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2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(安徽卷)精校版_图文

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数

学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选挥题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 l 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 至第 4 页。全卷满分 l50 分,考试时间 l20 分钟。安徽卷理 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡 上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的 地方填写姓名和座位号后两位. 2.答第Ⅰ时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答第Ⅱ时,务必使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整,笔迹清 晰。 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出, 确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔秒 清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿 纸上答题无效. 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交. 参考公式: 如果事件 A 与 B 互斥,那么

P( A ? B) ? P ( A) ? P( B)
如果 A 与 B 是两个任意事件, P ( A) ≠0 , 那么 P( AB) ? P( A)P(B A) =P(A)P(B A ) 如果事件 A 与 B 相互独立, 那么 P( AB) ? P( A) P( B)

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. (2010 年安徽卷理 1)i 是虚数单位,

i ? 3 ? 3i

(A)

1 3 ? i 4 12

(B)

1 3 ? i 4 12

( C)

1 3 1 3 ? i (D) ? i 2 6 2 6

答案:B (2010 年安徽卷理 2)若集合 A ? ? x log 1 x≥ ? ,则 ?R A ?

? ? ? ?

2

1? ? 2? ?

(A) ? ??, 0? ? ( (C) ? ??, 0? ? ? 答案:A

2 , ??) 2

(B) (

2 , ??) 2

? 2 ? , ?? ? ? ? 2 ?

(D) ?

? 2 ? , ?? ? ? ? 2 ?
1 1 2 2

(2010 年安徽卷理 3)设向量 a ? (1, 0) , b ? ( , ) ,则下列结论中正确的是 (A) a ? b 答案:C (2010 年安徽卷理 4)若 f ( x ) 是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f (1) ? 1 , f (2) ? 2 ,则 (B) a· b?

2 2

(C) a ? b 与 b 垂直

(D) a∥ b

f (3) ? f (4) ?
(A)-1 答案:A (2010 年安徽卷理 5)双曲线方程为 x ? 2 y ? 1 ,则它的右焦点坐标为
2 2

(B)1

(C)-2

(D)2

(A) ( 答案:C

2 , 0) 2

(B) (

5 , 0) 2

(C) (

6 , 0) 2

(D) ( 3,0)

(2010 年安徽卷理 6)设 abc>0 ,二次函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c 的图像可能是
2

答案:D (2010 年安徽卷理 7)设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 3cos ? (? 为参数) ,直线 l 的方程 ? y ? ?1 ? 3sin ?
7 10 的点的个数为 10

为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则曲线 C 上到直线 l 距离为 (A)1 答案:B (B)2 (C)3 (D)4

(2010 年安徽卷理 8)一个几何体的三视图如图。该几何体的表面积为

(A)280

(B)292

(C)360

(D)372

答案:C (2010 年安徽卷理 9)动点 A( x, y) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转, 12 秒旋转一周.已知时间 t ? 0 时,点 A 的坐标是 ( , 坐标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单调递增区间是 (A) ?0,1? 答案:D (2010 年安徽卷理 10)设 ?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2 n 项和与前 3n 项和分 别为 X , Y , Z ,则下列等式中恒成立的是 (A) X ? Z ? 2Y (C) Y ? XZ
2

1 3 ) ,则当 0≤t≤12 时,动点 A 的纵 2 2

(B) ?1,7?

(C) ?7,12?

(D) ?0,1? 和 ?7,12?

(B) Y (Y ? X ) ? Z (Z ? X ) (D) Y (Y ? X ) ? X (Z ? X )

答案:D (在此卷上答题无效) 绝密★启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学(理科)

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 考生注意摩项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. .................. 二.填空题:本大 题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. (2010 年安徽卷理 11)命题“对任何 x∈R ,|x-2|+|x-4|>3”的否定是___ 答案: (2010 年安徽卷理 12) (

x y 6 ? ) 的展开式中, x3 的系数等于____ y x

答案:

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? (2010 年安徽卷理 13)设 x,y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 ? x ? 0, y ? 0 ?
z ? abx ? y(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 8,则 a+b 的最小值为 ___
答案:4 (2010 年安徽卷理 14)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 x=____.

第(l4 )题图 答案:12 (2010 年安徽卷理 15)甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球。乙罐中有 4 个红球,3 个 白球和 3 个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A 1 , A2 和 A 3 ,表示由甲罐取 出的球是红球.白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是 红球的事件.则下列结论中正确的是____(写出所有正确结论的编号).

2 ; 5 5 ②P(B| A ; 1 )= 11
① p( B) ? ③事件 B 与事件 A 1 相互独立;

④ A1 , A2 , A3 两两互斥的搴件; ⑤P(B)的值不能确定,因为它与 A1 , A2 , A3 中究竟哪一个发生有关. 答案: 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卡上的指定区域内. (2010 年安徽卷理 16)(本小题满分 l2 分) 设△ABc 是锐角三角形,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对边长,并且

sin 2 A ? sin( ? B) sin( ? B) ? sin 2 B 3 3
(1)求角 A 的值;

?

?



(Ⅱ) AB ? AC ? 12 ,a= 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c ) . 答案:

(2010 年安徽卷理 17) (本小题满分 12 分) 设 a 为实数,函数 f ? x ? ? e ? 2x ? 2a, x ? R .
x

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当 a>ln2-1 且 x>0 时, e >x ? 2ax ? 1 .
x 2

答案: (Ⅰ)解:由 f ( x) ? e ? 2 x ? 2a, x ? R知f ?( x) ? e ? 2, x ? R.
x x

令 f ?( x) ? 0, 得x ? ln 2.于是当x变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(??,ln 2)


ln 2
0

(ln 2, ??)
+

f ( x)

单调递减

2(1 ? ln 2 ? a)

单调递增

故 f ( x ) 的单调递减区间是 (??,ln 2) ,单调递增区间是 (ln 2, ??) ,

f ( x)在x ? ln 2 处取得极小值,
极小值为 f (ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 2(1 ? ln 2 ? a). (Ⅱ)证:设 g ( x) ? ex ? x2 ? 2ax ? 1, x ? R, 于是 g ?( x) ? e x ? 2x ? 2a, x ? R. 由(Ⅰ)知当 a ? ln 2 ? 1 时, g ?( x)最小值为g ?(ln 2) ? 2(1 ? ln 2 ? a) ? 0.

于是对任意x ? R, 都有g ?( x) ? 0, 所以g ( x)在R内单调递增,
于是当 a ? ln 2 ? 1 时, 对任意x ? (0, ??), 都有g ( x) ? g (0), 而 g (0) ? 0, 从而对任意x ? (0, ??), g ( x) ? 0. 即 ex ? x2 ? 2ax ? 1 ? 0, 故e x ? x2 ? 2ax ? 1. (2010 年安徽卷理 18) (本小题满分 13 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,

EF∥AB,EF⊥FB,AB =2EF,∠BFC=90°,BF∥FC,H
为 BC 的中点. (Ⅰ)求证:FH∥平面 EDB; (Ⅱ)求 证:AC⊥平面 EDB; (Ⅲ)求二面角 B—DE—C 的大小. 答案: [综合法](Ⅰ)证:设 AC 与 BD 交于点 G,则 G 为 AC 的中点,连 EG,GH, 又 H 为 BC 的中点,? GH / /

1 1 AB, 又EF / / AB,? EF / /GH . 2 2

∴四边形 EFHG 为平行四边形, ∴EG//FH,而 EG ? 平面 EDB,∴FH//平面 EDB. (Ⅱ)证:由四边形 ABCD 为正方形,有 AB⊥BC,又 EF//AB, ∴EF⊥BC. 而 EF⊥ FB,∵EF⊥平面 BFC,∴EF⊥FH,∴AB⊥FH. 又 BF=FC,H 为 BC 的中点,∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面 ABCD,∴FH⊥AC, 又 FH//BC,∴AC⊥EG. 又 AC⊥BD,EG ? BD=G,∴AG⊥平面 EDB.

? y1 ? ?1, z1 ? 0, 即n1 ? (1, ?1, 0). CD ? (0, ?2, 0), CE ? (1, ?1,1), 设平面CDE的法向量为n 2 ? (1, y2 , z2 ), 则n 2 ? CD ? 0, y2 ? 0, n2 ? CE ? 0,1 ? y2 ? z2 ? 0, z2 ? ?1 故n 2 ? (1, 0, ?1), cos ? n1 , n 2 ?? n1 ? n 2 ? | n1 | ? | n 2 | 1 2? 2 ? 1 , 2

?? n1 , n 2 ?? 60 ,
即二面角 B—DE—C 为 60°. (2010 年安徽卷理 19) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E 经过点 A(2,3) ,对称轴为坐标轴,焦点 F 1 , F2 在 x 轴上,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求∠ F 1 A F2 的角平分线所在直线 l 的方程; (Ⅲ)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点?若存 在.请找出;若不存在,说明理由. 答案: 解: (Ⅰ)设椭圆 E 的方程为

1 . 2

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

1 c 1 ,即 ? , a ? 2c, 得b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2 , 2 a 2 x2 y2 ? 椭圆方程具有形式 2 ? 2 ? 1. 4c 3c 由e ?
将 A(2,3)代入上式,得

1 3 ? 2 ? 1, 解得c ? 2, 2 c c

∴椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 16 12

(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)知 F 1 (?2,0), F 2 (2,0) ,所以

3 ( x ? 2), 即3x ? 4 y ? 6 ? 0, 4 直线 AF2 的方程为: x ? 2.
直线 AF1 的方程为: y ? 由点 A 在椭圆 E 上的位置知,直线 l 的斜率为正数. 设 P( x, y)为l 上任一点,则

| 3x ? 4 y ? 6 | ?| x ? 2 | . 5

若 3x ? 4 y ? 6 ? 5x ? 10, 得x ? 2 y ? 8 ? 0 (因其斜率为负,舍去). 于是,由 3x ? 4 y ? 6 ? ?5x ? 10, 得2x ? y ? 1 ? 0 所以直线 l 的 方程为: 2 x ? y ? 1 ? 0. 解法 2:

A(2,3), F1 (?2, 0), F2 (2, 0),? AF1 ? (?4, ?3), AF2 ? (0, ?3). ? AF1 | AF1 | ? 1 1 4 ? (?4, ?3) ? (0, ?3) ? ? (1, 2). 3 5 | AF2 | 5 AF2

? k1 ? 2,? l : y ? 3 ? 2( x ? 1), 即2 x ? y ? 1 ? 0.

得一元二次方程 3x ? 4(?
2

1 x ? m) 2 ? 48, 即x 2 ? mx ? m2 ? 12 ? 0, 2

则 x1与x2 是该方程的两个根, 由韦达定理得 x1 ? x2 ? m,

1 3m ( x1 ? x2 ) ? 2m ? , 2 2 m 3m ). ∴B,C 的中点坐标为 ( , 2 4 3m ? m ? 1, 得m ? 4. 又线段 BC 的中点在直线 y ? 2 x ? 1上,? 4
于是 y1 ? y2 ? ? 即 B,C 的中点坐标为(2,3) ,与点 A 重合,矛盾. ∴不存在满足题设条件的相异两点. (2010 年安徽卷理 20) (本小题满分 12 分) 设数列 a1 , a2,

an

中的每一项 都不为 0.

证明, ?an ? 为等差数列的充分必要条件是:对任何 n ? N ,都有

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 n . ? an an?1 a1an?1

答案: 证:先证必要性 设数列 {an } 的公差为d , 若d ? 0, 则所述等式显然成立, 若 d ? 0 ,则

1 1 ? ? a1 a2 a2 a3 ? ? ?

?

1 an an ?1 ? an ?1 ? an ) an a n ? 3 ?( 1 1 ? )) an an ?1

1 a2 ? a1 a3 ? a2 ( ? ? d a1 a2 a2 a3

1 1 1 1 1 (( ? ) ? ( ? ) ? d a1 a2 a2 a3 1 1 1 1 an ?1 ? a1 ( ? )? d a1 an ?1 d a1 an ?1

?

n . a1 an ?1

再证充分性. 证法 1: (数学归纳法)设所述的等式对一切 n ? N ? 都成立,首先,在等式

1 1 2 ? ? a1 a2 a2 a3 a1a3



两端同乘 a1a2 a3 ,即得a1 ? a3 ? 2a2 , 所以a1 , a2 , a3 成等差数列, 记公差为 d , 则a2 ? a1 ? d .

(2010 年安徽卷理 21) (本小题满分 13 分) 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试, 一种通常采用的测试方法如下: 拿出 n 瓶外观相同但 品质不同的酒让其品尝, 要求其按品质优劣为它们排序; 经过一段时间, 等其记忆淡忘之后, 再让其品尝这 n 瓶酒,并重新按 品质优劣为它们排序,这称为一轮测试.根据一轮测试中的

两次排序的偏离程度的高低为其评分. 现设 n ? 4 ,分别以 a1 , a2 , a3 , a4 表示第一次排序时被排为 1,2,3,4 的四种酒在第二次排序 时的序号,并令

X ? 1 ? a1 ? 2 ? a2 ? 3 ? a3 ? 4 ? a4 ,
则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述. (Ⅰ)写出 X 的可能值集合; (Ⅱ)假设 a1 , a2 , a3 , a4 等可能地为 1,2,3,4 的各种排列,求 X 的分布列; (Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有 X ≤2 . (i)试按(Ⅱ)中的结果,计算出现这种现象的概率(假设各轮测试相互独立) ; (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?说明理由. 答案:解: (I) X 的可能值集合为{0,2,4,6,8}. 在 1,2,3,4 中奇数与偶数各有两个,所以 a2 , a4 中的奇数个数等于 a1 , a3 中的偶数个 数,因此 |1 ? a1 | ? | 3 ? a3 | 与 | 2 ? a2 | ? | 4 ? a4 | 的奇偶性相同, 从而 X ? (|1 ? a1 | ? | 3 ? a3 |) ? (| 2 ? a2 | ? | 4 ? a4 |) 必为偶数.

X 的值非负,且易知其值不大于 8. 容易举出使得 X 的值等于 0,2,4,6,8 各值的排列的例子.
(Ⅱ)可用列表或树状图列出 1,2,3,4 的一共 24 种排列,计算每种排列下的 X 值, 在等可能的假定下,得到

X P

0

2

4

6

8

1 3 7 9 24 24 24 24

4 24 4 1 ? ,将三轮测试都有 X ? 2 24 6

(Ⅲ) (i)首先 P( X ? 2) ? P( X ? 0) ? P ( X ? 2) ? 的概率记做 p,由上述结果和独立性假设,得

p?

1 1 ? . 3 216 6 1 5 ? 是一个很小的概率,这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测 216 1000

(ii)由于 p ?

试都有 X ? 2 的结果的可能性很小,所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功 能,不是靠随机猜测.

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

(17) (本小题满分 12 分)

本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函数不等 式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. (Ⅰ)解:由 f ( x) ? e x ? 2 x ? 2a, x ? R知f ?( x) ? e x ? 2, x ? R. 令 f ?( x) ? 0, 得x ? ln 2.于是当x变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

(??,ln 2)
— 单调递减

ln 2
0

(ln 2, ??)
+ 单调递增

2(1 ? ln 2 ? a)

故 f ( x ) 的单调递减区间是 (??,ln 2) ,单调递增区间是 (ln 2, ??) ,

f ( x)在x ? ln 2 处取得极小值,
极小值为 f (ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 2(1 ? ln 2 ? a). (Ⅱ)证:设 g ( x) ? ex ? x2 ? 2ax ? 1, x ? R, 于是 g ?( x) ? e x ? 2x ? 2a, x ? R. 由(Ⅰ)知当 a ? ln 2 ? 1 时, g ?( x)最小值为g ?(ln 2) ? 2(1 ? ln 2 ? a) ? 0.

于是对任意x ? R, 都有g ?( x) ? 0, 所以g ( x)在R内单调递增,
于是当 a ? ln 2 ? 1 时, 对任意x ? (0, ??), 都有g ( x) ? g (0), 而 g (0) ? 0, 从而对任意x ? (0, ??), g ( x) ? 0. 即 ex ? x2 ? 2ax ? 1 ? 0, 故e x ? x2 ? 2ax ? 1. (18) (本小题满分 13 分) 本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明,考查二面角的求法以及利 用向量知识解决几何问题的能力,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

[综合法](Ⅰ)证:设 AC 与 BD 交于点 G,则 G 为 AC 的中点,连 EG,GH, 又 H 为 BC 的中点,? GH / /

1 1 AB, 又EF / / AB,? EF / /GH . 2 2

∴四边形 EFHG 为平行四边形, ∴EG//FH,而 EG ? 平面 EDB,∴FH//平面 EDB. (Ⅱ)证:由四边形 ABCD 为正方形,有 AB⊥BC,又 EF//AB, ∴EF⊥BC.

而 EF⊥ FB,∵EF⊥平面 BFC,∴EF⊥FH,∴AB⊥FH. 又 BF=FC,H 为 BC 的中点,∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面 ABCD,∴FH⊥AC, 又 FH//BC,∴AC⊥EG. 又 AC⊥BD,EG ? BD=G,∴AG⊥平面 EDB.

? y1 ? ?1, z1 ? 0, 即n1 ? (1, ?1, 0). CD ? (0, ?2, 0), CE ? (1, ?1,1), 设平面CDE的法向量为n 2 ? (1, y2 , z2 ), 则n 2 ? CD ? 0, y2 ? 0, n2 ? CE ? 0,1 ? y2 ? z2 ? 0, z2 ? ?1 故n 2 ? (1, 0, ?1), cos ? n1 , n 2 ?? n1 ? n 2 ? | n1 | ? | n 2 | 1 2? 2 ? 1 , 2

?? n1 , n 2 ?? 60 ,
即二面角 B—DE—C 为 60°. (19) (本小题满分 13 分) 本题考查椭圆的定义及标准方程, 椭圆的简单几何性质, 直线的点斜式方程与一般方程, 点到直线的距离公式,点关于直线的对称等基础知识;考查解析几何的基本思想、综合 运算能力、探究意识与创新意识. 解: (Ⅰ)设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

1 c 1 ,即 ? , a ? 2c, 得b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2 , 2 a 2 x2 y2 ? 椭圆方程具有形式 2 ? 2 ? 1. 4c 3c 由e ?
将 A(2,3)代入上式,得

1 3 ? 2 ? 1, 解得c ? 2, 2 c c

∴椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 16 12

(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)知 F 1 (?2,0), F 2 (2,0) ,所以

3 ( x ? 2), 即3x ? 4 y ? 6 ? 0, 4 直线 AF2 的方程为: x ? 2.
直线 AF1 的方程为: y ? 由点 A 在椭圆 E 上的位置知,直线 l 的斜率为正数. 设 P( x, y)为l 上任一点,则

| 3x ? 4 y ? 6 | ?| x ? 2 | . 5
若 3x ? 4 y ? 6 ? 5x ? 10, 得x ? 2 y ? 8 ? 0 (因其斜率为负,舍去). 于是,由 3x ? 4 y ? 6 ? ?5x ? 10, 得2x ? y ? 1 ? 0 所以直线 l 的 方程为: 2 x ? y ? 1 ? 0.

解法 2:

A(2,3), F1 (?2, 0), F2 (2, 0),? AF1 ? (?4, ?3), AF2 ? (0, ?3). ? AF1 | AF1 | ? 1 1 4 ? (?4, ?3) ? (0, ?3) ? ? (1, 2). 3 5 | AF2 | 5 AF2

? k1 ? 2,? l : y ? 3 ? 2( x ? 1), 即2 x ? y ? 1 ? 0.

得一元二次方程 3x ? 4(?
2

1 x ? m) 2 ? 48, 即x 2 ? mx ? m2 ? 12 ? 0, 2

则 x1与x2 是该方程的两个根, 由韦达定理得 x1 ? x2 ? m,

1 3m ( x1 ? x2 ) ? 2m ? , 2 2 m 3m ). ∴B,C 的中点坐标为 ( , 2 4 3m ? m ? 1, 得m ? 4. 又线段 BC 的中点在直线 y ? 2 x ? 1上,? 4
于是 y1 ? y2 ? ? 即 B,C 的中点坐标为(2,3) ,与点 A 重合,矛盾. ∴不存在满足题设条件的相异两点. (20) (本小题满分 12 分) 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识,考查推理论证、运算求解能 力. 证:先证必要性 设数列 {an } 的公差为d , 若d ? 0, 则所述等式显然成立, 若 d ? 0 ,则

1 1 ? ? a1 a2 a2 a3 ? ? ?

?

1 an an ?1 ? an ?1 ? an ) an a n ? 3 ?( 1 1 ? )) an an ?1

1 a2 ? a1 a3 ? a2 ( ? ? d a1 a2 a2 a3

1 1 1 1 1 (( ? ) ? ( ? ) ? d a1 a2 a2 a3 1 1 1 1 an ?1 ? a1 ( ? )? d a1 an ?1 d a1 an ?1

?

n . a1 an ?1

再证充分性. 证法 1: (数学归纳法)设所述的等式对一切 n ? N ? 都成立,首先,在等式

1 1 2 ? ? a1 a2 a2 a3 a1a3



两端同乘 a1a2 a3 ,即得a1 ? a3 ? 2a2 , 所以a1 , a2 , a3 成等差数列, 记公差为 d , 则a2 ? a1 ? d .

(21) (本小题满分 13 分) 本题考查离 散型随机变量及其分布列,考查在复杂场合下进行计数的能力,通过设置 密切贴近生产、生活实际的问题情境,考查概率思想在现实生活中的应用,考查抽象概 括能力、应用与创新意识. 解: (I) X 的可能值集合为{0,2,4,6,8}.

在 1,2,3,4 中奇数与偶数各有两个,所以 a2 , a4 中的奇数个数等于 a1 , a3 中的偶数个 数,因此 |1 ? a1 | ? | 3 ? a3 | 与 | 2 ? a2 | ? | 4 ? a4 | 的奇偶性相同, 从而 X ? (|1 ? a1 | ? | 3 ? a3 |) ? (| 2 ? a2 | ? | 4 ? a4 |) 必为偶数.

X 的值非负,且易知其值不大于 8. 容易举出使得 X 的值等于 0,2,4,6,8 各值的排列的例子.
(Ⅱ)可用列表或树状图列出 1,2,3,4 的一共 24 种排列,计算每种排列下的 X 值, 在等可能的假定下,得到

X P

0

2

4

6

8

1 3 7 9 24 24 24 24

4 24 4 1 ? ,将三轮测试都有 X ? 2 24 6

(Ⅲ) (i)首先 P( X ? 2) ? P( X ? 0) ? P ( X ? 2) ? 的概率记做 p,由上述结果和独立性假设,得

p?

1 1 ? . 3 216 6 1 5 ? 是一个很小的概率,这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测 216 1000

(ii)由于 p ?

试都有 X ? 2 的结果的可能性很小,所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功 能,不是靠随机猜测.


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