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河北省衡水中学2014届高三上学期一调考试 数学理试题

2013—2014 学年度第一学期第一次调研考试 高三年级数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。 一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答

案的序号填涂在答题卡上) 1. 已知集合 M={x|(x-1) < 4,x∈N} ,P={-1,0,1,2,3} ,则 M∩P=( A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3}
2
2



D.{0,1,2,3} )

2. 实数 x,条件 P: x <x,条件 q: A.充分不必要条件

1 ? 1 ,则 p 是 q 的( x

B.必要不充分条件 C.充要条件 )

D.既不充分也不必要条件

3.方程 ln x ? x ? 4 ? 0 的解 x0 属于区间 ( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)

D.(3,4)

?? log x ( x ? 0) 2 ? 4.已知函数 f ( x) ? ? ,则不等式 f (x ) ? 0 的解集为( ) ?1 ? x 2 ( x ? 0) ?
A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | ?1 ? x ? 0} C. {x | ?1 ? x ? 1} D. {x | x ? ?1} )

2 5.设函数 f ?( x) ? x ? 3x ? 4, 则 y ? f ( x ? 1) 的单调减区间(

3 1 , ??) D. (? ,?? ) 2 2 2 2 a ? b a ? b 6.下列命题: (1)若“ ,则 ”的逆命题; (2) “全等三角形面积相等”的否命题;

(-4,1) A.

B. (?3,2)

C. (?

2 (3) “若 a ? 1 ,则 ax ? 2ax ? a ? 3 ? 0 的解集为 R”的逆否命题;

(4) “若 3x( x ? 0) 为有理数,则 x 为无理数” 。 其中正确的命题是 A.(3) (4) B.(1) (3) C.(1) (2) D.(2) (4)





7. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且在 (??,0] 上是增函数, 设 a ? f (log 4 7), b ? f (log 1 3), c ? f (2
2 2

) ,则 a, b, c的大小关系是( ,d
D. a ? b ? c



A. c ? a ? b

B. c ? b ? a

C. b ? c ? a

?a x , (x ? 1) ? 8.已知 f (x ) ? ? 是 R 上的单调递增函数, 则实数 a 的取值范围为 ( a (4 ? ) x ? 2, ( x ? 1) ? ? 2
A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8)

)

9.函数 f ( x) ? lg(10x ? 1) ? ax 是偶函数, g ( x) ? A.1 B. ? 1 C. ?

4x ? b 是奇函数,则 a ? b ? 2x
1 2





1 2

D.

x 10. 在同一个坐标系中画出函数 y ? a , y ? sin ax 的部分图象,其中 a ? 0 且 a ? 1 ,则下

列所给图象中可能正确的是(



b ? a. 用 [ x ] 表示不超过 x 的 11. 定义区间 (a, b) , [a, b) , (a, b] , [a, b] 的长度均为 d?

x? x ? [ x ] () x? []{ x ?x } ( )? x ? 1 最大整数,记 {} ,其中 x ? R .设 f , gx ,若用 d 表示不等 x )? gx ( )解集区间的长度, 式 f( 则当 0 ≤ x ≤ 3 时, 有
A. d ? 1 B. d ? 2 C. d ? 3 D. d ? 4 ( )

x 2 x3 x 4 x 2013 ? ? ? ?? ? 12. 已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? , 2 3 4 2013 g ( x) ? 1 ? x ? x 2 x3 x 4 x 2013 ? ? ? ?? ? ,设函数 F ( x) ? f ( x ? 3) ? g ( x ? 4) , 2 3 4 2013


且函数 F ( x) 的零点均在区间 [a, b](a ? b, a, b ? Z) 内,则 b ? a 的最小值为( A. 8 B. 9 C.

10

D. 11 共 90 分)

第Ⅱ卷(非选择题
二、

填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)

? f ( x) , 13. 已知函数 f ( x ) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2)
且当 x ? [0, 2) 时, f ( x) ? log2 ( x ? 1 ,则 f (?2012 ) ? f (2013 )= ) 14. 若 函 数 f ( x) ? x 3 ? 3x 对 任 意 的 m ? [?2,2], f (mx ? 2) ? f ( x) ? 0 恒 成 立 , 则

x?

.

15. 函数 f ? x ? 的定义域为 A , 若 x1 , x 2 ? A 且 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 时总有 x1 ? x 2 , 则称 f ? x ? 为单 函数. 例如,函数 f ? x ? ? x ? 1? x ? R ? 是单函数.下列命题: ①函数 f ? x ? ? x ? 2 x? x ? R ? 是单函数;
2

②函数 f ? x ? ? ?

?log 2 x, x ? 2, 是单函数; ?2 ? x , x ? 2

③若 f ? x ? 为单函数, x1 , x 2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ; ④函数 f ? x ? 在定义域内某个区间 D 上具有单调性,则 f ? x ? 一定是单函数. 其中的真命题是 16. 若函数 f ( x) ? 范围 是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 62 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在 答题纸的相应位置) 17. 记关于 x 的不等式 (1)若 a ? 3 ,求 P ; (2)若 P ? Q ? Q ,求正数 a 的取值. (写出所有真命题的编号).

1 3 a | x | ? x 2 ? (3 ? a) | x | ?b 有六个不同的单调区间,则实数 a 的取值 3 2

x?a ? 0 的解集为 P ,不等式 x ?1 ≤1 的解集为 Q . x ?1

18.已知幂函数

f ( x) ? x?m ?2m?3 (m ? z) 为偶函数,且在区间 (0, ??) 上是单调增函数

2

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设函数 g ( x) ?

1 9 f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? b( x ? R ) ,其中 a, b ? R .若函数 g ( x) 仅在 x ? 0 处 4 2

有极值,求 a 的取值范围.

19.已知向量 m ? (a ? c, b) , n ? (a ? c, b ? a) ,且 m ? n ? 0 ,其中 A、B、C 是 ? ABC 的内角,

a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边。
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的取值范围;

20. 已知函数 f

?x ? ? ln x ? ax ? a 2 x 2 ?a ? 0? .

(1)若 x ? 1 是函数 y ? f ?x ? 的极值点,求 a 的值; (2)求函数 y ? f ?x ? 的单调区间.

21. 已知函数 g ? x ? ?

x , f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? a ? 0 ? . ln x

(1)若函数 f ? x ? 在?1, ??? 上是减函数,求实数 a 的最小值;
2 (2)若 ?x1 , x2 ? ? ? e, e ? ? ,使 f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

22. 已知函数 f ( x) ? (ax ? x ? 1)e ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
2 x

(1)若 a ? 1 ,求曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间;

(3)若 a ? ?1 ,函数 f ( x) 的图象与函数 g ( x) ? 求实数 m 的取值范围.

1 3 1 2 x ? x ? m 的图象有 3 个不同的交点, 3 2

2013-2014 学年度第一学期一调考试高三数学答案 (理科) 一、选择题 二、填空题 三、解答题
17. 解: (1)由 AACCB 13.1 ABBDD AC 14. ( ?2, )

2 3

15. ③

16. (2,3)

x?3 ? 0 ,得 P ? ? x ?1 ? x ? 3? .???????????4 分 x ?1

( II ) Q ? x x ? 1 ≤1 ? x 0 ≤ x ≤ 2 .由 a ? 0 ,得 P ? x ?1 ? x ? a ,????8 分 又 P ? Q ? Q ,所以 Q ? P ,所以 a ? 2 ???????????10分
2

?

? ?

?

?

?

18. 解: (1)? f ( x) 在区间 (0, ??) 上是单调增函数,??m ? 2m ? 3 ? 0 即 m ? 2m ? 3 ? 0 ??1 ? m ? 3, 又 m ? z,? m ? 0,1, 2 ???????4 分
2

而 m ? 0, 2 时, f ( x) ? x 不是偶函数, m ? 1 时, f ( x) ? x 是偶函数,
3 4

? f ( x) ? x4 .

????????????????6 分
2

2 (2) g '( x) ? x( x ? 3ax ? 9), 显然 x ? 0 不是方程 x ? 3ax ? 9 ? 0 的根.
2 为使 g ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 x ? 3ax ? 9 ? 0 恒成立,???????8 分

即有 ? ? 9a ? 36 ? 0 ,解不等式,得 a ?? ?2, 2? .???????11 分
2

这时, g (0) ? ?b 是唯一极值. ? a ?? ?2, 2? .

?????12 分
2 2 2

19.解: (I)由 m ? n ? 0 得 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? a) ? 0 ? a ? b ? c ? ab

a2 ? b2 ? c2 ab 1 ? ? 由余弦定理 cosC ? 2ab 2ab 2
又 0 ? C ? ? ,则 C ? (II)由(I)得 C ?

?
3

???????????????6 分 ,则 A ? B ?

?

3

2? 3

sin A ? sin B ? sin A ? sin(

2? 3 3 ? ? A) ? sin A ? cos A ? 3 sin( A ? ) 3 2 2 6

?0 ? A ?

2? 3

?

?
6

? A?

?
6

?

5? 6

?

1 ? ? sin( A ? ) ? 1 2 6

?

3 ? ? 3 sin( A ? ) ? 3 2 6 3 2

即 sin A ? sin B 最大值 ( , 3]???????????????12 分

20. 解:函数定义域为 ?0,??? , f

'

? x ? ? ? 2a

2

x 2 ? ax ? 1 x

??????2 分

因为 x ? 1 是函数 y ? f ?x ? 的极值点,所以 f ' ?1? ? 1 ? a ? 2a 2 ? 0 解得 a ? ?

1 或a ?1 ???????4 分 2 1 经检验, a ? ? 或 a ? 1 时, x ? 1 是函数 y ? f ?x ? 的极值点, 2
???? 6 分

又因为 a>0 所以 a ? 1

21. 解:由已知函数 g ( x), f ( x) 的定义域均为 (0,1) ? (1,??) ,且 f ( x) ?

x ? ax (a ? 0) . ln x

(1)函数 g ?( x ) ?

ln x ? x ?

1 x ? ln x ? 1 , ???2 分 2 (ln x) (ln x) 2

1 ? a ? 0 在 (1, ??) 上恒成立. 因 f(x)在 (1, ??) 上为减函数,故 f ?( x) ? ln x ?2 (ln x) 所以当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) max ? 0 .
1?a ?? 1 又 f ?( x) ? ln x ?2 ? 1 ?a ?? 1 ? 1 ? 1 ?a, ln x ln x ln x 2 4 (ln x) 故当 1 ? 1 ,即 x ? e2 时, f ?( x)max ? 1 ? a . 4 ln x 2 1 1 所以 ? a ? 0, 于是 a ≥ ,故 a 的最小值为 1 . ????????????6 分 4 4 4 (2)命题“若 ?x1 , x2 ? [e,e 2 ], 使 f ( x1 ) ? f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于

? ?

2

?

?

2

“当 x ? [e, e 2 ] 时,有 f ( x)min ? f ? ? x ?max ? a ”. 由(Ⅱ) ,当 x ? [e, e 2 ] 时, f ?( x)max ? 1 ? a ,? f ? ? x ?max ? a ? 1 . 4 4 2 问题等价于:“当 x ? [e, e ] 时,有 f ( x)min ? 1 ”. ????????????8 分 4 , f ( x) 在 [e,e 2 ] 上为减函数, 10 当 a ? 1 时,由(Ⅱ) 4 2 则 f ( x)min = f (e2 ) ? e ? ae2 ? 1 ,故 a ? 1 ? 1 2 . ????????? 10 分 2 4e 2 4 2 2 20 当 0 ? a ? 1 时,由于 f ?( x) ? ? 1 ? 1 ? 1 ? a 在 [e,e ] 上为增函数, 4 ln x 2 4 故 f ?( x) 的值域为 [ f ?(e), f ?(e 2 )] ,即 [?a, 1 ? a] . 4 由 f ?( x) 的单调性和值域知, ? 唯一 x0 ? (e,e 2 ) ,使 f ?( x0 ) ? 0 ,且满足:

?

?

当 x ? (e, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数; 当 x ? ( x0 ,e2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数; x 所以, f ( x)min = f ( x0 ) ? 0 ? ax0 ? 1 , x0 ? (e,e2 ) . ln x0 4 所以, a ? 1 ? 1 ? 1 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,与 0 ? a ? 1 矛盾,不合题意.??? 11 分 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 综上,得 a ? 1 ? 1 2 . ??? 12 分 2 4e 22. 解: (1)因为 f ( x) ? ( x ? x ?1)e ,
2 x

所以 f ?( x) ? (2 x ? 1)e ? ( x ? x ? 1)e ? ( x ? 3x)e ,
x 2 x 2 x

所以曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 k ? f ?(1) ? 4e . 又因为 f (1) ? e , 所以所求切线方程为 y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 4ex ? y ? 3e ? 0 . (2) f ?( x) ? (2ax ? 1)e x ? (ax2 ? x ?1)e x ? [ax2 ? (2a ? 1) x]e x , ??????2 分

1 2a ? 1 ? a ? 0 ,当 x ? 0 或 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ; 2 a 2a ? 1 当 0? x? ? 时 , f ?( x) ? 0 . 所 以 f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 为 (??,0] , a 2a ? 1 [? ,?? ) ; a 2a ? 1 ]. 单调递增区间为 [0,? ???????4 分 a 1 1 2 x ②若 a ? ? , f ?( x) ? ? x e ? 0 ,所以 f ( x) 的单调递减区间为 (??,??) . 2 2
①若 ? ???????5 分

2a ? 1 1 ,当 x ? ? 或 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; 2 a 2a ? 1 2a ? 1 ], ? x ? 0 时 , f ?( x) ? 0 . 所 以 f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 为 (?? ,? 当? a a
③若 a ? ?

[0,??) ;
单调递增区间为 [?

2a ? 1 ,0] . a

???????7 分

(3)由(2)知, f ( x) ? (? x2 ? x ? 1)ex 在 (??,?1] 上单调递减,在 [?1,0] 单调递增, 在 [0,??) 上单调递减, 所以 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极小值 f ( ?1) ? ? 8分 由 g ( x) ?

3 , 在 x ? 0 处取得极大值 f (0) ? ?1 .?? e

1 3 1 2 x ? x ? m ,得 g ?( x) ? x 2 ? x . 3 2

当 x ? ?1 或 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ;当 ? 1 ? x ? 0 时, g ?( x) ? 0 . 所以 g ( x) 在 (??,?1] 上单调递增,在 [?1,0] 单调递减,在 [0,??) 上单调递增. 故 g ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值 g ( ?1) ? 分 因为函数 f ( x) 与函数 g ( x) 的图象有 3 个不同的交点,

1 ? m ,在 x ? 0 处取得极小值 g (0) ? m .?10 6

? 3 1 ? f (?1) ? g (?1) 3 1 ?? ? ? m 所以 ? ,即 ? e 6 . 所以 ? ? ? m ? ?1 . e 6 ? f (0) ? g (0) ? ?? 1 ? m

????12 分


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