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2--空间两点间的距离公式_图文

4.3.2 空间两点间的距离公式

2006年3月俄罗斯空军特
技飞行表演队在我国著名风

景区张家界市天门山进行特
技表演. 为了保证安全飞行,飞 行员及地面指挥员们如何准 确确定飞机之间的距离?

如何计算空间两点之间的距离?

1. 在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么?

| P1P2 |? ( x 1 - x 2 ) 2 ? (y 1 - y 2 ) 2
那么,如何求空间中两点间的距离呢?

在空间直角坐标系中,若 已知两个点的坐标,则这两点 之间的距离是惟一确定的,我 们希望有一个求两点间距离的

y
y2

P2(x2, y2)

y1
O

计算公式,对此,我们从理论
上进行探究.

P1(x1,y1) Q(x2,y1)

x1

x2

x

长a,宽b,高c的长方体的对角线,怎么求?

d

c
b

a

d ? a 2 ? b2 ? c 2

1.空间点到原点的距离

z
P( x, y, z)

|BP|=|z|
2 2 |OB|= x + y y

o

C
B

|OP|= x2 + y2 + z2

x A

探究: 如果 OP 是定长r,那么 x2 ? y2 ? z 2 ? r 2 表示什么图形?
在空间中,到定点的距离 等于定长的点的轨迹是 以原点为球心, 半径长为 r 的球面.
x O y

z

P

2.如果是空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2 (x2,y2,z2)之间的距离公式会是怎样呢? 如图,设P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2) 是空间中任意两点,且点P1(x1,y1,z1)、 P2(x2,y2,z2) 在xOy平面上的射影分别为M,N, 那么M,N的坐标为M(x1,y1, 0), N(x2,y2,0).
x z

P2 P1

O
M1 N1 M M2

H N2 y N

2 2 MN = (x x ) +(y y ) . 在xOy平面上, 2 1 2 1

过点P1作P2N的垂线,垂足为H,
则 MP1 = z1 ,NP2 = z2 , 所以 HP2 = z2 - z1 .
在RtΔP1HP中, 2
P1H = MN = (x2 - x1 ) +(y2 - y1 ) ,
2 2

z

P2 P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N

根据勾股定理
P1P2 = P1H + HP2 = (x2 - x1 )2 +(y2 - y1 )2 +(z2 - z1 )2 ,
2 2

因此,空间中任意两点P1(x1,y1,z1)、 P2(x2,y2,z2) 之间的距离

P1P2 = (x2 - x1 )2 +(y2 - y1 )2 +(z2 - z1 )2 .

二、空间中点坐标公式

在空间直角坐标系中,点P(x1,y1,z1)和点
Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):

x1 ? x2 ? , ?x ? 2 ? y1 ? y2 ? , ?y? 2 ? z1 ? z 2 ? . ?z? 2 ?

例1 求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点 为顶点的三角形是一个等腰三角形. 证明: M 1 M 2
2

2 2 2 (7 ? 4) ? (1 ? 3) ? (2 ? 1) ? 14, =

M 2 M 3 = (5 ? 7)2 ? (2 ?1)2 ? (3 ? 2)2 ? 6,

2

M 3 M 1 = (4 ? 5)2 ? (3 ? 2)2 ? (1 ? 3)2 ? 6,
2

所以 M2 M3 = M3 M1 ,
原结论成立.

【变式练习】

1.求下列两点的距离
(1)A(2,3,5),B(3, 1,4); (2)A(6,0, 1),B(3,5,7).

答案: (1) 6

(2) 70

例2. 在z轴上求与两点A(?4, 1, 7)和B(3, 5, ?2)
等距离的点. 解:设所求的点为M(0, 0, z),依题意有
MA ? MB
2 2

即 (0 ? 4)2 ? (0 ?1)2 ? ( z ? 7)2 ? (3 ? 0)2 ? (5 ? 0)2 ? (?2 ? z)2
14 解之得 z ? 9
14 (0, 0, ). 9

所以所求点的坐标是

【变式练习】 在z轴上求一点M,使点M 到A(1,0,2)与点B(1, -3,1)的距离相等. 答案:(0, 0, ? 3)

一、两点间距离公式

平面: |P1P2 |= (x1 - x 2 )2 +(y1 - y 2 )2,
类比
2

猜想
2 2

空间: |P1P2 |= (x1 - x 2 ) +(y1 - y 2 ) +(z1 - z2 ) .

二、空间中点坐标公式 在空间直角坐标系中,点P(x1,y1,z1)和点 Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):
x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? y1 ? y2 ? ?y? 2 ? z1 ? z2 ? ?z? 2 ?

不要害怕批评。当你提出新的观念时, 就要准备接受别人的批评。


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