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数学奥林匹克高中训练题(33)(精编)


数学奥林匹克高中训练题(33)
第 一 试 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.方程

x2 ? 1 ? x2 ? 2 ? 1 ?

1
3

x2 ? 1

的解集是(

).

(A) {1,5, 2 2}

(B) {

1 1 , } 10 2

(C) { ,

1

?

?}

(D) ?

2.一个三角形的三条边恰为 m ? m ? 1, 2m ? 1, m ? 1 ,则这个三角形中最大角为(
2 2

).

(A)

?
3

(B)

2? 3

(C)

3? 4

(D)

5? 6
2

3 . 己 知 f ( x) 是 R 上 的 奇 函 数 , g ( x) 是 R 上 的 偶 函 数 , 若 f ( x) ? g ( x) ? x ? 2 x ? 3 , 则

f ( x) ? g ( x) ? (
(A) ? x ? 2 x ? 3
2

). (B) x ? 2 x ? 3
2

(C) ? x ? 2 x ? 3
2

(D) x ? 2 x ? 3
2

? x 2 ? y 2 ? 14 x ? 10 y ? 58 ? 0, ? 4. 满 足方 程 组 ? 的 数 组 ( x, y ) 是 2 2 2 2 x ? y ? 16 x ? 12 y ? 100 ? x ? y ? 4 x ? 20 y ? 104 ? 2 29. ? ?
( ). (A)

217 ? 5 415 180 ? 2 415 , 29 29
217 ? 5 415 180 ? 2 415 , 29 29
5? 的( 4
).

(B)

180 ? 2 415 217 ? 5 415 , 29 29

(C)

(D)

180 ? 2 415 217 ? 5 415 , 29 29

5. tan x ? 1 是 x ?

(A)必要条件, 但非充分条件. (C)充分条件, 也是必要条件.

(B)充分条件, 但非必要条件. (D)非充分条件, 也非必要条件.

6. 正方形纸片 ABCD , 沿对角线 AC 对折, 使 D 点在面 ABC 外, 这时 DB 与面 ABC 所成的角一定 不等于( ). (A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.若 f ( x) ? x ? 2 x ? 2 x ? 2 x ? x ? 3 x ? 6 x ? 1 , 则 f ( 2 ? 1) ?
10 9 8 7 6 2

. .

2. n ? N ,则 1 ?

1 1 1 ? ?? ? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ?? ? n

(1 ? i ) 2000 (6 ? 2i ) ? (1 ? i )1998 (3 ? i ) 3.若 z ? ,则 z ? (1 ? i )1996 (23 ? 7i ) ? (1 ? i )1994 (10 ? 2i )
4.多项式 ( x ? 2 x ? 2)
2 2001



? ( x 2 ? 3 x ? 3) 2001 展开后合并同类项,所得结果中 x 的奇次项系数之和





5.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 棱长为1, E 是 DC 中点, F 是 BB1 中点,则四面体 AD1 EF 的体积 是 .

6.在坐标平面上,由条件 ?
o

? ? y ? ? x ? 1, 所限定的平面区域的面积是 ? ? y ? ?2 x ? 3



三、(本题满分20分) tan 5 是有理数还是无理数?请证明!

四、(本题满分20分)公差为4的有限项的等差数列,它的首项的平方与其余所有项之和不超过100.请 你回答,这个等差数列最多可以有多少项?(8)

五、(本题满分20分) a, b, c 均为实数, a ? b, b ? c, c ? a .

证明:

3 a ? b ? 2c ? b ? c ? 2a ? c ? a ? 2b ? ? 2. 2 a ?b ? b?c ? c ?a

第 二 试 一、(本题满分50分) O, H 分别是锐角 ?ABC 的外心与垂心, 点 D 在 AB 上, AD ? AH , 点 E 在 AC 上, AE ? AO .证明: DE ? AE .

二、(本题满分50分)某工厂的 m 位工人共提了 n 条 ( n ? 1) 不同的合理化建议.经统计发现,每两个工 人提的合理化建议中都至少有一条相同的建议,但没有两个工人所提的建议完全相同.证明:

m ? 2n ?1 .

三、(本题满分50分)在圆上有21个点.证明:以这些点为端点组成的所有弧中,不超过 120 的弧不少 于100条.

o


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