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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷10


张喜林制
[选取日期]

2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷十
一、选择题(36 分) 1.给定公比为 q ( q≠ 1)的等比数列{ a
n

},设
3 n

b 1= a 1+ a 2+ a 3, b 2= a 4+ a
,…,则数列{
b n }(
)

5

+ a

6

,…, b

n

= a

3 n -2

+ a

3 n -1

+ a

( A )是等差数列 ( C )是公比为 q
解 析 : (C). 由 题 设 , an=a1q
n-1

( B )是公比为 q 的等比数列
3

的等比数列

( D )既非等差数列也非等比数列

,则

因 此 , { bn} 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 .

3

2.平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么,满足不等式 (| x |-1) 2 +(| y |-1) ( A )16
解析:
2

<2 的整点( x , y )的个数是( ( C )18

) ( D )25

( B )17

(A)
2 2

由 (|x|-1) +(|y|-1) <2,可 得 (|x|-1,|y|-1)为 (0, 0), (0, 1), (0, -1), (1, 0)或 (-1, 0).从 而 , 不 难 得 到 (x,y)共 有 16 个 . 3.若(l og 2 3) ( A ) x - y ≥0 ( C ) x - y ≤0
解析:
x

-(lo g 5 3) ≥( log 2 3) -( log 5 3)
( B ) x + y ≥0 ( D ) x + y ≤0

x

-y

-y

,则(

)

(B)
t t

记 f(t)=(log23) -(log53) , 则 f(t)在 R 上 是 严 格 增 函 数 . 原 不 等 式 即 f(x) ≥ f(-y). 故 x≥ -y, 即 x+y≥ 0. 4.给定下列两个关于异面直线的命题: 命题Ⅰ: 若平面 α 上的直线 a 与平面 β 上的直线 b 为异面直线,直线 c 是 α 与β 那么, c 至多与 a , b 中的一条相交; 命题Ⅱ:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线。 那么,( ) ( B )命题Ⅱ正确,命题Ⅰ不正确
1/6

的交线,

( A )命题Ⅰ正确,命题Ⅱ不正确

( C )两个命题都正确
解析:

( D )两个命题都不正确
行平面,在每个平面上 是异面直线,从而命题

(D).

如图,c 与 a、b 都相交;故命题Ⅰ不正确;又可以取无穷多个平 取一条直线,且使这些直线两两不同向,则这些直线中的任意两条都 Ⅱ也不正确.

5.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3 名选手各比赛了 2 场之后就退 出了,这样,全部比赛只进行了 50 场。那么,在上述 3 名选手之间比赛的场数是( ) ( A )0
解析:

( B )1 (B)

( C )2

( D )3

设 这 三 名 选 手 之 间 的 比 赛 场 数 是 r, 共 n 名 选 手 参 赛 . 由 题 意 , 可 得 ,即 n=13 为 正 整 数 . 6.已知点 A (1,2),过点(5,-2)的直线与抛物线 y 2 =4 x 交于另外两点 B , C ,那么,△ ABC 是 ( ) ( A )锐角三角形 ( B )钝角三角形 ( C )直角三角形 ( D )答案不确定
解析:

=44+r. 由 于 0≤ r≤ 3, 经 检 验 可 知 , 仅 当 r=1 时 ,

(C) ,化得

设 B(t2,2t),C(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1,则直线 BC 的方程为 2x-(s+t)y+2st=0.

由于直线 BC 过点(5,-2),故 2×5-(s+t)(-2)+2st=0,即 (s+1)(t+1)=-4. 因此, 所以,∠BAC=90°,从而△ABC 是直角三角形. 二、填空题(54 分) 7.已知正整数 n 不超过 2000,并且能表示成不少于 60 个连续正整数之和,那么,这样的 n 的个 数是___________.
解析:

.

6.

首项为 a 为的连续 k 个正整数之和为 . 由 Sk≤ 2000, 可 得 60≤ k≤ 62. 当 k = 6 0 时 ,S k = 6 0 a + 3 0 × 5 9 ,由 S k ≤ 2 0 0 0 ,可 得 a ≤ 3 ,故 S k = 1 8 3 0 , 1 8 9 0 , 1 9 5 0 ; 当 k=61 时 , Sk=61a+30×61, 由 Sk≤ 2000, 可 得 a≤ 2, 故 Sk=1891, 1952; 当 k=62 时 , Sk=62a+31×61, 由 Sk≤ 2000, 可 得 a≤ 1, 故 Sk=1953. 于是,题中的 n 有 6 个. 8.复数( 1 2 + 5 i ) 2 ( 2 3 9 - i ) 的辐角主值是_________.
解析:


2/6

z 的辐角主值 argz=arg[ (12+5i)2(239-i)] =arg[ (119+120i)(239-i)] =arg[ 28561+28561i] = . 8. 在△ ABC 中, 记 BC = a , CA = b , AB = c , 若 9 a 2 +9 b 2 -19 c 2 =0, 则
c g tC c g tA ? c g tB

=__________.

解析:



x2 y2 ? ? 1 上,并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条双曲线 10.已知点 P 在双曲线 16 9

的两个焦点的距离的等差中项,那么, P 的横坐标是_____.
解析:



记 半 实 轴 、 半 虚 轴 、 半 焦 距 的 长 分 别 为 a、 b、 c, 离 心 率 为 e, 点 P 到 右 准 线 l 的 距 离 为 d, 则 a=4, b=3, c=5, 如果 P 在双曲线右支,则 |PF1|=|PF2|+2a=ed+2a. 从而, |PF1|+|PF2|=(ed+2a)+ed=2ed+2a>2d, 这不可能;故 P 在双曲线的左支,则 |PF2|-|PF1|=2a,|PF1|+|PF2|=2d. 两 式 相 加 得 2|PF2|=2a+2d. 又 |PF2|=ed,从 而 ed=a+d. , 右准线 l 为 .



. .

因此,P 的横坐标为

11.已知直线 ax ? by ? c ? 0 中的 a , b , c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元素, 并且该直线的倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是______.
3/6

解析:

43

设 倾 斜 角 为 θ , 则 tgθ =- >0. 不 妨 设 a>0, 则 b<0. (1)c=0,a 有 三 种 取 法 , b 有 三 种 取 法 , 排 除 2 个 重 复 (3x-3y=0,2x-2y=0 与 x-y=0 为 同 一 直 线 ), 故 这 样 的 直 线 有 3×3-2=7 条 ; (2)c≠ 0, 则 a 有 三 种 取 法 , b 有 三 种 取 法 , c 有 四 种 取 法 , 且 其 中 任 两 条 直 线 均 不 相 同 , 故 这 样 的 直 线 有 3×3×4=36 条 . 从 而 , 符 合 要 求 的 直 线 有 7+36=43 条 . 12.已知三棱锥 S - ABC 的底面是正三角形, A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△ SBC 的垂心,二 面角 H - AB - C 的平面角等于 30°, SA =2
解析:

。那么三棱锥 S - ABC 的体积为__________.



由 题 设 ,A H ⊥ 面 S B C .作 B H ⊥ S C 于 E .由 三 垂 线 定 理 可 知 S C ⊥ A E ,S C ⊥ A B .故 SC⊥ 面 ABE. 设 S 在 面 ABC 内 射 影 为 O, 则 SO⊥ 面 ABC. 由 三 垂 线 定 理 之 逆 定 理 , 可 知 CO⊥ AB 于 F. 同 理 , BO⊥ AC. 故 O 为 △ ABC 的 垂 心 . 又 因 为 △ ABC 是 等 边 三 角 形 , 故 O 为 △ ABC 的 中 心 , 从 而 SA=SB=SC= 因 为 CF⊥ AB, CF 是 EF 在 面 ABC 上 的 射 影 , 由 三 垂 线 定 理 , EF⊥ AB. EFC 是 二 面 角 H-AB-C 的 平 面 角 . 故 ∠ EFC=30°,
OC=SCcos60°= SO= 又 OC= tg60°= , × OC= =3. × =3. .



所以,∠

AB,故 AB=

所以,VS-ABC=

三、解答题(满分 60 分,每小题 20 分) 13.已知当 x ∈[0,1]时,不等式 x2cosθ -x(1-x)+(1-x)2sinθ >0, 恒成立,试求θ 的取值范围。
解析:

若 对 一 切 x∈ [ 0, 1] , 恒 有

f(x)=x2cosθ -x(1-x)+(1-x)2sinθ >0, (1)

则 cosθ =f(1)>0,sinθ =f(0)>0.



x0=

∈ (0, 1), 则 +2 x(1-x), x0(1-x0) .
4/6



由于 所 以 , 0<f(x0)=2



- +

>0

(2)

反 之 , 当 (1), (2)成 立 时 , f(0)=sinθ >0, f(1)=cosθ >0, 且 x∈ (0, 1)时 , f(x)≥ 2 x(1-x)>0.

先 在 [ 0,2π ] 中 解 (1)与 (2): 由 cosθ >0,sinθ >0, 可 得 0<θ < 又- + >0, > , .

sin2θ > , sin2θ > , 注意到 0<2θ <π , 故 有 <θ < . 2kπ + <θ <2kπ + ,k∈ Z. <2θ < ,

所以,

因此,原题中θ的取值范围是 14.给定 A (-2,2),已知 B 是椭圆 值时,求 B 的坐标。

5 x2 y2 ? ? 1 上的动点, F 是左焦点,当| AB |+ | BF |取最小 3 25 16

解析: 记椭圆的半长轴、 半短轴、 半焦距分别为 a、 b、 c, 离心率为 e. 则 a=5,b=4,c=
左准线为 x=.

=

=3,e= = ,

过点 B 作左准线 x=|BN|=

的垂线,垂足为 N,过 A 作此准线的垂线,垂足为 M.由椭圆定义,

= |BF| . ,

于是, |AB|+ |BF|=|AB|+|BN|≥|AN|≥|AM|(定值),等号成立当且仅当 B 是 AM 与椭圆的交点时,此时 B( 2) 所以,当|AB|+ |BF|取最小值时,B 的坐标为(
2

,2).
2
1

15. 给定正整数 n 和正数 M ,对于满足条件 a1 ? an?1 ≤ M 的所有等差数列 a 试求 S =
解析:

, a

2

, a

3

,….,

a

n +1

+ a

n +2

+…+ a

2 n +1

的最大值。

设 公 差 为 d,an+1=α ,则 d.

S=an+1+an+2+… a2n+1=(n+1)α + 故 .

5/6



因此

|S|≤ 且当 α= S=(n+1)〔

(n+1) ,d=

, 〃 〃 时, 〕

+ 〃

=(n+1)

=

(n+1) .

由 于 此 时 4α =3nd,故

所以,S 的最大值为

(n+1)



6/6


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