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《步步高_学案导学设计》2013-2014学年_高中数学_人教B版选修1-1常数与幂函数的导数导数公式表_图文

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3.2.1~3.2.2

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3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
【学习要求】 1 1.能根据定义求函数 y=c,y= x,y= x ,y= 的导数 . x
2

2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数 .

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【学法指导】 1.利用导数的定义推导简单函数的导数公式,类推一般多项
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式函数的导数公式, 体会由特殊到一般的思想 .通过定义求 导数的过程,培养归纳、探求规律的能力,提高学习兴趣. 2.本节公式是下面几节课的基础,记准公式是学好本章内容 的关键.记公式时,要注意观察公式之间的联系,如公式 6 是公式 5 的特例,公式 8 是公式 7 的特例.公式 5 与公式 7 中 ln a 的位置的不同等 .

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.几个常用函数的导数 原函数
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导函数 f′(x)= 0 f′(x)= 1 f′(x)= 2x 1 - f′(x)= x2
1

f(x)= c f(x)= x f(x)= x2 1 f(x)= x f(x)= x

f′(x)= 2 x

填一填·知识要点、记下疑难点
2.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)= c f(x)= xα(α∈ Q*)
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导函数 f′(x)= 0 f′(x)= axa-1 f′(x)= cos x f′(x)= -sin x f′(x)= axln a (a>0) f′(x)= ex

f(x)= sin x f(x)= cos x f(x)= ax f(x)= ex f(x)= logax f(x)= ln x

1 f′(x)= xln a (a>0 且 a≠ 1) 1 f′(x)= x

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探究点一 几个常用函数的导数
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问题 1 怎样利用定义求函数 y=f(x)的导数?
Δy 答案 (1)计算 ,并化简; Δx
Δy (2)观察当 Δx 趋近于 0 时, 趋近于哪个定值; Δx
Δy (3) 趋近于的定值就是函数 y=f(x)的导数. Δx

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问题 2 利用定义求下列常用函数的导数: 1 2 (1)y=c (2)y=x (3)y=x (4)y= (5)y= x x
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答案 (1)y′=0
(2)y′=1 (3)y′=2x
1 (4)y′=- 2 x (5)y′= 2 x 1

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问题 3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率.物理 意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. (1)函数 y= f(x)=c(常数)的导数的物理意义是什么?
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(2)函数 y= f(x)=x 的导数的物理意义呢?
答案 (1)若 y=c 表示路程关于时间的函数,
则 y′=0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0,
即一直处于静止状态.
(2)若 y=x 表示路程关于时间的函数,

则 y′=1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动.

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1 问题 4 画出函数 y= 的图象.根据图象, 描述它的变化情况, x 并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.
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1 答案 函数 y= 的图象如图所示, x

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1 结合函数图象及其导数 y′=- 2发现, x 1 当 x<0 时,随着 x 的增加,函数 y= 减少得越来越快; x
当 x>0 时,随着 x 的增加,函数减少得越来越慢.
1 点(1,1)处切线的斜率就是导数 y′|x=1=-12=-1,
故斜率为-1,过点(1,1)的切线方程为 y=-x+2.

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探究点二 基本初等函数的导数公式

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问题 1 利用导数的定义可以求函数的导函数,但运算比较 繁杂,有些函数式子在中学阶段无法变形,怎样解决这个
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问题?
答案 可以使用给出的导数公式进行求导, 简化运算过程, 降低运算难度.
问题 2 你能发现 8 个基本初等函数的导数公式之间的联系吗?
答案 公式 6 是公式 5 的特例,公式 8 是公式 7 的特例.

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例 1 求下列函数的导数: 4 3 π 1 x (1)y=sin ;(2)y=5 ;(3)y= 3;(4)y= x ;(5)y=log3x. 3 x
解 (1)y′=0;
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(2)y′=(5x)′=5xln 5;
?1? (3)y′=?x3?′=(x-3)′=-3x-4; ? ?
1 ? 3 4 4 3 3 x (4)y′=( x )′=(x )′= 4 = 4 ; 4 x
3 4

1 (5)y′=(log3x)′= . xln 3

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小结
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对于教材中出现的 8 个基本初等函数的导数公式,要

想在解题过程中应用自如,必须做到以下两点:一是正确理 π 3 解,如 sin = 是常数,而常数的导数一定为零,就不会出 3 2 ? π? π 现?sin ?′ = cos 这样的错误结果 .二是准确记忆,灵活变形 . 3? 3 ? 如根式、分式可转化为指数式,利用公式 2 求导 .

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跟踪训练 1 求下列函数的导数: 1x 8 (1)y=x ;(2)y=( ) ;(3)y=x x;(4)y=log 1 x 2
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解 (1)y′=8x7;
1x 1 1x (2)y′=(2) ln 2=-(2) ln 2;
(3)∵y=x x= x ,
3 1 2 ∴y′= 2 x ;
3 2

3

1 (4)y′= =- . 1 xln 3 xln 3

1

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例 2 判断下列计算是否正确. π 求 y=cos x 在 x= 处的导数,过程如下: 3 ?? ? π 3 ? cos ? ? y′ | x ? 3 = ? 3 ? ′=-sin =- . 3 2
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解 错误.应为 y′=-sin x,
π 3 ∴y′| x ? 3 =-sin 3=- 2 .
?

小结

函数 f(x)在点 x0 处的导数等于 f′(x)在点 x=x0 处

的函数值. 在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公 式求出导函数,再将 x0 代入导函数求解,不能先代入后 求导.

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1 跟踪训练 2 求函数 f(x)= 在 x=1 处的导数. 3 x

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f′(x)=( 3

1 x

?1 1 ?1 3 )′=(x )′=- x , 3 ?

1 3

1 ?4 1 3 =- x =- , 3 3 4 3 x

1 ∴f′(1)=- =- , 3 3 3 1
1 ∴函数 f(x)在 x=1 处的导数为-3.

1

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探究点三 导数公式的综合应用

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例 3 已知直线 x- 2y- 4= 0 与抛物线 y2=x 相交于 A、 B两 点,O 是坐标原点,试在抛物线的弧
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上求一点 P,使

△ABP 的面积最大.
解 设 P(x0, y0), 过点 P 与 AB 平行的直线为 l, 如图.

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由于直线 x-2y-4=0 与抛物线 y2=x 相交于 A、B 两点,
所以|AB |为定值,要使△ABP 的面积最大,
只要 P 到 AB 的距离最大,
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而 P 点是抛物线的弧

上的一点,

因此点 P 是抛物线上平行于直线 AB 的切线的切点, 1 由图知点 P 在 x 轴上方,y= x,y′= , 2 x

1 由题意知 kAB=2. 1 1 ∴kl= =2, 2 x0

即 x0=1,∴y0=1.∴P(1,1).

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小结
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利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义

可以解决一些与距离、 面积相关的几何的最值问题.解题时可 先利用图象分析取最值时的位置情况,再利用导数的几何意 义准确计算.

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跟踪训练 3 点 P 是曲线 y=ex 上任意一点, 求点 P 到直线 y =x 的最小距离.
解 根据题意设平行于直线 y=x 的直线与曲线 y=ex 相切于
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点(x0,y0),
该切点即为与 y=x 距离最近的点,如图.

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则在点(x0,y0)处的切线斜率为 1,
即 y′| x ? x =1.
0

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∵y′=(ex)′=ex,
∴e x =1,得 x0=0,代入 y=ex,得 y0=1,
0

即 P(0,1).
2 利用点到直线的距离公式得距离为 2 .

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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1.给出下列结论: 1 3 ①若 y= 3,则 y′=- 4; x x 3 13 ②若 y= x ,则 y′= x; 3 1 - ③若 y= 2,则 y′=- 2x 3; x ④若 f(x)= 3x,则 f′(1)= 3. 其中正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

练一练·当堂检测、目标达成落实处 1 - 解析 ①y= 3=x 3, x 3 -4 则 y′=-3x =- 4; x 1 3
②y= x=x 3 ,
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3.2.1~3.2.2

1 ?2 13 3 则 y′=3· x ≠3 x;

1 ③y= 2=x-2, x

则 y′=-2x-3.
④由 f(x)=3x,知 f′(x)=3, ∴f′(1)=3.
∴①③④正确. 答案 C

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2.函数 f(x)= x,则 f′(3)等于 3 1 A. B.0 C. 6 2 x
解析 ∵f′(x)=( x)′= , 2 x 1

( A ) 3 D. 2

3 ∴f′(3)= = . 2 3 6

1

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3.设正弦曲线 y=sin x 上一点 P,以点 P 为切点的切线为直 线 l,则直线 l 的倾斜角的范围是 π 3π A.[0, ]∪[ ,π) B.[0,π) 4 4 π 3π π π 3π C.[ , ] D.[0, ]∪[ , ] 4 4 4 2 4
解析 ∵(sin x)′=cos x,
∵kl=cos x,
∴-1≤kl≤1,
π 3π ∴αl∈[0,4]∪[ 4 ,π).

( A )

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4.曲线 y=ex 在点(2, e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积
1 2 2e 为________.

解析 ∵y′=(e )′=e ,
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x

x

∴k=e2

∴曲线在点(2,e2)处的切线方程为 y-e2=e2(x-2), 即 y=e2x-e2. 当 x=0 时,y=-e2, 当 y=0 时,x=1.

1 1 2 2 ∴S△=2×1×|-e |=2e .

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3.2.1~3.2.2

1. 利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导
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数,其关键是牢记和运用好导数公式 .解题时,能认真观察 函数的结构特征,积极地进行联想化归 . 2.有些函数可先化简再应用公式求导 . 2x 2x 如求 y=1- 2sin 的导数 .因为 y=1- 2sin = cos x, 2 2 所以 y′=(cos x)′=- sin x. 3.对于正余弦函数的导数,一是注意函数的变化,二是注意 符号的变化 .


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