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东坡区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

东坡区第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20﹣80mg/100ml(不含 80) 之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上,属于醉酒驾车.据《法制晚报》报道,2011 年 3 月 15 日至 3 月 28 日, 全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800 人, 如下图是对这 28800 人酒后驾车血液中 酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为( )

姓名__________

分数__________

A.2160 B.2880 C.4320 D.8640 2.

图 1 是由哪个平面图形旋转得到的(



A.
2

B.

C. )

D.

3. 已知集合 A={x|x ﹣x﹣2<0},B={x|﹣1<x<1},则( A.A? B B.B? A C.A=B D.A∩B=?

4. 已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7? , A ? ?2, 4,6? , B ? ?1,3,5,7? ,则 A A. ?2,4,6? B. ?1,3,5? C. ?2,4,5? )
|x﹣2|

(? U B) ? (


) D. ?2,5?

5. 已知 α,β 为锐角△ABC 的两个内角,x∈R,f(x)=( 式 f(2x﹣1)﹣f(x+1)>0 的解集为( A.(﹣∞, )∪(2,+∞) B.( ,2) )

+(

|x﹣2| ,则关于

x 的不等

C.(﹣∞,﹣ )∪(2,+∞)

D.(﹣ ,2)

2 2 2 2 2 6. 已知 a ? ?2 , 若圆 O1 :x ? y ? 2 x ? 2ay ? 8a ? 15 ? 0 , 圆 O2 :x ? y ? 2ax ? 2ay ? a ? 4a ? 4 ? 0

恒有公共点,则 a 的取值范围为( A. (?2,?1] ? [3,??)

).

B. ( ? ,?1) ? (3,?? )

5 3

C. [ ? ,?1] ? [3,?? )

5 3

D. (?2,?1) ? (3,??)

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7. 若关于 x 的方程 x3﹣x2﹣x+a=0 x2, x3, (a∈R) 有三个实根 x1, 且满足 x1<x2<x3, 则 a 的取值范围为 ( A.a> B.﹣ <a<1 C.a<﹣1 D.a>﹣1 ) C.?x∈R,x2<0 D.?x∈R,x2≤0 ) D.0,2,3 均可 )



8. 全称命题:?x∈R,x2>0 的否定是( A.?x∈R,x ≤0
2

B.?x∈R,x >0

2

9. 已知集合 A={0,m,m2﹣3m+2},且 2∈A,则实数 m 为( A.2 B.3 C.0 或 3 10.下列图象中,不能作为函数 y=f(x)的图象的是(

A.

B.

C.

D.

11.某校为了了解 1500 名学生对学校食堂的意见,从中抽取 1 个容量为 50 的样本,采用系统抽样法,则分段 间隔为( A. 10 )1111] B. 15 C. 20 D. 30 ) ,﹣3,﹣2 )

12.与向量 =(1,﹣3,2)平行的一个向量的坐标是(

A.( ,1,1) B.(﹣1,﹣3,2) C.(﹣ , ,﹣1) D.(

二、填空题
13. 设函数 f ( x) ? e , g ( x) ? ln x ? m .有下列四个命题:
x

①若对任意 x ? [1, 2] ,关于 x 的不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,则 m ? e ;
2 ②若存在 x0 ?[1, 2] ,使得不等式 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,则 m ? e ? ln 2 ;

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③若对任意 x1 ?[1, 2] 及任意 x2 ?[1, 2] ,不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,则 m ?

e ? ln 2 ; 2

④若对任意 x1 ?[1, 2] ,存在 x2 ?[1, 2] ,使得不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则 m ? e . 其中所有正确结论的序号为 力,考查分类整合思想. 14.【南通中学 2018 届高三 10 月月考】定义在 上的函数 满足 , 为 的导函数,且 . 【命题意图】本题考查对数函数的性质,函数的单调性与导数的关系等基础知识,考查运算求解,推理论证能



恒成立,则

的取值范围是__________________. 的一条渐近线方程为 y=x,则实数 m 等于 (t 为参数)与圆 C: .

15.已知双曲线 16.直线 l: 是 .

(θ 为参数)相交所得的弦长的取值范围

17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 y= 与直线 x=1 及 x 轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥, 圆锥的体积 V 圆锥=
2

π( )2dx=

x3| =



据此类推:将曲线 y=x 与直线 y=4 所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积 V= .

18.已知 i 是虚数单位,且满足 i2=﹣1,a∈R,复数 z=(a﹣2i)(1+i)在复平面内对应的点为 M,则“a=1” 是“点 M 在第四象限”的 条件(选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”)

三、解答题
19.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图, A, B, C 为

? 上的三个点, AD 是 ?BAC 的平分线,交 ? 于

点 D ,过 B 作 ? 的切线交 AD 的延长线于点 E .

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(Ⅰ)证明: BD 平分 ?EBC ; (Ⅱ)证明: AE ? DC ? AB ? BE .

20.已知二次函数 f(x)的图象过点(0,4),对任意 x 满足 f(3﹣x)=f(x),且有最小值是 . (1)求 f(x)的解析式; (2)求函数 h(x)=f(x)﹣(2t﹣3)x 在区间[0,1]上的最小值,其中 t∈R; (3)在区间[﹣1,3]上,y=f(x)的图象恒在函数 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围.

21.已知集合 A={x|a﹣1<x<2a+1},B={x|0<x<1} (1)若 a= ,求 A∩B. (2)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 已知两点 F1 (?1,0) 及 F2 (1,0) , 点 P 在以 F1 、F2 为焦点的椭圆 C 上, 且 PF1 、F1 F2 、

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PF2 构成等差数列.
(I)求椭圆 C 的方程; (II)设经过 F2 的直线 m 与曲线 C 交于 P、Q 两点,若 PQ = F1 P + F1Q ,求直线 m 的方程.
2 2 2

23.如图 1,圆 O 的半径为 2,AB,CE 均为该圆的直径,弦 CD 垂直平分半径 OA,垂足为 F,沿直径 AB 将 半圆 ACB 所在平面折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图 2) (Ⅰ)求四棱锥 C﹣FDEO 的体积 (Ⅱ)如图 2,在劣弧 BC 上是否存在一点 P(异于 B,C 两点),使得 PE∥平面 CDO?若存在,请加以证明; 若不存在,请说明理由.

24.(本小题满分 13 分) 如图,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的上、下顶点分别为 A, B ,点 P 在椭圆上,且异于点 A, B ,直线 AP, BP 4

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与直线 l : y ? ?2 分别交于点 M , N , (1)设直线 AP, BP 的斜率分别为 k1 , k2 ,求证: k1 ? k2 为定值; (2)求线段 MN 的长的最小值; (3)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.

【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系,考查考生运算求解能力,分析问 题与解决问题的能力,是中档题.

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东坡区第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:由题意及频率分布直方图的定义可知:属于醉酒驾车的频率为:(0.01+0.005)×10=0.15, 又总人数为 28800,故属于醉酒驾车的人数约为:28800×0.15=4320. 故选 C 【点评】此题考查了学生的识图及计算能力,还考查了频率分布直方图的定义,并利用定义求解问题. 2. 【答案】A 【解析】 试题分析:由题意得,根据旋转体的概念,可知该几何体是由 A 选项的平面图形旋转一周得到的几何体故选 A. 考点:旋转体的概念. 3. 【答案】B 【解析】解:由题意可得,A={x|﹣1<x<2}, ∵B={x|﹣1<x<1}, 在集合 B 中的元素都属于集合 A,但是在集合 A 中的元素不一定在集合 B 中,例如 x= ∴B?A. 故选 B. 4. 【答案】A

考点:集合交集,并集和补集. 【易错点晴】集合的三要素是:确定性、互异性和无序性.研究一个集合,我们首先要看清楚它的研究对象, 是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式,我们首先用 十字相乘法分解因式,求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中,要注意分母不能为零.元素与集合之间是 属于和不属于的关系,集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并 集和补集的题目. 5. 【答案】B

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【解析】解:∵α,β 为锐角△ABC 的两个内角,可得 α+β>90°,cosβ=sin(90°﹣β)<sinα,同理 cosα<sinβ, ∴f(x)=( )
|x﹣2|

+(



|x﹣2| ,在(2,+∞)上单调递减,在(﹣∞,2)单调递增,

由关于 x 的不等式 f(2x﹣1)﹣f(x+1)>0 得到关于 x 的不等式 f(2x﹣1)>f(x+1),
2 ∴|2x﹣1﹣2|<|x+1﹣2|即|2x﹣3|<|x﹣1|,化简为 3x ﹣1x+8<0,解得 x∈( ,2);

故选:B. 6. 【答案】C

【解析】由已知,圆 O1 的标准方程为 ( x ? 1) ? ( y ? a) ? (a ? 4) ,圆 O2 的标准方程为
2 2 2 2 2 ( x ? a) ? ( y ? a2 ) ? (a ? 2 ) a ? ?2 ,要使两圆恒有公共点,则 2 ?| O1O2 |? 2a ? 6 ,即 ,∵

5 ? ? a ? ?1 2 ?| a ? 1 |? 2a ? 6 ,解得 a ? 3 或 3 ,故答案选 C
7. 【答案】B
3 2 3 2 【解析】解:由 x ﹣x ﹣x+a=0 得﹣a=x ﹣x ﹣x, 3 2 2 设 f(x)=x ﹣x ﹣x,则函数的导数 f′(x)=3x ﹣2x﹣1,

由 f′(x)>0 得 x>1 或 x<﹣ ,此时函数单调递增, 由 f′(x)<0 得﹣ <x<1,此时函数单调递减, 即函数在 x=1 时,取得极小值 f(1)=1﹣1﹣1=﹣1,
3 2 在 x=﹣ 时,函数取得极大值 f(﹣ )=(﹣ ) ﹣(﹣ ) ﹣(﹣ )= 3 2 要使方程 x ﹣x ﹣x+a=0(a∈R)有三个实根 x1,x2,x3,



则﹣1<﹣a< 即﹣



<a<1,

故选:B.

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【点评】本题主要考查导数的应用,构造函数,求函数的导数,利用导数求出函数的极值是解决本题的关键. 8. 【答案】D
2 【解析】解:命题:?x∈R,x >0 的否定是: 2 ?x∈R,x ≤0.

故选 D. 【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于“>”的否定用“<”了.这里就有注意 量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”.特称命题的否定是全称命题,“存在”对应“任 意”. 9. 【答案】B 【解析】解:∵A={0,m,m ﹣3m+2},且 2∈A,
2 ∴m=2 或 m ﹣3m+2=2, 2

解得 m=2 或 m=0 或 m=3. 当 m=0 时,集合 A={0,0,2}不成立. 当 m=2 时,集合 A={0,0,2}不成立. 当 m=3 时,集合 A={0,3,2}成立. 故 m=3. 故选:B. 【点评】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用,注意求解之后要进行验证. 10.【答案】B 【解析】解:根据函数的定义可知,对应定义域内的任意变量 x 只能有唯一的 y 与 x 对应,选项 B 中,当 x >0 时,有两个不同的 y 和 x 对应,所以不满足 y 值的唯一性. 所以 B 不能作为函数图象.

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故选 B. 【点评】 本题主要考查函数图象的识别, 利用函数的定义是解决本题的关键, 注意函数的三个条件: 非空数集, 定义域内 x 的任意性,x 对应 y 值的唯一性. 11.【答案】 D 【解析】 试题分析:分段间隔为 考点:系统抽样 12.【答案】C 【解析】解:对于 C 中的向量:(﹣ , ,﹣1)=﹣ (1,﹣3,2)=﹣ 因此与向量 =(1,﹣3,2)平行的一个向量的坐标是 故选:C. 【点评】本题考查了向量共线定理的应用,属于基础题. , .

1500 ? 50 ,故选 D. 30

二、填空题
13.【答案】①②④ 【 解 析 】

14.【答案】

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【解析】



睛:函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上 看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起 到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这 是非常必要的。根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧。许多问 题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效。 15.【答案】 4 .

【解析】解:∵双曲线 又已知一条渐近线方程为 y=x,∴ 故答案为 4.

的渐近线方程为 y= =2,m=4,

x,

【点评】本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求得渐近线方程为 y= 的关键. 16.【答案】 [4 【解析】解:直线 l: 化为普通方程是 = , ,16] . (t 为参数),

x,是解题

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即 y=tanα?x+1; 圆 C 的参数方程 (θ 为参数),

2 2 化为普通方程是(x﹣2) +(y﹣1) =64;

画出图形,如图所示



∵直线过定点(0,1), ∴直线被圆截得的弦长的最大值是 2r=16, 最小值是 2 故答案为:[4 =2× ,16]. ,16]. =2× =4 ∴弦长的取值范围是[4

【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题,解题时先把参数方程化为普通方程,再画出图形,数形 结合,容易解答本题. 17.【答案】 8π .

【解析】解:由题意旋转体的体积 V= 故答案为:8π.
2

=

=8π,

【点评】本题给出曲线 y=x 与直线 y=4 所围成的平面图形,求该图形绕 xy 轴转一周得到旋转体的体积.着重 考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识,属于基础题. 18.【答案】 充分不必要 【解析】解:∵复数 z=(a﹣2i)(1+i)=a+2+(a﹣2)i, ∴在复平面内对应的点 M 的坐标是(a+2,a﹣2), 若点在第四象限则 a+2>0,a﹣2<0, ∴﹣2<a<2, ∴“a=1”是“点 M 在第四象限”的充分不必要条件,

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故答案为:充分不必要. 【点评】本题考查条件问题,考查复数的代数表示法及其几何意义,考查各个象限的点的坐标特点,本题是一 个基础题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】【解析】(Ⅰ)因为 BE 是⊙ O 的切线,所以 ?EBD ? ?BAD …………2 分 又因为 ?CBD ? ?CAD , ?BAD ? ?CAD ………………4 分 所以 ?EBD ? ?CBD ,即 BD 平分 ?EBC .………………5 分 (Ⅱ)由⑴可知 ?EBD ? ?BAD ,且 ?BED ? ?BED ,

BE BD ,……………………7 分 ? AE AB 又因为 ?BCD ? ?BAE ? ?DBE ? ?DBC ,

?BDE ∽ ?ABE ,所以

所以 ?BCD ? ?DBC , BD ? CD .……………………8 分

BE BD CD ,……………………9 分 ? ? AE AB AB 所以 AE ? DC ? AB ? BE .……………………10 分
所以 20.【答案】 【解析】解:(1)二次函数 f(x)图象经过点(0,4),任意 x 满足 f(3﹣x)=f(x) 则对称轴 x= , f(x)存在最小值 , 则二次项系数 a>0
2 设 f(x)=a(x﹣ ) + .

将点(0,4)代入得: f(0)= 解得:a=1
2 2 ∴f(x)=(x﹣ ) + =x ﹣3x+4.



(2)h(x)=f(x)﹣(2t﹣3)x =x2﹣2tx+4=(x﹣t)2+4﹣t2,x∈[0,1]. 当对称轴 x=t≤0 时,h(x)在 x=0 处取得最小值 h(0)=4; 当对称轴 0<x=t<1 时,h(x)在 x=t 处取得最小值 h(t)=4﹣t ; 当对称轴 x=t≥1 时,h(x)在 x=1 处取得最小值 h(1)=1﹣2t+4=﹣2t+5.
2

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综上所述: 当 t≤0 时,最小值 4; 当 0<t<1 时,最小值 4﹣t ; 当 t≥1 时,最小值﹣2t+5. ∴ .
2

(3)由已知:f(x)>2x+m 对于 x∈[﹣1,3]恒成立,
2 ∴m<x ﹣5x+4 对 x∈[﹣1,3]恒成立, 2 ∵g(x)=x ﹣5x+4 在 x∈[﹣1,3]上的最小值为



∴m<



21.【答案】 【解析】解:(1)当 a= 时,A={x| ∴A∩B={x|0<x<1} (2)若 A∩B=? 当 A=?时,有 a﹣1≥2a+1 ∴a≤﹣2 当 A≠?时,有 ∴﹣2<a≤ 综上可得, 或 a≥2 或 a≥2 },B={x|0<x<1}

【点评】本题主要考查了集合交集的求解,解题时要注意由 A∩B=?时,要考虑集合 A=?的情况,体现了分类 讨论思想的应用. 22.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识,意在考 查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力.

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x2 y2 3 3 3 ? ? 1 得 y ? ? ,即 P (1 , ) , Q (1 , ? ) 2 2 2 4 3 25 2 2 2 2 F1Q , x ? 1 不符合题意 ; 直接计算知 PQ = 9 , | F1 P | 2 ? | F1Q | 2 ? , PQ ? F1 P 2 ②若直线 m 的斜率为 k ,直线 m 的方程为 y = k ( x - 1)
(II)①若 m 为直线 x ? 1 ,代入

? x2 y2 ? 1 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? (4k 2 ? 12) ? 0 ? ? 由? 4 得 3 ? y ? k ( x ? 1) ? 8k 2 4k 2 ? 12 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x 2 ? , x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 2 2 2 由 PQ = F1 P + F1Q 得, F ?FQ 0 1P 1
即 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y 2 ? 0 , ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1) ? 0

(1 ? k 2 ) x1 x2 ? (1 ? k 2 )(x1 ? x2 ) ? (1 ? k 2 ) ? 0 4k 2 ? 12 8k 2 2 代入得 (1 ? k 2 )( ? 1 ) ? ( 1 ? k ) ? ? 0 ,即 7k 2 ? 9 ? 0 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 7 3 7 解得 k ? ? ,直线 m 的方程为 y ? ? ( x ? 1) 7 7
23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)如图 1,∵弦 CD 垂直平分半径 OA,半径为 2, ∴CF=DF,OF= , ,
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∴在 Rt△COF 中有∠COF=60°,CF=DF=

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∵CE 为直径,∴DE⊥CD, ∴OF∥DE,DE=2OF=2, ∴ ,

图 2 中,平面 ACB⊥平面 ADE,平面 ACB∩平面 ADE=AB, 又 CF⊥AB,CF?平面 ACB, ∴CF⊥平面 ADE,则 CF 是四棱锥 C﹣FDEO 的高, ∴ .

(Ⅱ)在劣弧 BC 上是存在一点 P(劣弧 BC 的中点),使得 PE∥平面 CDO. 证明:分别连接 PE,CP,OP, ∵点 P 为劣弧 BC 弧的中点,∴ ,

∵∠COF=60°,∴∠COP=60°,则△COP 为等边三角形, ∴CP∥AB,且 ∴CP∥DE 且 CP=DE, ∴四边形 CDEP 为平行四边形, ∴PE∥CD, 又 PE?面 CDO,CD?面 CDO, ∴PE∥平面 CDO. ,又∵DE∥AB 且 DE= ,

【点评】本题以空间几何体的翻折为背景,考查空间几何体的体积,考查空间点、线、面的位置关系、线面平 行及线面垂直等基础知识,考查空间想象能力,求解运算能力和推理论证能力,考查数形结合,化归与数学转 化等思想方法,是中档题. 24.【答案】 【解析】(1)易知 A? 0,1? , B ? 0, ?1? ,设 P ? x0 , y0 ? ,则由题设可知 x0 ? 0 ,

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? 直线 AP 的斜率 k1 ?

y0 ? 1 y ?1 ,BP 的斜率 k2 ? 0 ,又点 P 在椭圆上,所以 x0 x0
(4 分)

2 2 x0 y ? 1 y0 ? 1 y0 ?1 1 ? y0 ? 1 , ? x0 ? 0? ,从而有 k1 ? k2 ? 0 ? 2 ?? . 4 x0 x0 x0 4

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