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课时跟踪检测55 椭 圆


课时跟踪检测(五) 椭
(分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷



1.椭圆 x +my =1 的焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值为( A. 1 4 B. 1 2

2

2

)

C.2
2 2

D.4

x y 2.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的中点,|OM| 25 16 =3,则 P 点到椭圆左焦点的距离为( A.4 C.2 ) B.3 D.5 2 , 2

3. (2013·石家庄模拟) 中心在坐标原点的椭圆, 焦点在 x 轴上, 焦距为 4, 离心率为 则该椭圆的方程为( A. x y + =1 16 12
2 2 2 2

) B. x y + =1 12 8
2 2 2 2

x y C. + =1 12 4

x y D. + =1 8 4
2 2

x y 4.已知 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一点,若 PF1 · PF2 =0,tan a b 1 ∠PF1F2= ,则此椭圆的离心率为( 2 A. C. 1 2 1 3
2 2

) B. D. 2 3 5 3

x y 5.若方程 + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围是________. |a|-1 a+3 x y 6. (2013·辽宁高考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相 a b 4 交于 A, B 两点, 连接 AF, BF.若|AB|=10, |AF|=6, cos∠ABF= , 则 C 的离心率 e=________. 5 x y 2 ? ? 5 7.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),点 P? a, a?在椭圆上. a b 5 2 ? ?
2 2 2 2

(1)求椭圆的离心率; (2)设 A 为椭圆的左顶点,O 为坐标原点,若点 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线 OQ

的斜率.

x y 8. (2014·黄山模拟)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2.点 P(a,b)满 a b 足|PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点. 若直线 PF2 与圆(x+1) +(y- 3) =16 相交于 M, 5 N 两点,且|MN|= |AB|,求椭圆的方程. 8
2 2

2

2

第Ⅱ卷:提能增分卷 x y 3 1. (2014·长春调研)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点到直线 x+y+ a b 2 6=0 的距离为 2 3. (1)求椭圆的方程; 7 (2)过点 M(0,-1)作直线 l 交椭圆于 A,B 两点,交 x 轴于 N 点,且满足 NA =- NB , 5 求直线 l 的方程.
2 2

2.已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个长轴端点为(0,2),短轴端点和焦点所组成的四 边形为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于相异两点 A,B,且 AP =2 PB . (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围.

y 2 3.(2014·兰州模拟)已知椭圆方程为 +x =1,斜率为 k(k≠0)的直线 l 过椭圆的上焦 2 点且与椭圆相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 y 轴相交于点 M(0,m). (1)求 m 的取值范围; (2)求△MPQ 面积的最大值.

2

答 案

第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.选 D 由题意可得, 1 1 = ,所以 m=4,选 D. m 2

1 2.选 A 由题意知|OM|= |PF2|=3, 2 ∴|PF2|=6, ∴|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4. c 2 3.选 D 依题意,2c=4,c=2,又 e= = ,则 a=2 2,b=2,所以椭圆的标准方程 a 2 x y 为 + =1. 8 4 4.选 D ∵ PF1 · PF2 =0,∴ PF1 ⊥ PF2 ,
2 2

6 5 c 5 ∴|PF1|+|PF2|= c=2a,∴e= = . 5 a 3 5.解析:因为方程 解得-3<a<-2. 答案: (-3,-2) 6.解析:设椭圆的右焦点为 F1,在△ABF 中,由余弦定理可解得|BF|=8,所以△ABF 为 直角三角形,又因为斜边 AB 的中点为 O, 所以|OF|=c=5,连接 AF1,因为 A,B 关于原点对称,所以|BF|=|AF1|=8,所以 2a= 5 14,a=7,所以离心率 e= . 7 5 答案: 7 7.解:(1)因为点 P?
2 2

x y + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,所以|a|-1>a+3>0, |a|-1 a+3

2

2

2 ? ? 5 a, a?在椭圆上, 2 ? ?5
2



a a b 5 2+ 2=1,可得 2= . 5a 2b a 8
2 2 2

a -b b 3 2 于是 e = 2 =1- 2= , a a 8 所以椭圆的离心率 e= 6 . 4

(2)设直线 OQ 的斜率为 k,则其方程为 y=kx.设点 Q 的坐标为(x0,y0). y0=kx0. ? ? 2 2 由条件得?x0 y0 2+ 2=1. ? ?a b ab 2 消去 y0 并整理得 x0= 2 2 2.① k a +b 由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及 y0=kx0 得, (x0+a) +k x0=a , 整理得(1+k )x0+2ax0=0. -2a 而 x0≠0,故 x0= 2. 1+k a a 8 32 2 2 2 2 2 2 代入①,整理得(1+k ) =4k · 2+4.由(1)知 2= ,故(1+k ) = k +4, b b 5 5 即 5k -22k -15=0,可得 k =5. 所以直线 OQ 的斜率 k=± 5. 8.解:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

因为|PF2|=|F1F2|, 所以 -
2

+b =2c.

2

c 2 c 整理得 2( ) + -1=0. a a 1 2 即 2e +e-1=0,所以 e= 或-1(舍). 2 (2)由(1)知 a=2c,b= 3c,可得椭圆方程为 3x +4y =12c , 直线 PF2 的方程为 y= 3(x-c). A,B 两点的坐标满足方程组
2 2 2

?3x +4y =12c , ? ?y= 3 -
消去 y 并整理,得 5x -8cx=0. 8 解得 x1=0,x2= c.得方程组的解 5 8 ? ?x =5c, ? 3 3 ? ?y = 5 c.
2 2 2

2

2

2

?x1=0,

? ?y=- 3c,

?8 3 3 ? 不妨设 A? c, c?,B(0,- 3c), 5 ? ?5
所以|AB|= 5 ?2 16 ?8c?2+?3 3 ?5 ? ? c+ 3c? = c.于是|MN|= |AB|=2c. 8 ? ? ? 5 ? 5

圆心(-1, 3)到直线 PF2 的距离 |- 3- 3- 3c| 3|2+c| d= = . 2 2 因为 d +?
2

?|MN|?2=42,所以3(2+c)2+c2=16.整理得 7c2+12c-52=0,得 c=-26(舍), ? 4 7 ? 2 ?
2 2

x y 或 c=2.所以椭圆方程为 + =1. 16 12 第Ⅱ卷:提能增分卷 |c+ 6| 1.解:(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c>0),则 =2 3,c+ 6=±2 6,c= 6 2 或 c=-3 6(舍去). c 3 6 3 x y 2 2 又离心率 = , = ,故 a=2 2,b= a -c = 2,故椭圆的方程为 + =1. a 2 a 2 8 2
2 2

7 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0),因为 NA =- NB ,所以(x1-x0,y1)= 5 7 7 - (x2-x0,y2),y1=- y2.① 5 5 易知当直线 l 的斜率不存在或斜率为 0 时,①不成立, 于是设直线 l 的方程为 y=kx-1(k≠0),
? ?y=kx-1, 联立方程,得? 2 2 ?x +4y =8. ?

消去 x 得(4k +1)y +2y+1-8k =0,② 因为 Δ >0,所以直线与椭圆相交, 于是 y1+y2=-
2

2

2

2

2 ,③ 2 4k +1

1-8k y1y2= 2 , ④ 4k +1 由①③得,y2= 5 7 ,y1=- 2 , 4k +1 4k +1
2 4 2 2

代入④整理得 8k +k -9=0,k =1,k=±1, 所以直线 l 的方程是 y=x-1 或 y=-x-1. y x 2.解:(1)由题意知椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 由题意知 a=2,b=c,又 a =b +c ,则 b= 2, y x 所以椭圆的方程为 + =1. 4 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知,直线 l 的斜率存在,设其方程为 y=kx+m,与 椭圆方程联立,
?y +2x =4, ? 得? ? ?y=kx+m.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

则(2+k )x +2mkx+m -4=0, Δ =(2mk) -4(2+k )(m -4)>0. 2mk x +x =- , ? ? 2+ k 由根与系数的关系知? m -4 xx= ? ? 2+k .
1 2 2 2 1 2 2 2 2 2

2

2

2

又由 AP =2 PB ,

即(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m),
?x1+x2=-x2, ? 得-x1=2x2,故? 2 ? ?x1x2=-2x2,

2 m -4 ? 2mk 2?2, 可得 ? 2=-2? 2+k ?2+k ?

整理得(9m -4)k =8-2m , 8-2m 2 2 又 9m -4=0 时不符合题意,所以 k = 2 >0, 9m -4 4 4 2 2 2 2 解得 <m <4,此时 Δ >0,解不等式 <m <4 得 <m<2 或-2<m<- , 9 9 3 3 2? ?2 ? ? 所以 m 的取值范围为?-2,- ?∪? ,2?. 3? ?3 ? ? 3.解:(1)设直线 l 的方程为 y=kx+1, y=kx+1, ? ? 2 由?y 2 +x =1, ? 2 ?
2

2

2

2

可得(k +2)x +2kx-1=0.

2

2

-2k 1 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2= 2 ,x1x2=- 2 . k +2 k +2 可得 y1+y2=k(x1+x2)+2= 设线段 PQ 的中点为 N, 则点 N 的坐标为? k 2 ?- , 2 ? 2 ?, ?k +2 k +2? 4 . k +2
2

2 m- 2 k +2 1 1 由题意有 kMN·k=-1,可得 ·k=-1,可得 m= 2 ,又 k≠0,所以 0<m< . k k +2 2 2 k +2 1 (2)设椭圆的焦点为 F,则 S△MPQ= ·|FM|·|x1-x2|= 2 所以△MPQ 的面积为 -
3



3



?0<m<1?. ? 2? ? ?
3 2

设 f(m)=m(1-m) ,则 f′(m)=(1-m) ·(1-4m).

? 1? ?1 1? 可知 f(m)在区间?0, ?上递增,在区间? , ?上递减. ? 4? ?4 2?
1 所以,当 m= 时, 4

?1? 27 f(m)有最大值 f? ?= . ?4? 256
1 3 6 即当 m= 时,△MPQ 的面积有最大值 . 4 16


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