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【步步高】2014-2015学年高中数学 第三章 3.3.2函数的极值与导数检测试题 新人教A版选修1-1

3.3.2

函数的极值与导数

课时目标 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 .2.会用导数求函数的 极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).

1.若函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小, f′(a)=0, 而且在点 x=a 附近的左侧__________, 右侧__________. 类似地, 函数 y=f(x) 在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点 x =b 附近的左侧__________,右侧__________. 我们把点 a 叫做函数 y=f(x)的____________,f(a)叫做函数 y=f(x)的__________; 点 b 叫做函数 y=f(x)的________________,f(b)叫做函数 y=f(x)的__________.极小值 点、极大值点统称为 __________ ,极大值和极小值统称为 ________ .极值反映了函数在 ____________________的大小情况,刻画的是函数的________性质. 2. 函数的极值点是______________的点, 导数为零的点__________(填“一定”或“不 一定”)是函数的极值点. 3.一般地,求可导函数 f(x)的极值的方法是: 解方程 f′(x)=0.当 f′(x0)=0 时: (1)如果在 x0 附近的左侧__________,右侧__________,那么 f(x0)是__________; (2)如果在 x0 附近的左侧__________,右侧__________,那么 f(x0)是__________; (3)如果 f′(x)在点 x0 的左右两侧符号不变,则 f(x0)____________.

一、选择题 1. 函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f′(x)的图象如图,则函数 f(x)(

)

A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 2.已知函数 f(x),x∈R,且在 x=1 处,f(x)存在极小值,则( ) A.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0 B.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0 C.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0 D.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0 1 3.函数 f(x)=x+ 在 x>0 时有( )

x

A.极小值 B.极大值 C.既有极大值又有极小值 D.极值不存在 4.函数 f(x)的定义域为(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )

1

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3 5.函数 f(x)=x -3bx+3b 在(0,1)内有且只有一个极小值,则( ) 1 A.0<b<1 B.b<1 C.b>0 D.b< 2 3 2 6.已知 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为( ) A.-1<a<2 B.-3<a<2 C.a<-1 或 a>2 D.a<-3 或 a>6 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 x2+a 7.若函数 f(x)= 在 x=1 处取极值,则 a=______. x+1 3 8.函数 f(x)=ax +bx 在 x=1 处有极值-2,则 a、b 的值分别为________、________. 3 2 9.函数 f(x)=x -3a x+a(a>0)的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的取值范围是 ________. 三、解答题 10.求下列函数的极值. 3 -x (1)f(x)=x -12x;(2)f(x)=xe .

9 2 3 11.设函数 f(x)=x - x +6x-a. 2 (1)对于任意实数 x,f′(x)≥m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.

能力提升 2 12.已知函数 f(x)=(x-a) (x-b)(a,b∈R,a<b). (1)当 a=1,b=2 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)设 x1,x2 是 f(x)的两个极值点,x3 是 f(x)的一个零点,且 x3≠x1,x3≠x2. 证明:存在实数 x4,使得 x1,x2,x3,x4 按某种顺序排列后构成等差数列,并求 x4.

1.求函数的极值问题要考虑极值取到的条件,极值点两侧的导数值异号. 2.极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用,以及与单调性问题的综合,利
2

用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题.

3.3.2

函数的极值与导数 答案

知识梳理 1.f′(x)<0 f′(x)>0 f′(x)>0 f′(x)<0 极小值点 极小值 极大值点 极大 值 极值点 极值 某一点附近 局部 2.导数为零 不一定 3. (1)f′(x)>0 f′(x)<0 极大值 (2)f′(x)<0 f′(x)>0 极小值 (3)不是极值 作业设计 1.C 2.C [∵f(x)在 x=1 处存在极小值, ∴x<1 时,f′(x)<0,x>1 时,f′(x)>0.] 1 3.A [∵f′(x)=1- 2,由 f′(x)>0,

x

得 x>1 或 x<-1,又∵x>0,∴x>1. 由?
? ?f′?x?<0, ?x>0. ?

得 0<x<1,即在(0,1)内 f′(x)<0,

在(1,+∞)内 f′(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上有极小值.] 4.A [f(x)的极小值点左边有 f′(x)<0,极小值点右边有 f′(x)>0,因此由 f′(x) 的图象知只有 1 个极小值点.] ?f′?0?<0 ? 2 5 . A [f′(x) = 3x - 3b ,要使 f(x) 在 (0,1) 内有极小值,则 ? ,即 ?f′?1?>0 ?
? ?-3b<0 ? ?3-3b>0 ?



解得 0<b<1.] 2 6.D [∵f′(x)=3x +2ax+a+6, 2 ∴f′(x)的图象是开口向上的抛物线,只有当 Δ =4a -12(a+6)>0 时,图象与 x 轴的 左交点两侧 f′(x)的值分别大于零、小于零,右交点左右两侧 f′(x)的值分别小于零、大 于零.所以才会有极大值和极小值. 2 ∴4a -12(a+6)>0 得 a>6 或 a<-3.] 7.3 2 2 2x?x+1?-?x +a? x +2x-a 解析 f′(x)= = 2 2. ?x+1? ?x+1? 1+2-a ∵f′(1)=0,∴ =0,∴a=3. 4 8.1 -3 2 解析 因为 f′(x)=3ax +b, 所以 f′(1)=3a+b=0. ① 又 x=1 时有极值-2,所以 a+b=-2. ② 由①②解得 a=1,b=-3. ? 2 ? 9.? ,+∞? ?2 ? 2 2 解析 ∵f′(x)=3x -3a (a>0),∴f′(x)>0 时得:x>a 或 x<-a,f′(x)<0 时,得- a<x<a.

3

∴当 x=a 时,f(x)有极小值,x=-a 时,f(x)有极大值.

a -3a +a<0, ? ? 3 3 由题意得:?-a +3a +a>0. ? ?a>0

3

3

解得 a>

2 . 2

10.解 (1)函数 f(x)的定义域为 R. f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2). 令 f′(x)=0,得 x=-2 或 x=2.

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,-2) + ?

-2 0 极大值

(-2,2) - ?

2 0 极小值

(2,+∞) + ?
3

从表中可以看出,当 x=-2 时,函数 f(x)有极大值,且 f(-2)=(-2) -12×(-2) =16; 当 x=2 时,函数 f(x)有极小值, 3 且 f(2)=2 -12×2=-16. -x (2)f′(x)=(1-x)e .令 f′(x)=0,解得 x=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - ? ? f(x) 极大值 1 函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1),且 f(1)= . e 2 11.解 (1)f′(x)=3x -9x+6. 因为 x∈(-∞,+∞),f′(x)≥m, 2 即 3x -9x+(6-m)≥0 恒成立, 3 所以 Δ =81-12(6-m)≤0,解得 m≤- , 4 3 即 m 的最大值为- . 4 (2)因为当 x<1 时,f′(x)>0; 当 1<x<2 时,f′(x)<0; 当 x>2 时,f′(x)>0. 5 所以当 x=1 时,f(x)取极大值 f(1)= -a; 2 当 x=2 时,f(x)取极小值 f(2)=2-a, 故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时,f(x)=0 仅有一个实根. 5 解得 a<2 或 a> . 2 2 12.(1)解 当 a=1,b=2 时,f(x)=(x-1) (x-2), 因为 f′(x)=(x-1)(3x-5), 故 f′(2)=1,又 f(2)=0, 所以 f(x)在点(2,0)处的切线方程为 y=x-2. a+2b (2)证明 因为 f′(x)=3(x-a)(x- ), 3
4

由于 a<b,故 a<

a+2b
3



所以 f(x)的两个极值点为 x=a,x= 不妨设 x1=a,x2=

a+2b
3

.

, 3 因为 x3≠x1,x3≠x2,且 x3 是 f(x)的零点, 故 x3=b. a+2b a+2b 又因为 -a=2(b- ), 3 3 1 a+2b 2a+b x4= (a+ )= , 2 3 3 2a+b a+2b 此时 a, , ,b 依次成等差数列, 3 3 2a+b 所以存在实数 x4 满足题意,且 x4= . 3

a+2b

5


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