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【专题一、排列组合二项式定理概率统计】

【专题一、排列组合、二项式、概率统计】
一、有机 二、有机推断题的解题方法
1.解题思路:

三、知识要点归纳
2009 届高三数学二轮专题复习教案 排列组合二项式定理概率统计 一、本章知识结构: 排列概念 两 个 计 数 原 理 二 项 式 定 理 排列 排列数公式 应用 组合概念 组合 组合数公式 组合数性质 通项公式 应用 二项式系数性质

排列组合 二项式定理

二、重点知识回顾 1.排列与组合 ? 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理,两 者的区别在于分步计数原理和分步有关,分类计数原理与分类有 关. ? 排列与组合主要研究从一些不同元素中,任取部分或全部元素进行排列或组合,求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组 合问题要看是否与顺序有关,与顺序有关的属于排列问题,与顺序无关的属于组合问题. ? 排列与组合的主要公式
m An ?

①排列数公式:
n

n! ? n(n ? 1) ? ? ? (n ? m ? 1) (n ? m)! (m≤n) n! n(n ? 1) ? ? ? (n ? m ? 1) ? m!(n ? m)! m ? (m ? 1) ? ? ? ? ? 2 ? 1

A n =n! =n(n―1)(n―2) ·?·2·1.
m Cn ?

②组合数公式:

(m≤n).

③组合数性质:①
n ③ n 2.二项式定理 ? 二项式定理
0 r

m n C n ? C n ?m

(m≤n).



0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2 n

4 1 3 C 0 ? C 2 ? C n ? ?? ? C n ? C n ? ? ? ? ? 2 n?1

1

r

n

r

(a +b)n =C n an +C n an-1b+…+C n an-rbr +…+C n bn,其中各项系数就是组合数 C n ,展开式共有 n+1 项,第 r+1 项是 Tr+1 =C n an-rbr. ? 二项展开式的通项公式
r

二项展开式的第 r+1 项 Tr+1=C n an-rbr(r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。 ? 二项式系数的性质 ①在二项式展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,
r n?r

即 Cn = Cn

(r=0,1,2,?,n).

n n n ?1 n?3 ?1 2 ②若 n 是偶数,则中间项(第 2 项)的二项公式系数最大,其值为 C n ;若 n 是奇数,则中间两项(第 2 项和第 2 项)的 n ?1 2 Cn n ?1 2 Cn
2 n

二项式系数相等,并且最大,其值为
0 Cn

=

.
n

③所有二项式系数和等于 2n,即 +C +?+C n =2n. ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和,
0 2 1 3

1 +C n

即 C n +C n +?=C n +C n +?=2n―1. 3.概率 (1)事件与基本事件:

?随机事件 : 在条件S下,可能发生也可能不发生的事件 ? 事件 ? ?不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件 ?确定事件 ?必然事件:在条件S下,一定会发生的事件 ? ?
基本事件:试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件;一次试验等可能的产生一个基本事件;任意两个基本事件都是互 斥的;试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示. (2)频率与概率:随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值.频率往往在概率附近摆动,且随着试验次 数的不断增加而变化,摆动幅度会越来越小.随机事件的概率是一个常数,不随具体的实验次数的变化而变化. (3)互斥事件与对立事件: (4)古典概型与几何概型: 事件 定义 集合角度理解 关系 古典概型:具有“等可能发生 事件 A 与 B 不可能同时 事件 A 与 B 对立,则 A 的有限个基本事件”的概率模型. 互斥事件 两事件交集为空 发生 几何概型:每个事件发生的概 与 B 必为互斥事件; 率只与构成事件区域的长度(面积 A 与 B 不可能同时 事件 事件 A 与 B 互斥,但不 对立事件 两事件互补 或体积)成比例. 发生,且必有一个发生 一是对立事件 两种概型中每个基本事件出现 的可能性都是相等的,但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个,而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无 限个. (5)古典概型与几何概型的概率计算公式:

P( A) ?
古典概型的概率计算公式:

A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 . 构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验全部结果构成的区域长度(面积或体积) .

P( A) ?

几何概型的概率计算公式: 两种概型概率的求法都是“求比例”,但具体公式中的分子、分母不同. (6)概率基本性质与公式 ①事件 A 的概率 ②互斥事件

P( A) 的范围为: 0 ≤ P( A) ≤1 .

A 与 B 的概率加法公式: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . P( A) ? P( B) ? 1 . ③对立事件 A 与 B 的概率加法公式:
k

(7) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,则它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率是 pn(k) = C n pk(1―p)n―k. 实际上,它就是二项式[(1―p)+p]n 的展开式的第 k+1 项. (8)独立重复试验与二项分布

①.一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验.注意这里强调了三点:(1)相同条件;(2)多次重 复;(3)各次之间相互独立; ②.二项分布的概念:一般地,在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X,在每次试验中事件 A 发生的概率为 k k n?k (k 1 ? , p,那么在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p) , ? 0,2, ,n) .此时称随机变量 X 服从二项分布,记作 X ~ B(n,p) ,并称 p 为成功概率. 4、统计 (1)三种抽样方法 ①简单随机抽样 简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法.抽样中选取个体的方法有两种:放回和不放回.我们在抽样调查中用的是 不放回抽取. 简单随机抽样的特点:被抽取样本的总体个数有限.从总体中逐个进行抽取,使抽样便于在实践中操作.它是不放回抽取, 这使其具有广泛应用性.每一次抽样时,每个个体等可能的被抽到,保证了抽样方法的公平性. 实施抽样的方法:抽签法:方法简单,易于理解.随机数表法:要理解好随机数表,即表中每个位置上等可能出现 0,1, 2,?,9 这十个数字的数表.随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性,决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中 各个个体序号的等可能性. ②系统抽样 系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况. 系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系,即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时,采用的是简单随机抽 样. 系统抽样的操作步骤:第一步,利用随机的方式将总体中的个体编号;第二步,将总体的编号分段,要确定分段间隔 k ,当

N N N k? n (N为总体中的个体数,n 为样本容量)是整数时, n ;当 n 不是整数时,通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个 ? N k? n ;第三步,在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号 l ,再按事先确定的规则抽取样本.通常是 数N能被 n 整除,这时 将 l 加上间隔 k 得到第 2 个编号 (l ? k ) ,将 (l ? k ) 加上 k,得到第 3 个编号 (l ? 2k ) ,这样继续下去,直到获取整个样本.
③分层抽样 当总体由明显差别的几部分组成时,为了使抽样更好地反映总体情况,将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的 部分,每一部分叫层;在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样. 分层抽样的过程可分为四步:第一步,确定样本容量与总体个数的比;第二步,计算出各层需抽取的个体数;第三步,采用 简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体;第四步,将各层中抽取的个体合在一起,就是所要抽取的样本. (2)用样本估计总体 样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率,我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布,有时也利用茎叶 图来描述其分布,然后用样本的频率分布去估计总体分布,总体一定时,样本容量越大,这种估计也就越精确. ①用样本频率分布估计总体频率分布时,通常要对给定一组数据进行列表、作图处理.作频率分布表与频率分布直方图时要 注意方法步骤.画样本频率分布直方图的步骤:求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图. ②茎叶图刻画数据有两个优点:一是所有的信息都可以从图中得到;二是茎叶图便于记录和表示,但数据位数较多时不够方 便. ③平均数反映了样本数据的平均水平,而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程度,其计算公式为

1 n ? ( xi ? x)2 n i ?1 . 有时也用标准差的平方———方差来代替标准差,两者实质上是一样的. (3)两个变量之间的关系 变量与变量之间的关系,除了确定性的函数关系外,还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系.在本章中,我们 学习了一元线性相关关系,通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值,获得对这两个变量之间的整体关系的了解.分析两 个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系,还可利用最小二乘估计求出回归直线方 程.通常我们使用散点图,首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出,形成散点图.然后从散点图上,我们可以分析出两个 变量是否存在相关关系:如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,那么就说这两个变量之间具有线性相关关系, 这条直线叫做回归直线,其对应的方程叫做回归直线方程.在本节要经常与数据打交道,计算量大,因此同学们要学会应用科学 计算器. (4)求回归直线方程的步骤: s?
第一步:先把数据制成表,从表中计算出 第二步:计算回归系数的 a,b,公式为
n n n ? n? xi yi ? (? xi )(? yi ) ? i? 1 i? 1 ?b ? i ?1 n , ? n ? n? xi2 ? (? xi )2 ? i ?1 i ?1 ? a ? y ? bx; ? ?

x, ? xi yi, xi2 y, ?
i ?1 i ?1

n

n



第三步:写出回归直线方程 (4)独立性检验

? ? bx ? a y .

① 2 ? 2 列联表:列出的两个分类变量 X 和 Y ,它们的取值分别为 y1 y2 分类 总计 x1 a b a?b

{x1 , x2 }



{ y1 , y2 }

的样本频数表称为 2 ? 2 列联表 1

c d c?d a?c b?d 总计 a ?b?c ?d 2 n(ad ? bc) K2 ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)b ? d ) (其中 n ? a ? b ? c ? d ) 构造随机变量 2 得到 K 的观察值 k 常与以下几个临界值加以比较: 0 如果 k ? 2.706 ,就有 90 0 的把握因为两分类变量 X 和 Y 是有关系;

x2

k ? 3.841 就有 95 0 0 的把握因为两分类变量 X 和 Y 是有关系; 0 如果 k ? 6.635 就有 99 0 的把握因为两分类变量 X 和 Y 是有关系; 如果低于 k ? 2.706 ,就认为没有充分的证据说明变量 X 和 Y 是有关系.
如果 ②三维柱形图:如果列联表 1 的三维柱形图如下图 由各小柱形表示的频数可见,对角线上的频数的积的差的绝对值

| ad ? bc | 较大,说明两分类变量 X 和 Y 是有关的,否则的话是无关的.

c

d
重点:一方面考察对角线频数之差,更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立性检验的思路方法。 b ③二维条形图(相应于上面的三维柱形图而画)

a

a

c

图1 由深、浅染色的高可见两种情况下所占比例,由数据可知 a ? b 要比 c ? d 小得多,由于差距较大,因此,说明两分类变 量 X 和 Y 有关系的可能性较大,两个比值相差越大两分类变量 X 和 Y 有关的可能性也越的.否则是无关系的.

d

c

b a

重点:通过图形以及所占比例直观地粗略地观察是否有关,更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立性检验的思想方法。 ④等高条形图(相应于上面的条形图而画) a 由深、浅染色的高可见两种情况下的百分比;另一方面,数据

a c 0 ?0 图2 0 a ? b ? 0 要比 c ? d 小得多,因此,说明两分类变量 X 和 Y 有关系的可能性较大,
否则是无关系的.

d

b

重点:直观地看出在两类分类变量频数相等的情况下,各部分所占的比例情况,是在图2的基础上换一个角度来理解。 三、考点剖析 考点一:排列组合 【方法解读】 1、解排列组合题的基本思路: 将具体问题抽象为排列组合问题,是解排列组合应用题的关键一步 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法; 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题,其前提是“正难则反”; 2、解排列组合题的基本方法: 优限法:元素分析法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置; 排异法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。 分类处理:某些问题总体不好解决时,常常分成若干类,再由分类计数原理得出结论;注意:分类不重复不遗漏。 分步处理:对某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决;在解题过程中,常常要既要分类,以要分 步,其原则是先分类,再分步。 插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好没有限制元条件的元素,然后再把有限制条 件的元素按要求插入排好的元素之间。 捆绑法:把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列,最后再“松绑”,将特殊元素在 这些位置上全排列。 穷举法:将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来;这种方法常用于方法数比较少的问题。 【命题规律】排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现,难度属中等。 例 1、(2008 安徽理) 12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排,若其他人的相对顺 序不变,则不同调整方法的总数是( ) A.

C82 A32
C2

B.

6 C82 A6

C.

C82 A62

D.

C82 A52
序不变,则先从 4 有 6 种插法,故为 不同的花供选种,

解:从后排 8 人中选 2 人共 8 种选法,这 2 人插入前排 4 人中且保证前排人的顺 人中的 5 个空挡插入一人,有 5 种插法;余下的一人则要插入前排 5 人的空挡, ;综上知选 C。 例 2、(2008 全国 II 理)12.如图,一环形花坛分成 A、B、C、D 四块,现有 4 种 要求在每块里种一种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法种数为 (A)96 (B) 84 (C) 60 (D) 48

A62

4 种种法;种四种花有 4 种种法.共有 4 4 4 解:分三类:种两种花有 4 种种法;种三种花有 . 例 3、(2008 陕西省理)16.某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从 甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有 种.(用数字作答)

A2

2 A3

A4

A2 ? 2 A3 ? A4 ? 84

解:分两类:第一棒是丙有

1 1 4 C1 ? C2 ? A4 ? 48

因此共有方案 48 ? 48 ? 96 种 考点二:二项式定理 【内容解读】掌握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们计算和论证一些简单问题。对二项式定理的考查主要有以下两种 题型: 1、求二项展开式中的指定项问题:方法主要是运用二项式展开的通项公式; 2、求二项展开式中的多个系数的和:此类问题多用赋值法;要注意二项式系数与项的系数的区别; 【命题规律】 历年高考二项式定理的试题以客观题的形式出现,多为课本例题、习题迁移的改编题,难度不大,重点考查运用二项式定理去解 决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。为此,只要我们把握住二项式定理及其系数性质,会把实际问题化归为数学模 型问题或方程问题去解决,就可顺利获解。 例 4、(2008 安徽理)设 A.2 B.3 解:由题知

,第一棒是甲、乙中一人有

1 1 4 C2 ? C1 ? A4 ? 48

(1 ? x)8 ? a0 ? a1 x ? ? ? a8 x8 ,
C.4 ,逐个验证知



a0, a1 ,? , a8
D.5

中奇数的个数为(



,其它为偶数,选 A。 r 例 5、(2008 上海理)12.组合数 Cn(n>r≥1,n、r∈Z)恒等于( )

i ai ? C8 (i ? 0,1,2,?8)

8 C80 ? C8 ? 1

A.

r+1 r-1 C n+1 n-1
r Cn ?

r-1 B.(n+1)(r+1)Cn-1

r-1 C.nr Cn-1

n r-1 D. Cn-1 r

解:由

例 6、(2008 浙江文)(6)在 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4)( x ? 5) 的展开式中,含 x 的项的系数是 (A)-15 (B)85 (C)-120 (D)274
4

n! n (n ? 1)! n r ?1 ? ? ? Cn ?1 r !(n ? r )! r (r ? 1)![(n ? 1) ? (r ? 1)]! r .

解:本题可通过选括号(即 5 个括号中 4 个提供 x ,其余 1 个提供常数)的思路来完成。故含 x 的项的系数为

4

(?1) ? (?2) ? (?3) ? (?4) ? (?5) ? ?15. 1 例 7、(2008 重庆文) (10)若(x+ 2x )n 的展开式中前三项的系数成等差数,则展开式中 x4 项的系数为
(A)6 (B)7 (C)8

(D)9

1 n 1 1 1 2 1 2 0 1 ) Cn ? Cn ? Cn 0 2 Cn 2 Cn 4 Cn 2 x 的展开式中前三项的系数 、 4 解:因为 、 成等差数列,所以 ,即 n ? 9n ? 8 ? 0 ,解 1 1 1 ( ) 2 C82 ? 7 Tr ?1 ? C8r x8?r ( )r ? ( )r C8r x8?2 r 4 2x 2 得: n ? 8 或 n ? 1 (舍)。 。令 8 ? 2r ? 4 可得, r ? 2 ,所以 x 的系数为 2 , (x ?
故选 B。 考点三:概率 【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式,对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在 n 次 独立重复试验中恰发生 k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求 法。 【命题规律】(1)概率统计试题的题量大致为 2 道,约占全卷总分的 6%-10%,试题的难度为中等或中等偏易。 (2)概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编,通过对基础知识的重新组合、变式和拓展,从而加工为立意高、情境新、 设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念,尊重不同考生群体思维的差异,贴 近考生的实际,体现了人文教育的精神。 例 8、(2008 江苏)在平面直角坐标系 xoy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域,E 是到原点的距离不 大于 1 的点构成的区域,向 D 中随意投一点,则落入 E 中的概率为 。 解:如图:区域 D 表示边长为 4 的正方形 ABCD 的内部(含边界),区 域 E 表示单位圆及其内

P?
部,因此

? ?12
4? 4

?

?
16 。

? 答案 16
点评:本题考查几何概型,利用面积相比求概率。 例 9、(2008 重庆文)(9)从编号为 1,2,?,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 大号码是 6 的概率为 个,则所取 4 个球的最

1 (A) 84
P?
3 C5 1 ? 4 C10 21 ,故选 B。

1 (B) 21

2 (C) 5

3 (D) 5

解: 点评:本小题主要考查组合的基本知识及等可能事件的概率。 例 10、(2008 山东理)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,?,18 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人,则选出的火炬 手的编号能组成 3 为公差的等差数列的概率为

1 (A) 51 1 (C) 306
解:基本事件总数为 选出火炬手编号为
3 C18 ? 17 ?16 ? 3

1 (B) 68 1 (D) 408


an ? a1 ? 3(n ? 1)



a1 ? 1

时,由

1, 4,7,10,13,16 可得 4 种选法;

a1 ? 2

时,由

2,5,8,11,14,17 可得 4 种选法; a1 ? 3 时,由 3,6,9,12,15,18 可得 4 种选法。

P?

4?4?4 1 ? . 17 ?16 ? 3 68

点评:本题考查古典概型及排列组合问题。

4 例 11、(2008 福建理)(5)某一批花生种子,如果每 1 粒发牙的概率为 5 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是( 16 96 192 A. 625 B. 625 C. 625 256 625
96 4 2? 4? ?1? B (4, ) P(k ? 2) ? C4 ? ? ? ? ? 625 ? 5? ?5? 5 , 解:独立重复实验
例 12、(2008 陕西省理)某射击测试规则为:每人最多射击 3 次,击中目标即终止射击,第 i 次击中目标得 1 ~ i 次均未击中目标得 0 分.已知某射手每次击中目标的概率为 0.8,其各次射击结果互不影响. (Ⅰ)求该射手恰好射击两次的概率; (Ⅱ)该射手的得分记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望. 解: (Ⅰ)设该射手第 i 次击中目标的事件为
2 2



D.

(i ? 1,3) 分,3 2,

Ai (i ? 1, 3) 2,

,则

P( Ai ) ? 0.8,P( Ai ) ? 0.2



P( Ai Ai ) ? P( Ai ) P( Ai ) ? 0.2 ? 0.8 ? 0.16
(Ⅱ) ? 可能取的值为 0,1,2,3.



? 的分布列为

?
P
E? ? 0 ? 0.008 ? 1? 0.032 ? 2 ? 0.16 ? 3 ? 0.8 ? 2.752

0 0.008

1 0.032

2 0.16

3 0.8

. 例 13、(2008 广东卷 17).随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次 品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润 (单位:万元)为 (1)求 ? 的分布列;(2)求 1 件产品的平均利润(即 ? 的数学期望); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1% ,一等品率提高为 70% .如果此时要求 1 件产品的平均利润不小 于 4.73 万元,则三等品率最多是多少? 解:

?.

? 的所有可能取值有 6,2,1,-2;

P(? ? 6) ?

126 50 ? 0.63 P(? ? 2) ? ? 0.25 200 200 ,

P(? ? 1) ?


? 的分布列为: ? P

20 4 ? 0.1 P(? ? ?2) ? ? 0.02 200 200 ,
6 0.63 2 0.25 1 0.1 -2 0.02

(2) E? ? 6 ? 0.63 ? 2 ? 0.25 ? 1? 0.1 ? (?2) ? 0.02 ? 4.34 (3)设技术革新后的三等品率为 x ,则此时 1 件产品的平均利润为

E( x) ? 6 ? 0.7 ? 2 ? (1 ? 0.7 ? 0.01 ? x) ? (?2) ? 0.01 ? 4.76 ? x(0 ? x ? 0.29) E ( x) ? 4.73 ,即 4.76 ? x ? 4.73 ,解得 x ? 0.03 所以三等品率最多为 3% 依题意,
考点四:统计 【内容解读】理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念,了解它们各自的特点及步骤.会用三种抽样方法从总体中抽取样 本.会用样本频率分布估计总体分布.会用样本数字特征估计总体数字特征.会利用散点图和线性回归方程,分析变量间的相关 关系;掌握独立性检验的步骤与方法。 【命题规律】(1)概率统计试题的题量大致为 2 道,约占全卷总分的 6%-10%,试题的难度为中等或中等偏易。 (2)概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编,通过对基础知识的重新组合、变式和拓展,从而加工为立意高、情境新、 设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念,尊重不同考生群体思维的差异,贴 近考生的实际,体现了人文教育的精神。 例 14、(2007 广东)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生 产能耗 Y(吨标准煤)的几组对照数据 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,崩最小二乘法求出 Y 关于 x 的线性回归方程 Y=bx+a; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产 能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:32.5+43+54+64.5=66.5) 解:(1)散点图略.

? x 2 ? 86 4 x 2 ? 81 4 x ? y ? 63 , i ?1 i (2) i ?1 , , ? ? 0.7 a ? 0.35 ? 由所提供的公式可得 b ,故所求线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 10 分 (3) 100 ? (0.7 ?100 ? 0.35) ? 29.65 吨.
例 15、(2008 江苏模拟)为了研究某高校大学新生学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名进校学生的视力情况,得到频率 分布直方图,如图.已知前 4 组的频数从左到右依次是等比数列 项.

? xi yi ? 66.5

4

4

?a n ?的前四项,后 6 组的频数从左到右依次是等差数列 ?bn ?的前六

?a n ?的通项公式; ?b ? (Ⅱ)求等差数列 n 的通项公式;
(Ⅰ)求等比数列

(Ⅲ)若规定视力低于 5.0 的学生属于近视学生,试估计该校新生的近视率 ? 的大小.
频率 组距

解:(I)由题意知:

a1 ? 0.1? 0.1?100 ? 1
0. 3 0. 1 4.3 4.4 4. 4. 4. 4. 5. 5. 5. 4.5 6 7 8 9 0 1 2



a2 ? 0.3 ? 0.1?100 ? 3.
∵数列 ∴

?a n ?是等比数列,∴公比
.

a2 ? 3, 视力 a1 q?

an ? a1q n ?1 ? 3n ?1

(II) ∵ ∴

a1 ? a2 ? a3

=13, ,

b1 ? b2 ? ? ? b6 ? 100 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? 87 6b1 ? 15d

∵数列

?bn ?是等差数列,∴设数列 ?bn ?公差为 d ,则得,
∴ =87,

b1 ? b2 ? ? ? b6 ? 6b1 ? 15d

? b1 ? a4 ? 27 ,? d ? ?5 , ? bn ? 32 ? 5n a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 0.91 ?= 100 (III) , b5 ? b6 1? ? 0.91 100 (或 ? = )
答:估计该校新生近视率为 91%. 例 16、(2008 江苏模拟)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料: 1 月 10 2 月 10 3 月 10 4 月 10 5 月 10 6 月 10 日 期 日 日 日 日 日 日 昼夜温差 x(° C) 就诊人数 y(个) 验. (Ⅰ)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率;(5 分) (Ⅱ)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 10 22 11 25 13 29 12 26 8 16 6 12

该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回归方程,再用被选取的 2 组数据进行检

? ? bx ? a y ;(6 分)

(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问 该小组所得线性回归方程是否理想?(3 分)

b?

? xi yi ? nx y
i ?1 n

n

i ?1 (参考公式: 解:(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件 A.因为从 6 组数据中选 取 2 组数据共有 15 种情况,每种情况都是等可能出现的 其中,抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种

?x
i ?1

?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

2

i

? nx

2

? ( x ? x)
i

n

, a ? y ? bx
)

2

所以

P(A) ?

5 1 ? 15 3
x ? 11, y ? 24

(Ⅱ)由数据求得

b?
由公式求得 再由

18 7
30 7

a ? y ? bx ? ?

? ? 18 x ? 30 y 7 7 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 ? ? 150 | 150 ? 22 |? 2 y 7 , 7 (Ⅲ)当 x ? 10 时, ; ? ? 78 | 78 ? 14 |? 2 y 7 , 7 同样, 当 x ? 6 时,
所以,该小组所得线性回归方程是理想的. 四、方法总结与 2009 年高考预测 1.排列组合应用题的处理方法和策略 ? 使用分类计数原理还是分步计数原理要根据我们完成某件事情时采取的方式而定,分类来完成这件事情时用分类计数原理, 分步骤来完成这件事情时用分步计数原理.怎样确定是分类,还是分步骤?“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事 件,而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事情.所以准确理解两个原理的关键在于明确:分类计数原理强调完成一件 事情的几类办法互不干扰,彼此之间交集为空集,并集为全集,不论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成事件;分步计数原 理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成事件,步与步之间互不影响,即前一步用什么方法不影响后一步采取什 么方法. ? 排列与组合定义相近,它们的区别在于是否与顺序有关. ? 复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化,从而寻求解题途径,由于结果的正确性难以直接 检验,因而常需要用不同的方法求解来获得检验. ? 按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步,是处理组合问题的基本思想方法,要注意题设中“至少”“至多”等 限制词的意义. ? 处理排列组合的综合性问题,一般思想方法是先选元素(组合),后排列,按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程 “分步”,始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理,通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能. ? 在解决排列组合综合性问题时,必须深刻理解排列与组合的概念,能够熟练确定——问题是排列问题还是组合问题,牢记排 列数、组合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误是重复和遗漏计数. 常见的解题策略有以下几种: ①特殊元素优先安排的策略; ②合理分类与准确分步的策略; ③排列、组合混合问题先选后排的策略; ④正难则反、等价转化的策略; ⑤相邻问题捆绑处理的策略; ⑥不相邻问题插空处理的策略; ⑦定序问题除法处理的策略; ⑧分排问题直排处理的策略; ⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略; ⑩构造模型的策略. 2.二项定理问题的处理方法和技巧
r

? 运用二项式定理一定要牢记通项 Tr+1 =C n an-rbr,注意(a +b)n 与(b+a)n 虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不相
r

同的,我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指 C n ,而后者是 字母外的部分.

? 对于二项式系数问题,应注意以下几点: ①求二项式所有项的系数和,可采用“特殊值取代法”,通常令字母变量的值为 1; ②关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法; ③证明不等式时,应注意运用放缩法. ? 求二项展开式中指定的项,通常是先根据已知条件求 r,再求 Tr+1,有时还需先求 n,再求 r,才能求出 Tr+1. ? 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决;有时也可以通过组合解决,但要注意分类清楚,不重不漏. ? 对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段. ? 近似计算要首先观察精确度,然后选取展开式中若干项. ? 用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开,常采用“配凑法”“消去法”配合整除的 有关知识来解决. 3.求事件发生的概率的处理方法和技巧 ? 解决等可能性事件的概率问题的关键是:正确求出基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数,这就需要有较好的排列、组合 知识.
k

? 要注意恰有 k 次发生和指定的 k 次发生的关系,对独立重复试验来说,前者的概率为 C n pk(1―p)n―k,后者的概率为 pk(1― p)n―k. (3)计算古典概型问题的关键是怎样把一个事件划分为基本事件的和的形式,以便准确计算事件 A 所包含的基本事件的个数和 总的基本事件个数;计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题,及准确计算 事件 A 所包含的基本事件对应的区域的长度、面积或体积. (4)在古典概型问题中,有时需要注意区分试验过程是有序还是无序;在几何概型问题中需注意先判断基本事件是否是“等可 能”的. (5)几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果. 4、关于统计 (1)对简单随机抽样公平性的理解,即每一次抽取时每个个体被抽到的可能性相等. (2)随机数表产生的随机性.计算器和许多计算机数学软件都能很方便地生成随机数表. (3)系统抽样中当总体个数N不能被样本容量整除时,应注意如何从总体中剔除一些个体. (4)用系统抽样法在第一段抽样时,采用的是简单随机抽样,因此第一段内每个个体被抽到的可能性相同,而总体中个体 编号也是随机的,所以保证了整个系统抽样的公平性. (5)分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况.每一层抽样时,采用简单随机抽样或系统抽样.分层抽样中, 每个个体被抽到的可能性也是相同的. (6)分层抽样充分利用了已知信息,使样本具有较好的代表性,在各层抽样时,根据具体情况可采用不同的抽样方法,因 此分层抽样在实践中有着广泛的应用. 2009 高考预测 2009 年高考中,本节的内容还是一个重点考查的内容,因为这部分内容与实际生活联系比较大,随着新课改的深入,高考 将越来越重视这部分的内容,排列、组合、概率、统计都将是重点考查内容,至少会考查其中的两种类型。 五、复习建议 1. 对于一些容易混淆的概念,如排列与排列数、组合与组合数、排列与组合、二项式系数与二项展开式中各项的系数等,应注 意弄清它们之间的联系与区别. 2. 复习中,对于排列组合应用题,注意从不同的角度去进行求解,以开阔思维,提高解题能力. 3. 注意体会解决概率应用题的思考方法,正向思考时要善于将较复杂的问题进行分解,解决有些问题时还要学会运用逆向思考 的方法. 4、注意复习求线性回归方程的方法,回归分析方法,独立性检验的方法及其应用问题。

广东省高考数学专题训练之概率
一、选择题 1、(2009 揭阳)已知函数: f ( x) ? x ? bx ? c ,其中: 0 ? b ? 4,0 ? c ? 4 ,记函数 f (x) 满足条件: ?
2

? f (2) ? 12 为事件 ? f ( ?2) ? 4

为 A,则事件 A 发生的概率为( A.

)C

1 4

B.

5 8

C.

1 2

D.

3 8
2

2、(2009 广东五校)如图所示,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内,曲线 y ? x 和曲线 y ?

x 围成一个叶形图(阴影部

分),向正方形 AOBC 内随机投一点(该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率 是( )B

(A)

1 2 1 4

(B)

1 3 1 6

(C)

(D)

3、(2009 番禺)设 a, b ? (0,1) ,则关于 x 的方程

x2 ? 2ax ? b ? 0 在

(??, ? ?) 上有两个零点的概率为( )B
A.

1 4
)B A.

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3
2 2

4、(2009 惠州)若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标,则点 P 落在圆 x ? y ? 16 内的概率为 (

7 36

B.

2 9

C.

1 6

D.

1 4

二、解答题 1、(2009 广州海珠)某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 2 种服装商品,2 种家电商品,3 种日用 商品中,选出 3 种商品进行促销活动. (Ⅰ)试求选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率; (Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高 150 元,同时,若顾客购买该商品,则允许 有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为 m 的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是 奖奖金数额 m 最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?

1 ,请问:商场应将每次中 2

2、(2009 广州(一)某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖,飞镖落 为 0.1,飞镖落在靶内的各个点是椭机的.已知圆形靶中三个圆为同 20cm、10cm,飞镖落在不同区域的环数如图中标示.设这位同学投掷 变量 x,求 x 的分布列及数学期望.

0 8 9 10

在靶外(环数记为 0)的概率 心圆,半径分别为 30cm、 一次一次得到的环数这个随机

3、(2009 广东揭阳)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面 甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同 面试合格的概率为

试,面试合格者可正式签约, 签约,否则两人都不签约.设甲 合格互不影响.求:

1 1 ,乙、丙面试合格的概率都是 ,且面试是否 2 3

(1)至少有 1 人面试合格的概率; (2)签约人数 ? 的分布列和数学期望. 4、(2009 珠海期末)某俱乐部举行迎圣诞活动,每位会员交 50 元活动费,可享受 20 元的消费,并参加一次游戏:掷两颗正方 体骰子,点数之和为 12 点获一等奖,奖价值为 a 元的奖品;点数之和为 11 或 10 点获二等奖,奖价值为 100 元的奖品;点数之 和为 9 或 8 点获三等奖,奖价值为 30 元的奖品;点数之和小于 8 点的不得奖。求: (1)同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率; (2)如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利,求 a 的值。

5、(2009 广东六校一)在某次乒乓球比赛中,甲、乙、丙三名选手进行单循环赛(即每两个比赛一场),共比赛三场.若这三 人在以往的相互比赛中,甲胜乙的概率为

1 1 1 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的概率为 . 3 4 3

(Ⅰ)求甲获第一、丙获第二、乙获第三的概率;

(Ⅱ)若每场比赛胜者得 1 分,负者得 0 分,设在此次比赛中甲得分数为 X ,求 EX . 6、(2009 朝阳一中)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请 50 名一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数 如下表所示: 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 5 北师大版 10

(1)从这 50 名教师中随机选出 2 名,求 2 人所使用版本相同的概率; (2)若随机选出 2 名使用人教版的教师发言,设使用人教 A 版的教师人数为 ? ,求随机变量 ? 的变分布列和数学期望。

7、(2009 中山一中)交 5 元钱,可以参加一次抽奖。一袋中有同样大小的球 10 个,其中有 8 个标有 1 元, 2 个标有 5 元,摸奖者只能从中任取 2 个球,他所得奖励是所抽 2 球标的钱数之和 ? 。 (I)求 ? 的概率分布列; (II)求抽奖人获利的数学期望。

8、(2009 广东深圳)甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中的 6 题,乙能答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才算合格. (Ⅰ)求甲、乙两人考试均合格的概率; (Ⅱ)求甲答对试题数 ? 的概率分布及数学期望.

【参考答案】 1、解: (Ⅰ)从 2 种服装商品,2 种家电商品,3 种日用商品中,选出 3 种商品一共有 C 7 种选法,.选出的 3 种商品中没有日用商品的选 法有 C 4 种, ??1 分. 所以选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率为 P ? 1 ?
3 C 4 31 ? .??4 分 3 C 7 35
3
3

(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为 X,其所有可能值为 0, X=0 时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以 P ? X ? 0 ? ? C 3 ?
0 0 3

m ,2 m ,3 m .??6 分

1 ?1? ?1? ? ? ? ? ? , ??7 分 8 ?2? ?2?

3 ?1? ?1? 同理可得 P ? X ? m ? ? C ? ? ? ? ? ? , ??8 分 8 ?2? ?2?
1 3

1

2

3 ?1? ?1? P? X ? 2m ? ? C ? ? ? ? ? ? , ??9 分 8 ?2? ?2?
2 3

2

1

1 ?1? 3? 1 ? P? X ? 3m ? ? C 3 ? ? ? ? ? ? . ??10 分 8 ?2? ?2?
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 EX

3

0

1 3 3 1 ? 0 ? ? m ? ? 2m ? ? 3m ? ? 1.5m .??12 分 8 8 8 8

要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有 1.5m ? 150 ,所以 m ? 100 ,??13 分. 故商场应将中奖奖金数额最高定为 100 元,才能使促销方案对商场有利. ??14 分 2、解: 由题意可知,飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比,而与它们的质量和形状无关。 由圆的半径值可得到三个同心圆的半径之比为 3:2:1,面积比为 9:4:1 所以 8 环区域、9 环区域、10 环区域的面积比为 5:3:1 ???3 分 则掷得 8 环、9 环、10 环的概率分别设为 5k,3k,k 根据离散型随机变量分布列的性质有 0.1+5k+3k+k=1 解得 k=0.1 ???6 分 得到离散型随机变量 x 的分布列为 x 0 8 9 10 P 0.1 0.5 0.3 0.1 ???9 分 Ex=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7 ???12 分 3、解: 用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立,

且 P( A) ?

1 1 , P( B) ? P(C ) ? .------------------------------------------------------2 分 2 3

(1)至少有 1 人面试合格的概率是

1 2 2 7 1 ? P( ABC ) ? 1 ? P( A) P( B) P(C ) ? 1 ? ? ? ? . ----------------------4 分 2 3 3 9 (2) ? 的可能取值为 0,1,2,3.----------------------------------------------------------5 分
∵ P(? ? 0) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) = P( A) P( B) P(C ) ? P( A) P( B) P(C ) ? P( A) P( B) P(C )

1 1 2 1 2 1 1 2 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ---------------------------6 分 2 3 3 2 3 3 2 3 3 9 P(? ? 1) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC )
= = P( A) P( B) P(C ) ? P( A) P( B) P(C ) ? P( A) P( B) P(C )

1 2 1 1 1 2 1 2 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? . --------------------------------7 分 2 3 3 2 3 3 2 3 3 9 1 1 1 1 P(? ? 2) ? P( ABC ) ? P( A) P( B) P(C ) ? ? ? ? . ---------------------8 分 2 3 3 18 1 1 1 1 P(? ? 3) ? P( ABC ) ? P( A) P( B) P(C ) ? ? ? ? . ----------------------9 分 2 3 3 18 ∴ ? 的分布列是 0 1 2 3 ?
=

P(? )

4 9

4 9

1 18

1 18
--------10 分

4 4 1 1 13 ? 的期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . ----------------------------------------12 分 9 9 18 18 18 4、解:(1)设掷两颗正方体骰子所得的点数记为(x,y),其中 1 ? x, y ? 6 , 1 1 1 则获一等奖只有(6,6)一种可能,其概率为: ? ? ; ????2 分 6 6 36
获二等奖共有(6,5)、(5,6)、(4,6)、(6,4)、(5,5)共 5 种可能,其概率为: ????5 分 设事件 A 表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”,则有: P(A)= C3 ?
1

5 ; 36

(2)设俱乐部在游戏环节收益为ξ 元,则ξ 的可能取值为 30 ? a , ?70 ,0, 30 ,?7 分 其分布列为: ξ 30-a -70 0 30 p

1 5 25 ; ? ( )2 ? 36 36 15552

????6 分

1 36

5 36

1 4

7 12

则:Eξ = (30 ? a) ?

1 5 1 7 310 ? a ; ????11 分 ? (?70) ? ? 0 ? ? 30 ? ? 36 36 4 12 36
????12 分

由 Eξ =0 得:a=310,即一等奖可设价值为 310 元的奖品。 5、解:(Ⅰ)设甲获第一、丙获第二、乙获第三为事件 A , 则 P( A) ?

1 1 2 1 ? ? ? ; ··················································································· 6 分 3 4 3 18 (Ⅱ) X 可能的取值为 0,1,2. 2 3 1 P( X ? 0) ? ? ? , 3 4 2 1 3 1 2 5 P( X ? 1) ? ? ? ? ? , 3 4 4 3 12

1 1 1 P( X ? 2) ? ? ? , ··················································································· 12 分 3 4 12 0 1 2 X 1 5 1 p 2 12 12 1 5 1 7 ······································································ 14 分 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 2 12 12 12 2 6、解:(1)从 50 名教师随机选出 2 名的方法数为 C 50 ? 1225 .
选出 2 人使用版本相同的方法数为 C 20 ? C15 ? C5 ? C10 ? 350 .
2 2 2 2

故 2 人使用版本相同的概率为:

P?

350 2 ? . ??????????5 分 1225 7

2 1 C15 C 2 C15 3 60 20 ? (2)∵ P (? ? 0) ? 2 ? , P (? ? 1) ? 2 119 C 35 17 C 35

P(? ? 2) ?

C2 38 20 ? 2 C 35 119

∴ ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3 17

60 119

38 119

??????10 分 ∴ E?

?

3 60 38 136 8 ?0? ?1 ? ?2 ? ? ????????12 分 17 119 119 119 7
????????????????????2 分 ??8 分

7、解(I) ? ? 2, 6, 10

p (? ? 2) ?

C82 28 C1C1 16 C2 1 ? , p (? ? 6) ? 8 2 2 ? , p (? ? 10) ? 2 ? 2 2 C10 45 C10 45 C10 45

所以 ? 的概率分布列为:

?
p

2

6

10

28 45

16 45

1 45

?????????10 分

28 16 1 18 ? 6 ? ? 10 ? ? 45 45 45 5 所以抽奖人获利的数学期望为: E? ? 5 ? ?1.4 元。
(II)由(I)知, E?

? 2?

?????????12 分 ?????????14 分

8、解:(Ⅰ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B,则 P(A)=
1 3 C 62 C 4 ? C 6 60 ? 20 2 C 2 C 1 ? C 3 56 ? 56 14 ? . ???3 分 = ? ,P(B)= 8 2 3 8 ? 3 120 15 C10 C10 120 3

因为事件 A、B 相互独立,

2 14 28 ????????5 分 P ? A? B? ? ? ? 3 15 45 28 答:甲、乙两人考试均合格的概率为 . ??????????6 分 45
∴甲、乙两人考试均合格的概率为 (Ⅱ)依题意, ? =0,1,2,3,??????7 分

p (? ? 0) ?

3 C4 1 ? , 3 C10 30

P(? ? 1) ?

1 2 C6C4 3 ? , 3 C10 10

P(? ? 2) ?

1 C62C4 1 ? , 3 C10 2

P(? ? 3) ?

3 C6 1 ? 3 C10 6

???????????9 分

甲答对试题数ξ 的概率分布如下: ξ 0 1 2 3 P

1 30

3 10

1 2

1 6
????????12 分

甲答对试题数ξ 的数学期望

E? ? 0 ?

1 3 1 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 30 10 2 6 5


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