (II)若 △ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数. 6 14.解: (I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 , BC ? AC ? 2 AB ,两式相减,得 AB ? 1 . 1 1 1 (II)由 △ABC 的面积 BC ?AC ? sin C ? sin C ,得 BC ?AC ? , 2 6 3 2 2 2 AC ? BC ? AB 由余弦定理,得 cos C ? 2 AC ?BC ( AC ? BC )2 ? 2 AC ?BC ? AB 2 1 ? ? ,所以 C ? 60? . 2 AC ?BC 2 1 3 15. (2007 福建文、理) (本小题满分 12 分)在△ABC 中,tanA= ,tanB= . 4 5
(I)求角 C 的大小; (II)若 AB 边的长为 17 ,求 BC 边的长

1 3 ? 3 ,又∵0<C< ? ,∴C= ? 15 解: (I)∵C= ? -(A+B) ,∴tanC=-tan(A+B)= 4 5 = ? 1 13 4 1? · 45

sin A 1 ? tan A ? ? , ? 17 ? AB BC ? cos A 4 (II)由 ? 且 A∈(0, ) ,得 sinA= .∵ ? , 2 2 17 2 sin C sin A ?sin ? cos A ? 1, ? ? sin A ∴BC=AB? ? 2 .所以,最小边 BC ? 2 . sin C 16.(2007 海南、宁夏文、理)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水 平面内的两个侧点 C 与 D .现测得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测 得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB .
解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? .

BC CD . ? sin ?BDC sin ?CBD CD sin ?BDC s · sin ? ? 所以 BC ? . sin ?CBD sin(? ? ? ) s · tan ? sin ? 在 Rt△ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ? . sin(? ? ? )
由正弦定理得


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