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2012高考总复习《走向清华北大》精品课件9指数与指数函数_图文

第九讲指数与指数函数

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1.整数指数幂 (1)整数指数幂概念 : ①a n ?
(n∈N*);

②a ? 1(a ? 0); ③a
0

?n

1 ? n ? a ? 0, n ? N* ? . a

? 2 ? 整数指数幂的运算性质 : m n m?n ①a a ? a ? m, n ? Z ? ;
② ?a
m n

?

=a mn ? m, n ? Z ? ;

am m?n ③ n ? a ? m, n ? Z, a ? 0 ? ; a ④ ? ab ? ? a b ? n ? Z ? .
n n n

2.分数指数幂一般地, 如果x n ? a, 那么x叫做a的n次方根, 其中n ? 1, 且n ? N* .当n是奇数时, n a n ? a, 当n是偶数时,
n

?a, a≥0, a ? a ?? ?? a, a ? 0,
n 1 n m n

a ? n a (a ? 0); a ? ( n a )m ? n a m (a ? 0, m, n ? N* , 且n ? 1); a
? m n

?

1

* ( a ? 0, m, n ? N , 且n ? 1). m

an

3.有理指数幂的运算性质 设a>0,b>0,则 aras=ar+s(r,s∈Q);

(ar)s=ars(r,s∈Q);
(ab)r=arbr(r∈Q). 4.指数函数的定义 形如y=ax(a>0且a≠1,x∈R)的函数叫做指数函数.

5.指数函数的图象与性质

y=ax 图象

a>1

0<a<1

定义域 (-∞,+∞)
值域 (0,+∞)

性质 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是 增函数

过定点(0,1) 当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 在(-∞,+∞)上是 减函数[ZB)]

考点陪练

e x ? e? x e x ? e? x 1.若f ? x ? ? , g ( x) ? , 2 2 则f ? 2x ? 等于( ) A.2f ? x ? C.2 ? ?f ? x ? ? g ? x ? ? ? B.2g ? x ? D.2f ? x ? g ? x ?

e ?e (e ? e )(e ? e ) 解析 : f ? 2x ? ? ? 2 2 x ?x x ?x (e ? e )(e ? e ) ?2 4 ? 2f ? x ? g ? x ? .
2x x x

?2 x

?x

?x

答案:D

2.设y1 ? 4 , y 2 ? 8
0.9

0.48

?1? , y3 ? ? ? ?2?

?1.5

, 则(

)

A.y3 ? y1 ? y 2 B.y 2 ? y1 ? y3 C.y1 ? y 2 ? y3 D.y1 ? y3 ? y 2

?1? 解析 : y1 ? 4 ? 2 , y 2 ? 8 ? 2 , y3 ? ? ? ? 21.5. ?2? 由于指数函数f ? x ? ? 2x 在R上是增函数, 且1.8 ? 1.5 ? 1.44,
0.9 1.8 0.48 1.44

?1.5

所以y1 ? y3 ? y 2 , 选D.
答案:D

2x 3.函数y ? x ? x ? 0 ?的值域为( 2 ?1 1? ? . A. ? ?? ? 2? ? B.(1, ??) ?1 ? C. ? ,1? ?2 ? 1? ? D. ? ??, ? (1, ??) 2? ?

)

x 2 解析 : 因为x ? 0, 所以2x ? 1.由于y ? x 2 ?1 y 1 ? 2x ? ? 1 ? ? y ? 1. 1? y 2

答案:C

?1? 4.设f ? x ? ? ? ? , x ? R, 那么f ? x ? 是( ?2? A.奇函数且在 ? 0, ?? ? 上是增函数 B.偶函数且在 ? 0, ?? ? 上是增函数 C.奇函数且在 ? 0, ?? ? 上是减函数 D.偶函数且在 ? 0, ?? ? 上是减函数

| x|

)

x ? | x| ?1? ?? ? , ?1? 解析 : f ? x ? ? ? ? ? ?? 2 ? ?2? ? 2 x, ?

x≥0, x ? 0,

其图象如图由图象可知 . , f ? x ? 是偶函数且 在 ? 0, ?? ? 上单调递减.
答案:D

5.(2010·山东青岛二模)若y=e|x|(x∈[a,b])的值域为[1,e2],则 点(a,b)的轨迹是图中的( )

A.线段BC和OC C.线段AB和OA

B.线段AB和BC D.线段OA和OC

解析:据题意当a=-2,0≤b≤2时,函数的值域符合条件,其轨迹为 图中线段AB,当-2≤a≤0,b=2时,函数值域符合条件,此时其 轨迹为图中线段BC,故选B. 答案:B

类型一

指数幂的化简与求值

解题准备:解决此类问题的关键是利用幂指式的运算性质,将 根式与指数幂互化.一般地,进行指数幂的运算时,化负指数 为正指数,化根式为分数指数幂,便于利用幂的运算性质,化 繁为简. 对于计算结果,如果题目以根式形式给出,则结果用根式的形 式表示,如果题目以分数指数幂形式给出,则结果用分数指 数幂的形式表示. ①有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于0,否则不能用性

质来运算.②结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既
有分母又含有负指数.

【典例1】化简下列各式 : (1)(0.027)
1 ? 3

?1? ? 7? ? ? ? ? ? 2 ? ? ( 2 ? 1) 0 ; ?7? ? 9?

?2

1 2

2 1 1 ? ?5 1 ? (2) ? a 3 b ?2 ? (?3a 2 b ?1 ) ? (4a 3 b ?3 ) 2 ? ab ; ?6 ?

? ? 3 b 3 (3) 2 ?? 1 ? 2 ? a. ? 2 ? ? a? 3 ? 3 3 4b ? 2 ab ? a a ? 8a b

4 3

1 3

? 27 ? ? 25 ? [解] ?1? 原式 ? ? ? ? 72 ? ? ? ? 1 ? 1000 ? ? 9 ? 10 5 ? ? 49 ? ? 1 ? ?45. 3 3 1 1 ? 5 ?1 ? 1 3 ? 2 ? 原式 ? ? ? a 6 b?3 ? ? (2a b ? ) ? a 2 b 2 3 2 ? 2 ?
3 1 1 ? 5 ?1 ? ? a 2b 2 ? a 2b 2 4 5 ?1 5 ?? b ?? . 4 4b

?

1 3

1 2

? 3? 原式 ?
1 3

a (a ? 8b) 4b ? 2a b ? a
2 3 1 3 1 3 2 3

1 3

?

a ? 2b a
1 3

1 3

1 3

1 ?a 3

1 2 1 1 2 ? 1 ? ? ? 3 3 3 3 3 3 a ? a ? 2b ? ? a ? 2a b ? 4b ? ?? ? ? ? 2 1 1 2 4b 3 ? 2a 3 b 3 ? a 3

?

a
1 3

1 3 1 3

? a ? a a a ? a.

1 3

1 3

1 3

1 3

a ? 2b

类型二

指数函数的图象

解题准备:指数函数图象的特点

(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大 小的关系如图所示,则0<c<d<1<a<b.

在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;
在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小; 即无论在y轴的左侧还是右侧,底数随逆时针方向变大.

?1? ? 2 ? 指数函数y ? a 与y ? ? ? (a ? 0且a ? 1) ?a? 的图象关于y轴对称.
x

x

?1? 【典例 . 2】已知函数y ? ? ? ?2? ?1? 作出图象;

| x ? 2|

,

? 2 ? 指出该函数的单调递增区间; ? 3? 求值域.

[分析]本题要考虑去绝对值符号,把函数解析式写成分段函数 的形式,再作出图象,然后根据图象寻求其单调递增区间和 值域.

?1? [解] ?1?由函数解析式可得y ? ? ? ?2? 其图象分成两部分 : ?1? 一部分是y ? ? ? ?2?
x?2

| x ? 2|

?? 1 ? x ? 2 ?? ? , ? ?? 2 ? ? x?2 ?2 ,

x≥ ? 2, x ? ?2.

? x≥ ? 2 ?的图象,由下列变换可得到 :
x?2

?1? ?1? 向左平移 2个单位 y ? ? ? x ?????? ?y?? ? ?2? ?2? 另一部分y ? 2 x ? 2 ? x ? ?2 ?的图象. 由下列变换可得到 :
向左平移 2个单位 y ? 2 x ?????? ? y ? 2x ? 2 .

;

?1? 如图为函数y ? ? ? ?2?

| x ? 2|

的图象.

? 2 ?由图象观察知函数在 ? ??, ?2 ? 上是增函数.
?1? ? 3?由图象观察知, x ? ?2时,函数y ? ? ? ?2? 有最大值, 最大值为1, 没有最小值, 故其值域为? 0,1?.
| x ? 2|

[反思感悟] ?1? 本例也可以不考虑去掉绝对值符号, 而是直接用图象变换 (平移?伸缩?对称)作出, 作法如下 : ?1? 保留x ? 0部分 , 将它沿y轴翻折得x ? 0的部分 y ? ? ? ???????????? ?2? ?1? ?1? 向左平移 2个单位 y ? ? ? ?????? ?y?? ? ?2? ?2?
| x| | x ? 2| x

.

保留y轴右边图象 ,并作出关于y轴对称图象 ???????? ? y ? f ?| x | ? ; ? 2 ? y ? f ? x ? ???? 去掉y轴左边图象 保留x轴上方图象 将 轴下方图象翻折上去 y ? f ? x ? ???????????? ? y ? f ?x? .

类型三

指数函数的性质

解题准备:(1)复合函数问题,应细致分析由哪些基本函数复合 而成,讨论此类函数的单调性应分层逐一求解; (2)换元法,通过换元将复杂的问题简单化,求解过程应注意中

间变量的取值范围及转化的等价性.

?1? 2 【典例3】 1 求函数 y ? ? x ? 3x ? 4 ?? ? ? ?2? 的定义域?值域并求其单调区间;

? 2 ? 求函数f ? x ? ? 4x ? 2x ?1 ? 5的定义域?值域及单调区间.

[分析]求定义域与值域时可根据指数函数的概念和性质,结合 函数自身有意义去求,对复合函数的单调区间通常利用复 合函数的单调性,“同则增,异则减”的原则.

[解] ?1? 要使函数有意义, 则只需 ? x 2 ? 3x ? 4≥0, 即x 2 ? 3x ? 4≤0, 解得 ? 4≤x≤1, ?函数的定义域为?x | ?4≤x≤1? .令t ? ? x 2 ? 3x ? 4, 3 ? 25 ? 则t ? ? x ? 3x ? 4 ? ? ? x ? ? ? , 2? 4 ? 25 3 ?当 ? 4 ? x ? 1时, t max ? , 此时x ? ? , 4 2 25 t min ? 0, 此时x ? ?4或x ? 1,? 0≤t≤ , 4 5 2 ? 0≤ ? x ? 3 x ? 4≤ . 2
2 2

? 2 ? ?1? 2 ?函数y ? ? ? ? x ? 3 x ? 4的值域为 ? ,1? . ?2? ? 8 ? 3? 25 ? 2 由t ? ? x ? 3x ? 4 ? ? ? x ? ? 2 ? (?4≤x≤1)可知, 2? 4 ? 3 3 当 ? 4≤x≤ ? 时, t是增函数, 当 ? ≤x≤1时, t是减函数. 2 2 根据复合函数的单调性知 : 3? ?1? ? 2 y ? ? ? ? x ? 3x ? 4在 ? ?4, ? ? 上是减函数, 2? ?2? ? ? 3 ? 在 ? ? ,1? 上是增函数. ? 2 ?

(2)由函数解析式可知定义域为R, ∵f(x)=4x-2x+1-5=(2x)2-2·2x-5, 令t=2x,则t>0,f(t)=t2-2t-5,

故f(t)=(t-1)2-6.
又∵t>0,∴当t=1时,ymin=-6, 故函数f(x)的值域是[-6,+∞). 由于t=2x是增函数, ∴要求f(x)的增区间实际上是求f(t)的增区间,求f(x)的减区间 实际上是求f(t)的减区间.

∵f(t)在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增. 故由t=2x≥1得x≥0; 由t=2x≤1得x≤0,

∴f(x)的增区间是[0,+∞),减区间是(-∞,0].

?1? [反思感悟]求y ? ? ? ?2?

? x 2 ?3 x ? 4

的单调区间时易忽视定义域.事实上,函数的单调性 区间是其定义域的子集. 涉及复合函数单调性问题,首先应弄清函数是由哪 些基本函数复合得到的,求出复合函数的定义域,然 后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数 的单调区间.利用定义证明时可分层比较,对于内外 层函数,注意“同增异减”.

类型四

指数函数的综合问题

解题准备:指数函数是一类重要函数,与其他知识综合是高考 考查的热点.解决这类问题的关键是熟练掌握指数函数的 图象和性质,并注意分类讨论和等价转化的数学思想和方

法.

a 【典例4】已知f ? x ? ? 2 ? a x ? a ? x ? (a ? 0, 且a ? 1). a ?1 ?1? 判断f ? x ?的奇偶性;

? 2 ? 讨论f ? x ?的单调性; ? 3?当x ? ? ?1,1?时, f ? x ? ? b恒成立.求b的取值范围.

[分析]先研究函数定义域,再依照奇偶函数的定义判断奇偶性 ;对于单调性,可结合指数函数的单调性进行分析;对于恒成 立问题,则可借助单调性,求出f(x)的最值,再求解b的范围.

[解] ?1?函数定义域为R, 关于原点对称. a 又因为f ? ?x ? ? 2 ? a ? x ? a x ? ? ?f ? x ? , a ?1 所以f ? x ? 为奇函数.

(2)当a>1时,a2-1>0, y=ax为增函数,y=a-x为减函数, 从而y=ax-a-x为增函数,

所以f(x)为增函数.
当0<a<1时,a2-1<0, y=ax为减函数,y=a-x为增函数, 从而y=ax-a-x为减函数. 所以f(x)为增函数. 故当a>0,且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增.

? 3?由? 2 ? 知f ? x ? 在R上是增函数, ? 在区间? ?1,1? 上为增函数. 所以f ? ?1? ≤f ? x ? ≤f ?1? ,
a ? f ? x ?min ? f ? ?1? ? 2 ? a ?1 ? a ? a ?1 a 1 ? a2 ? 2 ? ?1, a ?1 a ? 要使f ? x ? ? b在 ? ?1,1? 上恒成立, 则只需b≤ ? 1, 故b的取值范围是 ? ??, ?1? .

[反思感悟]判断函数的奇偶性时必须先研究函数的定义域,而 研究函数的单调性时,可以在已知的常见函数的单调性的 基础上进行讨论,对于恒成立问题,一般都会与函数的最值 有关,通过分离参数,求出函数的最值,从而可得到参数的取 值范围.

错源一

忽视换元后新元的取值范围

?1? ?1? 【典例1】求函数y ? ? ? ? ? ? 的值域. ? 9 ? ? 3?

x

x ?1

?1? ?1? [错解]y ? ? ? ? ? ? ?9? ?3?
x

x

x ?1

?? 1 ? ? ?? ? ? ?? 3 ?

x

? ? 1 ? x ?1 ? ?? ? , ? ? ? 3?
2

2

?1? ? 1? 3 3 2 令t ? ? ? , 则 y ? t ? t ? 1 ? ? t ? ? ? ≥ ?3? ? 2? 4 4 ?3 ? , 所以函数的值域为 ? , ?? ? . ?4 ?

[剖析]上述解法错误的原因在于忽视了换元后新元t的范围. 事实上,新元t∈(0,+∞).

?? 1 ? ?1? ?1? [正解]函数y ? ? ? ? ? ? 1 ? ?? ? ?9? ?3? ? ?? 3 ?
x x? 2

x

? ? 1 ? x ?1 ? ?? ? , ? ? ?3?

2

?1? ? 1? 3 令t ? ? ? x, 则y ? t 2 ? t ? 1 ? ? t ? ? ? , ?3? ? 2? 4 ?1? 由t ? ? ? , 知t ? 0, ?3? ? 1? 3 因为函数y ? ? t ? ? ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数, 所以y ? 1, ? 2? 4 所以函数的值域为 ?1, ?? ? .
2 x

[评析]换元法不管在什么情况下使用,都必须要注意确定新元 的范围,因为它是换元后的新函数的定义域.

错源二

忽视对参数的分类讨论造成漏解

【典例2】如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上 的最大值是14,试求a的值.

错解]设a x ? t, 则y ? t 2 ? 2t ? 1 ? ? t ? 1? ? 2.由于x ? ? ?1,1? ,
2

?1 ? 所以t ? [ ? , a ? . ?a ? 因此当t ? a时y取最大值, 有 ? a ? 1? ? 2 ? 14,
2

解得a ? 3或a ? ?5(舍去), 即a ? 3.

[剖析]本题的错解在于忽视了对参数a的讨论,误认为a>1.当 指数函数和对数函数的底数含有参数时,要先对参数进行 讨论,确定单调性,进而解决问题.

[正解]设t=ax, 则y=t2+2t-1=(t+1)2-2. 当a>1时,t∈[a-1,a],ymax=a2+2a-1=14, 解得a=3或a=-5(舍); 当0<a<1时,t∈[a,a-1], ymax=(a-1)2+2a-1-1=14, 1 ? 解得a=?或a= (舍). 5 故所求a的值为3或? .

技法一

快速解题(构造函数)

【典例1】已知x,y是实数,且3x+5y>3-y+5-x,则下列式子成立 的是( A.x+y>0 ) B.x+y<0

C.x-y<0

D.x-y>0

[解析]由3x ? 5 y ? 3? y ? 5? x , 得3x ? 5? x ? 3? y ? 5 y , ?1? ?1? ? 3x ? ? ? x ? 3 ? y ? ? ? ? y. ?5? ?5? ?1? 设f ? x ? ? 3x ? ? ? x. ?5? ?1? y ? 3 在(??, ??)上是增函数, y ? ? ? x ?5? 在 ? ??, ?? ? 上是减函数,
x

?1? ? y ? 3 ? ? ? x在 ? ??, ?? ? 上是增函数. ?5? 由已知条件, 得f ? x ? ? f ? ? y ? ,? x ? ? y,? x ? y ? 0,
x

故答案选A.

[答案]A

技法二

四种策略比较指数大小

一?若底数相同,则可用单调性比较 【典例2】若0<a<1,则a,aa,aaa大小顺序是________. [解析]因为f(x)=ax(0<a<1)在x∈R上是减函数,又0<a<1,所以 a0>aa>a1,

所以aa0<aaa<aa1,即a<aaa<aa.
[答案]a<aaa<aa

二?若指数相同,则可用图象比较

【典例3】比较0.7a与0.8a的大小.

[解]设函数y=0.7x与y=0.8x,则两个函数的图象关系如图. 当x=a≥0时,0.8a≥0.7a;

当x=a<0时,0.8a<0.7a.
[方法与技巧]对于不同底而同指数的指数值的大小的比较,利 用图象法求解快捷而准确.

三?若底数与指数均不同,则可用中间值1 【典例4】比较30.4与0.43的大小. [解]因为y=3x是增函数,所以30.4>30=1,又y=0.4x是减函数,所 以0.43<0.40=1,故30.4>0.43.

四?作商法比较 【典例5】比较aabb与abba(a>b>0)的大小.

a b ?a? ?b? ?a? ?a? [解] ?? ? ? ? ?? ? ? ? b a ab ?b? ?a? ?b? ?b? a a ? b ? 0,? ? 1, a ? b ? 0. b ?a? ? ? ? ? 1, ?b? a a bb 即 b a ? 1,? a a b b ? a b b a . ab
a ?b

a b

a

b

a

?b

?a? ?? ? ?b?

a ?b

,

[方法与技巧]当底数与指数都不同,中间量又不好找,可采用 作商比较法,即对两值作商,看其值大于1还是小于1.从而确 定所比值的大小,一般情况下,这两个值最好是正数.


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