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《二元次不等式(组)与简单的线性规划问题》高考复习参考课件


1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区

域表示二元一次不等式组.
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规 划问题,并能加以解决.

1.二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角 坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成 的平面区域(半平面) 不包括 边界直线. 不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域(半平面) 包括 边界直线.

(2)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),使得 Ax+By+C的值符号相同,也就是位于同一半平面的点, 其坐标适合Ax+By+C>0;而位于另一个半平面内的点, 其坐标适合 Ax+By+C<0 .

(3)可在直线Ax+By+C=0的某一侧任取一点,一般取特
殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的 符号 来判断Ax+By+ C>0(或Ax+By+C<0)所表示的区域. (4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是 各个不等式所表示的平面区域的 公共部分 .

2.线性规划的有关概念

[思考探究] 可行解和最优解有什么联系和区别? 提示:最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.

1.不等式x2-y2≥0所表示的平面区域(阴影部分)是 (

)

解析:法一:x2-y2≥0?(x+y)(x-y)≥0 ? 或

法二:x2-y2≥0?x2≥y2?|x|≥|y|.
答案:C

2.不等式x+3y-1<0表示的平面区域在直线x+3y-1
=0的 A.右上方 B.右下方 ( )

C.左下方
答案:C

D.左上方

3.下面给出的四个点中,位于 区域 内的点是

表示的平面 ( )

A.(0,2)
C.(0,-2)

B.(-2,0)
D.(2,0)

解析:本题可以利用代入法验证,逐一排除. 答案:C

4.若不等式组
则a的取值范围是

表示的平面区域是一个三角形,
.

解析:先画出x-y+5≥0和0≤x≤2表示的区域,再确定y ≥a 表示的区域. 由图知:5≤a<7. 答案:[5,7)

5.已知实数x,y满足

则z=2x+y的最小值



.

解析:由约束条件画出x,y满足的可行域,得三个点
A(2,0),B(5,3),C(-1,3),当目标函数过点C(-1,3)时z取 得最小值.

答案:1

二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法 1.直线定界,特殊点定域 注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线, 有等号时直线画成实线.若直线不过原点,特殊点常选

取原点.
2.同号上,异号下 即当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上 方,当B(Ax+By+C)<0时,区域为直线Ax+By+C=0的 下方.

[特别警示] (1)Ax+By+C>0(<0):表示直线l:Ax+By+C =0某一侧所有点组成的平面区域,直线应画成虚线. (2)Ax+By+C≥0(≤0):表示直线l:Ax+By+C=0某一侧含 边界直线上的所有点组成的平面区域,直线l应画成实线.

(2009· 安徽高考改编)若不等式组 所表示的平面区域被直线y=kx+ 两部分,求k的值. 分为面积相等的

[思路点拨]

[课堂笔记] 由图可知,线性规划区域为△ABC边界及
内部,y=kx+ 恰过A(0, ),y=kx+ 将区域平 ),

均分成面积相等两部分,故过AB的中点D( = k× + ,k= .

1.求目标函数的最值,必须先准确地作出线性可行域,再 作出目标函数对应的直线,根据题意确定取得最优解的 点,进而求出目标函数的最值.

2.最优解的确定方法
线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负 有关,当b>0时,最优解是将直线ax+by=0在可行域 内 向上方平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的; 当b<0时,则是向下方平移.

[特别警示] 当目标函数不是直线形式时,常考虑目标函 数的几何意义,常见代数式的几何意义主要有以下几点:

(1)

表示点(x,y)与原点(0,0)的距离;
表示点(x,y)与(a,b)的距离. 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.

(2)

这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化,往往是解 决问题的关键.

已知实数x,y满足 (1)若z=2x+y,求z的最大值和最小值. (2)若z=x2+y2,求z的最大值和最小值; (3)若z= [思路点拨] ,求z的最大值和最小值.

[课堂笔记] 不等式组 图所示. 图中阴影部分即为可行域. 由 得 ∴A(1,2);

表示的平面区域如


∴B(2,1);







∴M(2,3).

(1)∵z=2x+y,∴y=-2x+z, 当直线y=-2x+z经过可行域内点M(2,3)时,直线在y

轴上的截距最大,z也最大,此时
zmax=2×2+3=7. 当直线y=-2x+z经过可行域内点A(1,2)时,直线在y轴 上的截距最小,z也最小,此时 zmin=2×1+2=4. 所以z的最大值为7,最小值为4.

(2)过原点(0,0)作直线l垂直于直线x+y-3=0,垂足为N,
则直线l的方程为y=x, 由 点N( 得 ∴N( ),

)在线段AB上,也在可行域内.

此时可行域内点M到原点的距离最大,点N到原点的距 离最小.

又|OM|= 即 ≤

,|ON|= ≤ ,∴

, ≤x2+y2≤13, .

所以,z的最大值为13,z的最小值为 (3)∵kOA=2,kOB= ,∴ ≤ ≤2, .

所以z的最大值为2,z的最小值为

在例2中,若z=ax+y(其中a>0),仅在点(1,2)处取得
最小值,求a的范围.

解:∵直线x+y-3=0的斜率k1=-1,
z=ax+y(a>0)的斜率k2=-a, 由题意k1>k2,即-1>-a,得a>1.

1.能建立线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资 源,使完成的任务量最大,收到的效益最大; (2)给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗 费的人力、物力资源量最小.

2.解线性规划应用问题的步骤 (1)设出决策变量,找出约束条件和线性目标函数; (2)利用图象在线性约束条件下找出决策变量,使目标 函数达到最大或最小.

[特别警示] (1)用图解法解答线性规划应用题时应注意仔 细审题,对关键部分进行“精读”,准确理解题意,明确有

哪些限制条件,探求的目标如何?起关键作用的变量有哪
些?由于线性规划应用题中的量较多,为了理顺题目中量 与量之间的关系,一般可将数据列成一个表格来帮助分析 数量关系. (2)要注意结合实际问题,确定未知数x、y等是否有限制.

(2009· 山东高考)某公司租赁甲、乙两种设备生产
A、B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类 产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品 20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的 租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件,B类 产品140件,所需租赁费最少为 元.

[思路点拨]

[课堂笔记] 设需租赁甲型设备x台,乙型设备y台.

租赁费为z元.

根据题意得

z=200x+300y.

如图可知z在(4,5)处取到最小值,z=4×200+5×300=2 300.

即所需租赁费最少为2 300元.
[答案] 2 300

以选择题和填空题的形式考查给出线性约束

条件,求线性目标函数的最值问题是高考对本节内
容的常规考法.09年山东、安徽、福建高考则考查 了线性规划的逆向性问题,即已知目标函数的最值, 求约束条件或目标函数中所含参数的最值范围问题, 这是一个新的考查方向.

[考题印证] (2009· 山东高考)设x,y满足约束条件 若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则 的最小值为 A. C. B. D.4 ( )

【解析】

由图形可知,目标函数

在(4,6)处取得最大值12, ∴2a+3b=6,

从而有
(2a+3b)






【答案】

A

[自主体验] 已知x、y满足 最大值为7,最小值为1,则 A.-2 C.1 B.2 D.-1 且目标函数z=2x+y的 = ( )

解析:先作出

所表示的平面区域,再将目标函

数z=2x+y进行平移,可知目标函数z=2x+y在直线2x+ y=7和x+y=4的交点(3,1)处取得最大值7,在直线2x+y =1和x=1的交点(1,-1)处取得最小值1,故直线ax+by +c=0经过点(3,1)与点(1,-1),且c<0,代入两点坐标可 解得 答案:A 故 =-2.

1.(2009· 安徽高考)不等式组 的面积等于 A. C. B. D.

所表示的平面区域 ( )

解析:不等式组表示的平面区域如图所示. A(0, ),B(1,1),C(0,4). ∴S△ABC= |AC|· h

答案:C

2.(2009· 宁夏、海南高考)设x、y满足 +y A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值 C.有最大值3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值

则 z= x ( )

解析:不等式组

的平面区域为如图的阴影

区域.x+y在点A(2,0)处取最小值为2,无最大值.

答案:B

3.若实数x,y满足 则正实数a 的值等于 A. C. B. D.

且x2+y2的最大值等于34, ( )

解析:在平面直角坐标系中画出已知不等式组所表示的

平面区域MPA(如图所示),其中直线ax-y-a=0的位置
不确定,但它经过定点A(1,0),斜率为a.

又由于x2+y2=(

)2,且x2+y2的最大值等于34, ,

所以平面区域MPA中的点到原点的最大距离等于 又M(- 所以点P( 故有( 答案:B ,3),OM= < ,

+1,3)到原点的距离最大, +1)2+9=34,解得a= .

4.如图,△ABC中,A(0,1),B(-2,2), C(2,6),则△ABC区域所表示的二元 一次不等式组为 .

解析:由两点式得直线AB、BC、CA的方程并化简为:

直线AB:x+2y-2=0,
直线BC:x-y+4=0, 直线CA:5x-2y+2=0. ∴原点(0,0)不在各直线上,将原点坐标代入到各直线方 程左端,结合式子的符号可得不等式组 为

答案:

5.已知点(x,y)在如图所示平面区域内运动(包含边界), 目标函数z=kx-y.当且仅当x= , y= 时,目标 .

函数z取最小值,则实数k的取值范围是

解析:

答案:

6.某公司仓库A存有货物12吨,仓库B存有货物8吨,现按
7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店, 从仓库A运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分 别为8元、6元、9元;从仓库B运货物到商店甲、乙、丙, 每吨货物的运费分别为3元、4元、5元.问应如何安排调 运方案,才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运 费最少?

解:将已知数据列成下表:
每吨运费 仓库 A 8 6 9 商店 甲 乙 丙

B

3

4

5

设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨,y吨, 则仓库A运给丙商店的货物为(12-x-y)吨, 从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7-x)吨、 (8-y)吨、[5-(12-x-y)]=(x+y-7)吨, 于是总运费为z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8- y)+5(x+y-7)=x-2y+126.

∴线性约束条件为

,即



目标函数为z=x-2y+126. 作出上述不等式组表示的平面区域,即可行域,如图所示

作出直线l:x-2y=0,把直线l平行移动,显然当直线l移 动到过点(0,8)时,在可行域内z=x-2y+126取得最小值

zmin=0-2×8+126=110,则x=0,y=8时总运费最小.


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