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高中数学高考总复习函数概念习题及详解

高考总复习

高中数学高考总复习函数概念习题及详解
一、选择题 1.(文)(2010· 浙江文)已知函数 f(x)=log2(x+1),若 f(a)=1,则 a=( A.0 C.2 [答案] B [解析] 由题意知,f(a)=log2(a+1)=1,∴a+1=2, ∴a=1.
?2x x∈?-∞,2] ? (理)(2010· 广东六校)设函数 f(x)=? ,则满足 f(x)=4 的 x 的值是 ? ?log2x x∈?2,+∞?

)

B.1 D.3

( A.2 C.2 或 16 [答案] C [解析] 当 f(x)=2x 时.2x=4,解得 x=2. 当 f(x)=log2x 时,log2x=4,解得 x=16. ∴x=2 或 16.故选 C.
? ?log3x x>0 1 2.(文)(2010· 湖北文,3)已知函数 f(x)=? x ,则 f(f( ))=( 9 x≤0 ?2 ?

)

B.16 D.-2 或 16

)

A.4 C.-4 [答案] B 1 1 [解析] ∵f( )=log3 =-2<0 9 9 1 1 - ∴f(f( ))=f(-2)=2 2= . 9 4
1 x ? ?2 -1 (理)设函数 f(x)=? ?lgx ?


1 B. 4 1 D.- 4

?x<1? ?x≥1?

,若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是(

)

A.(-∞,0)∪(10,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪(-1,10) D.(0,10) [答案] A

含详解答案

高考总复习 ? ? ?x0<1 ?x0≥1 [解析] 由? 或? ?x0<0 或 x0>10. ?21-x0-1>1 ? ? ?lgx0>1

3.(2010· 天津模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这 些函数为“同族函数”, 那么函数解析式为 f(x)=x2, 值域为{1,4}的“同族函数”共有( A.7 个 C.9 个 [答案] C [解析] 由 x2=1 得 x=± 1,由 x2=4 得 x=± 2,故函数的定义域可以是{1,2},{-1,2}, {1,-2},{-1,-2},{1,2,-1},{1,2,-2},{1,-2,-1},{-1,2,-2}和{-1, -2,1,2},故选 C. 1-2x 4.(2010· 柳州、贵港、钦州模拟)设函数 f(x)= ,函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图 1+x 象关于直线 y=x 对称,则 g(1)等于( 3 A.- 2 1 C.- 2 [答案] D 1-2a [解析] 设 g(1)=a,由已知条件知,f(x)与 g(x)互为反函数,∴f(a)=1,即 =1, 1+a ∴a=0. 5.(2010· 广东六校)若函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(1-x)的图象大致为 ( ) ) B.-1 D.0 B.8 个 D.10 个 )

[答案] A [解析] 解法 1:y=f(-x)的图象与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称.将 y=f(-x)的图象向 右平移一个单位得 y=f(1-x)的图象,故选 A. 解法 2:由 f(0)=0 知,y=f(1-x)的图象应过(1,0)点,排除 B、C;由 x=1 不在 y=f(x) 的定义域内知,y=f(1-x)的定义域应不包括 x=0,排除 D,故选 A.

含详解答案

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6.(文)(2010· 广东四校)已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定 义如下表,填写下列 g(f(x))的表格,其三个数依次为( )

x f(x) x g(x) x g(f(x)) A.3,1,2 C.1,2,3 [答案] D

1 2 1 1 1

2 3 2 3 2

3 1 3 2 3

B.2,1,3 D.3,2,1

[解析] 由表格可知,f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1,g(1)=1,g(2)=3,g(3)=2, ∴g(f(1))=g(2)=3,g(f(2))=g(3)=2,g(f(3))=g(1)=1, ∴三个数依次为 3,2,1,故选 D. (理)(2010· 山东肥城联考)已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其 定义如下表: x f(x) x g(x) 1 2 1 3 2 3 2 2 3 1 3 1

则方程 g[f(x)]=x 的解集为( A.{1} C.{3} [答案] C

) B.{2} D.?

[解析] g[f(1)]=g(2)=2,g[f(2)]=g(3)=1; g[f(3)]=g(1)=3,故选 C. 7.若函数 f(x)=loga(x+1) (a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则 a 等于( 1 A. 3 C. 2 2 B. 2 D.2 )

含详解答案

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[答案] D [解析] ∵0≤x≤1,∴1≤x+1≤2, 又∵0≤loga(x+1)≤1,故 a>1,且 loga2=1,∴a=2.
?g?x?+x+4,x<g?x? ? 8.(文)(2010· 天津文)设函数 g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=? ,则 f(x) ?g?x?-x,x≥g?x? ?

的值域是(

) B.[0,+∞) 9 - ,0?∪(2,+∞) D.? ? 4 ?

9 ? A.? ?-4,0?∪(1,+∞) 9 - ,+∞? C.? ? 4 ? [答案] D [解析]

2 ? ?x +x+2 ? 由题意可知 f(x)= 2 ?x -x-2 ?

x<-1或x>2 -1≤x≤2

1?2 7 1° 当 x<-1 或 x>2 时,f(x)=x2+x+2=? ?x+2? +4 由函数的图可得 f(x)∈(2,+∞). 1?2 9 2° 当-1≤x≤2 时,f(x)=x2-x-2=? ?x-2? -4, 1? 1 9 故当 x= 时,f(x)min=f? ?2?=-4, 2 当 x=-1 时,f(x)max=f(-1)=0, 9 - ,0?. ∴f(x)∈? ? 4 ? 9 - ,0?∪(2,+∞). 综上所述,该分段函数的值域为? ? 4 ? (理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=
? ?log2?1-x? ? ?f?x-1?-f?x-2? ?

?x≤0? ?x>0?

,则 f(2010)的值为( B.0 D.2

)

A.-1 C.1 [答案] B

[解析] f(2010)=f(2009)-f(2008)=(f(2008)-f(2007))-f(2008)=-f(2007), 同理 f(2007) =-f(2004),∴f(2010)=f(2004), ∴当 x>0 时,f(x)以 6 为周期进行循环, ∴f(2010)=f(0)=log21=0.
? ?a,若a≤b; 9.(文)对任意两实数 a、b,定义运算“*”如下:a*b=? 函数 f(x)=log1(3x ?b,若a>b 2 ? 含详解答案

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-2)*log2x 的值域为( A.(-∞,0) C.(-∞,0] [答案] C [解析] ∵a*b=? 图象如右图所示,

) B.(0,+∞) D.[0,+∞)

?a,若a≤b, ? ? ?b,若a>b.

而函数 f(x)=log1(3x-2)与 log2x 的大致
2

∴f(x)的值域为(-∞,0]. 1?x (理)定义 max{a、 b、 c}表示 a、 b、 c 三个数中的最大值, f(x)=max{? x-2, log2x(x>0)}, ?2? , 则 f(x)的最小值所在范围是( A.(-∞,-1) C.(0,1) [答案] C 1?x ?1?x [解析] 在同一坐标系中画出函数 y=? ?2? ,y=x-2 与 y=log2x 的图象,y=?2? 与 y= log2x 图象的交点为 A(x1,y1),y=x-2 与 y=log2x 图象的交点为 B(x2,y2),则由 f(x)的定义 1?x 知,当 x≤x1 时,f(x)=? ?2? ,当 x1<x<x2 时,f(x)=log2x,当 x≥x2 时,f(x)=x-2, ∴f(x)的最小值在 A 点取得,∵0<y1<1,故选 C. ) B.(-1,0) D.(1,3)

10.(文)(2010· 江西吉安一中)如图,已知四边形 ABCD 在映射 f:(x,y)→(x+1,2y)作用 下的象集为四边形 A1B1C1D1,若四边形 A1B1C1D1 的面积是 12,则四边形 ABCD 的面积是 ( )

A.9

B.6

含详解答案

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C.6 3 [答案] B

D.12

[解析] 本题考察阅读理解能力,由映射 f 的定义知,在 f 作用下点(x,y)变为(x+1,2y), ∴在 f 作用下|A1C1|=|AC|,|B1D1|=2|BD|,且 A1、C1 仍在 x 轴上,B1、D1 仍在 y 轴上,故 1 1 1 1 SABCD= |AC|· |BD|= |A1C1|· |B1D1|= SA1B1C1D1=6,故选 B. 2 2 2 2 (理)设函数 f(x)=? =x 的解的个数为( A.1 C.3 [答案] C [解析] 解法 1:当 x≤0 时,f(x)=x2+bx+c. ∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
??-4?2+b· ?b=4 ?-4?+c=c ? ? ∴? ,解得? , 2 ??-2? +b· ? ?-2?+c=-2 ? ?c=2
2 ?x +4x+2 ? ∴f(x)=? ?2 x>0 ?

?x +bx+c ? ?2 ?

2

x≤0

x>0

, 若 f(-4)=f(0), f(-2)=-2, 则关于 x 的方程 f(x)

) B.2 D.4

x≤0



当 x≤0 时,由 f(x)=x 得,x2+4x+2=x, 解得 x=-2,或 x=-1; 当 x>0 时,由 f(x)=x 得,x=2, ∴方程 f(x)=x 有 3 个解. 解法 2:由 f(-4)=f(0)且 f(-2)=-2 可得,f(x)=x2+bx+c 的对称轴是 x=-2,且顶 点为(-2,-2),于是可得到 f(x)的简图如图所示.方程 f(x)=x 的解的个数就是函数图象 y =f(x)与 y=x 的图象的交点的个数,所以有 3 个解. 二、填空题 11.(文)(2010· 北京东城区)函数 y= x+1+lg(2-x)的定义域是________. [答案] [-1,2)
? ?x+1≥0 [解析] 由? 得,-1≤x<2. ?2-x>0 ?

(理)函数 f(x)= x+ 4-x的最大值与最小值的比值为________. [答案] [ 解析 ] 2
?x≥0 ? ∵? ,∴ 0≤x≤4 , f 2(x) = 4 + 2 x?4-x? ≤4 + [x + (4 - x)] = 8 ,且 f ?4-x≥0 ?

含详解答案

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2

(x)≥4, ∵f(x)≥0,∴2≤f(x)≤2 2,故所求比值为 2. x x π [点评] (1)可用导数求解;(2)∵0≤x≤4,∴0≤ ≤1,故可令 =sin2θ(0≤θ≤ )转化为 4 4 2

三角函数求解. cosx-1 12.函数 y= x∈[0,π]的值域为________. sinx-2 4? [答案] ? ?0,3? [解析] 函数表示点(sinα,cosα)与点(2,1)连线斜率.而点(sinα, 4 cosα)α∈[0,π]表示单位圆右半部分,由几何意义,知 y∈[0, ]. 3 13.(2010· 湖南湘潭市)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均 为整数的点称为整点,如果函数 f(x)的图象恰好通过 n(n∈N*)个整点,则称函数 f(x)为 n 阶 整点函数,有下列函数 ①f(x)=sin2x ②g(x)=x3 ④φ(x)=lnx. 其中是一阶整点函数的是________.(写出所有正确结论的序号) [答案] ①④ [解析] 其中①只过(0,0)点,④只过(1,0)点;②过(0,1),(1,1),(2,8)等,③过(0,1),(- 1,3)等. f?2? f?3? f?2012? 14.(文)若 f(a+b)=f(a)· f(b)且 f(1)=1,则 + +?+ =________. f?1? f?2? f?2011? [答案] 2011 f?a+1? [解析] 令 b=1,则 =f(1)=1, f?a? ∴ f?2? f?3? f?2012? + +?+ =2011. f?1? f?2? f?2011? 1?x ③h(x)=? ?3?

(理)设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列命题: ①b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实数根; ②c=0 时,y=f(x)是奇函数; ③方程 f(x)=0 至多有两个实根. 上述三个命题中所有的正确命题的序号为________. [答案] ①② [解析] ①f(x)=x|x|+c

含详解答案

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2 ? ?x +c,x≥0 =? 2 , ?-x +c,x<0 ?

如右图与 x 轴只有一个交点. 所以方程 f(x)=0 只有一个实数根正确. ②c=0 时,f(x)=x|x|+bx 显然是奇函数.
?x2+bx,x≥0 ? ③当 c=0,b<0 时,f(x)=x|x|+bx=? 2 ? ?-x +bx,x<0

如右图方程 f(x)=0 可以有三个实数根. 综上所述,正确命题的序号为①②. 三、解答题 15.(文)(2010· 深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中 注水 60 吨, 同时蓄水池又向居民小区不间断供水, t 小时内供水总量为 120 6t吨, (0≤t≤24). (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请问在一天的 24 小时内, 有几小时出现供水紧张现象. [解析] (1)设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨, 则 y=400+60t-120 6t(0≤t≤24) 令 6t=x,则 x2=6t 且 0≤x≤12, ∴y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40(0≤x≤12); ∴当 x=6,即 t=6 时,ymin=40, 即从供水开始到第 6 小时时,蓄水池水量最少,只有 40 吨. (2)依题意 400+10x2-120x<80, 得 x2-12x+32<0, 8 32 解得 4<x<8,即 4< 6t<8,∴ <t< ; 3 3 ∵ 32 8 - =8,∴每天约有 8 小时供水紧张. 3 3

(理)某物流公司购买了一块长 AM=30 米,宽 AN=20 米的矩 形地块 AMPN,规划建设占地如图中矩形 ABCD 的仓库,其余地 方为道路和停车场,要求顶点 C 在地块对角线 MN 上,B、D 分别 在边 AM、AN 上,假设 AB 长度为 x 米. (1)要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米,AB 长度应在什么范围内? (2)若规划建设的仓库是高度与 AB 长度相同的长方体形建筑,问 AB 长度为多少时仓库 的库容最大?(墙体及楼板所占空间忽略不计)

含详解答案

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DC ND x 20-AD [解析] (1)依题意得三角形 NDC 与三角形 NAM 相似,所以 = ,即 = , AM NA 30 20 2 AD=20- x, 3 2 矩形 ABCD 的面积为 S=20x- x2 (0<x<30), 3 要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米, 2 即 20x- x2≥144, 3 化简得 x2-30x+216≤0,解得 12≤x≤18. 所以 AB 长度应在[12,18]内. 2 (2)仓库体积为 V=20x2- x3(0<x<30), 3 V′=40x-2x2=0 得 x=0 或 x=20, 当 0<x<20 时,V′>0,当 20<x<30 时 V′<0, 8000 3 所以 x=20 时,V 取最大值 m, 3 即 AB 长度为 20 米时仓库的库容最大. 16.(2010· 皖南八校联考)对定义域分别是 Df,Dg 的函数 y=f(x),y=g(x),规定: f?x?g?x?,当x∈Df且x∈Dg, ? ? 函数 h(x)=?f?x?,当x∈Df且x?Dg, ? ?g?x?,当x∈Dg且x?Df. 1 (1)若函数 f(x)= ,g(x)=x2,写出函数 h(x)的解析式; x-1 (2)求问题(1)中函数 h(x)的值域; (3)若 g(x)=f(x+α), 其中 α 是常数, 且 α∈[0, π], 请设计一个定义域为 R 的函数 y=f(x), 及一个 α 的值,使得 h(x)=cos4x,并予以证明. [解析] (1)由定义知, x ? ?x-1,x∈?-∞,1?∪?1,+∞?, h(x)=? ? ?1,x=1. 1 (2)由(1)知,当 x≠1 时,h(x)=x-1+ +2, x-1 则当 x>1 时,有 h(x)≥4(当且仅当 x=2 时,取“=”); 当 x<1 时,有 h(x)≤0(当且仅当 x=0 时,取“=”). 则函数 h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞). π (3)可取 f(x)=sin2x+cos2x,α= ,则 g(x)=f(x+α)=cos2x-sin2x, 4
含详解答案
2

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于是 h(x)=f(x)f(x+α)=cos4x. π (或取 f(x)=1+ 2sin2x,α= ,则 g(x)=f(x+α)=1- 2sin2x.于是 h(x)=f(x)f(x+α)= 2 cos4x). [点评] 本题中(1)、 (2)问不难求解, 关键是读懂 h(x)的定义, 第(3)问是一个开放性问题, 乍 一 看 可 能 觉 得 无 从 下 手 , 但 细 加 观 察 不 难 发 现 , cos4x = cos22x - sin22x = (cos2x + sin2x)(cos2x-sin2x)积式的一个因式取作 f(x),只要能够找到 α,使 f(x+α)等于另一个因式 也就找到了 f(x)和 g(x). 17.(文)某种商品在 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系如图所示:

该商品在 30 天内日销售量 Q(件)与时间 t(天)之间的关系如表所示: 第t天 Q(件) 5 35 15 25 20 20 30 10

(1)根据提供的图象,写出该商品每件的销售价格 P 与时间 t 的函数关系式; (2)在所给直角坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(t,Q)的对应点,并确定日销 售量 Q 与时间 t 的一个函数关系式;

(3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是 30 天中的第几 天?(日销售金额=每件的销售价格×日销售量)
?t+20 ?0<t<25,t∈N*? ? [解析] (1)P=? * ? ?-t+100 ?25≤t≤30,t∈N ?

(2)图略,Q=40-t(t∈N*) (3)设日销售金额为 y(元),
2 ? ?-t +20t+800 则 y=? 2 ?t -140t+4000 ?

?0<t<25,t∈N*? ?25≤t≤30,t∈N*?

含详解答案

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2 * ? ?-?t-10? +900 ?0<t<25,t∈N ? =? 2 * ??t-70? -900 ?25≤t≤30,t∈N ? ?

若 0<t<25(t∈N*), 则当 t=10 时,ymax=900; 若 25≤t≤30(t∈N*), 则当 t=25 时,ymax=1125. 由 1125>900,知 ymax=1125, ∴这种商品日销售金额的最大值为 1125 元,30 天中的第 25 天的日销售金额最大. (理)(2010· 广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因,长期只能在当地销售,当 1 地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持, 已知每投入 x 万元, 可获得纯利润 P=- (x 160 -40)2+100 万元(已扣除投资,下同),当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产 的销售,其规划方案为:在未来 10 年内对该项目每年都投入 60 万元的销售投资,其中在前 5 年中,每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路,公路 5 年建成,通车前该特产 只能在当地销售;公路通车后的 5 年中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售 159 119 的投资收益为:每投入 x 万元,可获纯利润 Q=- (60-x)2+ · (60-x)万元,问仅从这 160 2 10 年的累积利润看,该规划方案是否可行? 1 [解析] 在实施规划前,由题设 P=- (x-40)2+100(万元),知每年只需投入 40 万, 160 即可获得最大利润 100 万元,则 10 年的总利润为 W1=100×10=1000(万元) 1 实施规划后的前 5 年中,由题设 P=- (x-40)2+100 知,每年投入 30 万元时,有 160 最大利润 Pmax= 795 (万元) 8

795 3975 前 5 年的利润和为 ×5= (万元) 8 8 设在公路通车的后 5 年中,每年用 x 万元投资于本地的销售,而剩下的(60-x)万元用 于外地区的销售投资, 则其总利润为 1 159 119 W2=[- (x-40)2+100]×5+(- x2+ x)×5=-5(x-30)2+4950. 160 160 2 当 x=30 时,W2=4950(万元)为最大值, 3975 从而 10 年的总利润为 +4950(万元). 8 ∵ 3975 +4950>1000, 8

∴该规划方案有极大实施价值.
含详解答案

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