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高等数学课后习题答案第八章3

第八章习题解答(3) 节 8.5 部分习题解答 1、下列方程确定了 y = f ( x ) ,求 (1) sin y + e x ? xy 2 = 0 、 解:设 F ( x, y ) = sin y + e x ? xy 2 = 0 ,

dy , dx

?F ?F = ex ? y2 ; = cos y ? 2 xy ?x ?y

(2) ln 、

x 2 + y 2 = arctan

y x y , x

解:设 F ( x, y ) = ln

x 2 + y 2 ? arctan

?F x 1 y x+ y ; = 2 ? (? 2 ) = 2 2 y 2 x ?x x + y x + y2 1+ ( ) x ?F y 1 1 y?x ; = 2 ? ( )= 2 2 y 2 x ?y x +y x + y2 1+ ( ) x

F dy x+ y =? x = dx Fy x ? y
(3) x y = y x 、 解:设 F ( x, y ) = x y ? y x ,

?F 1 = yx y ?1 ? y x ln y = x y ( y ? x ln y ) ?x x

?F 1 = x y ln x ? xy x ?1 = x y ( y ln x ? x) ; ?y y

F dy y ( x ln y ? y ) =? x = dx Fy x( y ln x ? x)
(4) xy + e y = 1 、 解:设 F ( x, y ) = xy + e y ? 1 ,

?F =y ?x

?F = x + ey ; ?y

F dy y =? x =? dx Fy x + ey

1

2、下列方程确定了 z = f ( x, y ) ,求

?z ?x

?z ?y

(1) e z ? xyz = 0 、 解:设 F ( x, y , z ) = e z ? xyz ,

Fx = ? yz

Fy = ? zx

Fz = e z ? xy ; Fy ?z zx = z =? ?y Fz e ? xy

F ?z yz =? x = z ?x Fz e ? xy
(2) z 3 ? 3xyz = a 3 、

解:设 F ( x, y , z ) = z 3 ? 3xyz ? a 3 ,

Fx = ?3 yz

Fy = ?3 zx

Fz = 3 z 2 ? 3 xy ; Fy ?z zx = 2 =? ?y Fz e ? xy

F ?z yz =? x = 2 ?x Fz z ? xy
(3) x 2 y ? 2 yz + e z = 1 、

解:设 F ( x, y , z ) = x 2 y ? 2 yz + e z ? 1 ,

Fx = 2 xy

Fy = x 2 ? 2 z

Fz = ?2 y + e z ; Fy x 2 ? 2 z ?z =? = ?y Fz 2 y ? e z

F ?z 2 xy =? x = ?x Fz 2 y ? e z
(4) sin z = xyz 、

解:设 F ( x, y , z ) = sin z ? xyz ,

Fx = ?2 yz

Fy = ? xz

Fz = cos z ? xy ; Fy ?z xz = =? ?y Fz cos z ? xy
?z ?z + =1 ?x ?y

F ?z 2 yz =? x = ?x Fz cos z ? xy

3、设 2 sin( x + 2 y ? 3 z ) = x + 2 y ? 3 z 确定了 z = f ( x, y ) ,验证:

证明:设 F ( x, y, z ) = 2 sin( x + 2 y ? 3 z ) ? ( x + 2 y ? 3z ) ,

2

Fx = 2 cos( x + 2 y ? 3 z ) ? 1

Fy = 4 cos( x + 2 y ? 3 z ) ? 2

Fz = ?6 cos( x + 2 y ? 3 z ) + 3 ; F ?z 2 =? x = ?x Fz 3
所以

Fy 1 ?z = =? ?y Fz 3

?z ?z 2 1 + = + =1 ?x ?y 3 3

4、设 x = x( y, z ), y = y ( z , x), z = z ( x, y ) 都是由方程 F ( x, y , z ) = 0 确定的函数,证明

?x ?y ?z ? ? = ?1 ?y ?z ?x
证明:

Fy F F ?x ?y ?z ? ? = (? )(? z )(? x ) = (?1) 3 = ?1 ?y ?z ?x Fx Fy Fz

5 、 函 数 ? (u , v ) 具 有 连 续 的 偏 导 数 , 验 证 方 程 ? (cx ? az , cy ? bz ) = 0 所 确 定 的 函 数

z = z ( x, y ) 满足

a

?z ?z +b =c ?x ?y

证明:设 u = cx ? az , v = cy ? bz ,

则有

?u ?u ?u ?v ?v ?v = c, = 0, = ?a , = 0, = c , = ?b ?x ?z ?x ?z ?y ?y

? x = c?1 ? y = c? 2 a

? z = ? a?1 ? b? 2 b ?y cb? 2 ?z = ?b = ?y ? z a?1 + b? 2

? ca?1 ?z = ?a x = ?x ? z a?1 + b? 2

于是

a

ca?1 cb? 2 c(a?1 + b? 2 ) ?z ?z +b = + = =c ?x ?y a?1 + b? 2 a?1 + b? 2 a?1 + b? 2
?z ?z , ?x ?y

6、设 f 具有连续偏导数,方程 z = f ( xz , z ? y ) 确定了 z = f ( x, y ) ,求

解:设 F ( x, y , z ) = z ? f ( xz , z ? y ) ,又设 u = xz , v = z ? y ,

则有

?u ?u ?u ?v ?v ?v = z, = 0, = x, =0, = ?1 , = 1 ?x ?z ?x ?z ?y ?y
3

Fx = ? zf1

Fy = f 2

Fz = 1 ? xf1 ? f 2 f2 ?z =? ?y 1 ? xf1 ? f 2
?z ?z , ?x ?y

F zf 1 ?z =? x = ?x Fz 1 ? xf1 ? f 2

7、设 f 具有连续偏导数,方程 f ( x, x + y, x + y + z ) = 0 确定了 z = f ( x, y ) ,求

解:设 F ( x, y , z ) = f ( x, x + y , x + y + z ) ,

Fx = f1 + f 2 + f 3

Fy = f 2 + f 3

Fz = f 3

F f + f 2 + f3 ?z =? x =? 1 ?x Fz f3

f + f2 ?z =? 1 ?y f3

8、求由方程组所确定的函数的导数或偏导数

? z = x2 + y2 ?y ?z (1) ? 2 、 求 , , 2 2 ? x + 2 y + 3z = 20 ?x ?x
解:对等式两边同时求关于 x 的偏导数得

?y ? ?z ? ?x = 2 x + 2 y ?x 就是 ? ?y ?z ?2 x + 4 y + 6 z =0 ?x ?x ?

2x ? 2 y ?y ? ?z ? 2y = 2x ? ?x ?z ? x 2 y 2 xy x ?x 解得 = = = ? ?z ?y 1 ? 2y ?x 2 y (3z + 1) 3z + 1 ?3 z + 2 y = ?x ?x ? ?x 3z 2 y 1 2x 3z ? x ?y x (6 z + 1) = =? 1 ? 2y ?x 2 y (3z + 1) 3z 2 y 1 ? 2 ? x + y 2 = z 2 dx dy (2) ? 、 2 求 dz , dz , ? x+ y+z =2 ?
解:对等式两边同时求关于 z 的偏导数得

dy ? dx ?2 x dz + 2 y dz = z ? dx dy ? + = ?1 ? dz dz

4

z 2y dx ? 1 1 z + 2y 解得 = = dz 2 x 2 y 2( x ? y ) 1 1

2x z 1 ?1 dy z + 2x = =? dz 2 x 2 y 2( x ? y ) 1 1

?u 3 + xv ? y = 0 ?u ?v (3) ? 3 、 求 , , ?v + yu ? x = 0 ?x ?x
解:对等式两边同时求关于 x 的偏导数得

? 2 ?3u ? ? 3v 2 ?

?u ?v + x +v = 0 ?x ?x 就是 ?v ?u +y ?1 = 0 ?x ?x
解得

?v ? 2 ?u ?3u ?x + x ?x = ?v ? ?u ?v ? y + 3v 2 =1 ?x ? ?x ?u = ?x 3u 2 y
(4) ? 、

?v x 1 3v 2

x 3v 2

=?

3v + x 9u 2 v 2 ? xy

3

?v = ?x 3u 2 y

3u 2 y

?v 1

x 3v 2

=

3u 2 + yv 9u 2 v 2 ? xy

? x+ y =u+v ?u ?v 求 , , ? x sin v = y sin u ?y ?y

解:对等式两边同时求关于 y 的偏导数得

?u ?v ? + =1 ? 1= + ? ?y ? y ? ? ?y ?y 即? ? ?v ?u ? y cos u ? u ? x cos v ? v = ? sin u ? x cos v = sin u + y cos u ? ?y ?y ?y ?y ? ? ?
解得:

?

?u

?v

1 1 ?u ? sin u ? x cos v x cos v ? sin u = = 1 1 ?y x cos v + y cos u y cos u ? x cos v 1 1 y cos u ? sin u ?v sin u + y cos u = = 1 1 ?y x cos v + y cos u y cos u ? x cos v

5

习题 8.6 解答 1、 求下列曲线在指定点的切线和法平面 (1) 、曲线 x = t , y = t 2 , z =

t 1 在点 (1,1, ) 1+ t 2
1 1 , 从 而 得 在 点 (1,1, ) 的 切 线 的 方 向 向 量 为 2 2 (1 + t )

解 : x ′(t ) = 1, y ′(t ) = 2t , z ′(t ) =



1? x ?1 y ?1 ? s = ?1,2, ? ,于是得切线方程为: = = 4? 4 8 ?

z?
1

1 2 ;法平面方程为

1 4( x ? 1) + 8( y ? 1) + ( z ? ) = 0 ,即 8 x + 16 y + 2 z ? 25 = 0 2 t π (2) 、曲线 x = t ? sin t , y = 1 ? cos t , z = 4 sin 在 t = 的对应点 2 2 t 解: x ′(t ) = 1 ? cos t , y ′(t ) = sin t , z ′(t ) = 2 cos , 2 → π π t = 的对应点是点 ( ? 1,1,2 2 ) ,该的切线的方向向量为 s = 1,1, 2 ,于是得切线方程 2 2

{

}

x +1?
为:

π 2 = y ? 1 = z ? 2 2 ;法平面方程为 1 1 2

π π ( x + ? ) + ( y ? 1) + 2 ( z ? 2 2 ) = 0 ,即 x + y + 2 z ? ? 4 2 = 0 2 2 π (3) 、曲线 x = 2 sin 2 t , y = 3 sin t cos t , z = cos 2 t 在 t = 的对应点 4
解: x ′(t ) = 4 sin t cos t = 2 sin 2t , y ′(t ) = 3 cos 2t , z ′(t ) = ? sin 2t ,
→ π 3 1 的对应点是点 (1, , ) ,该的切线的方向向量为 s = {2,0, ?1},于是得切线方程为: 4 2 2 3 1 y? z? x ?1 2 = 2 ;法平面方程为 = 2 0 ?1 1 3 2( x ? 1) ? ( z ? ) = 0 ,即 2 x ? z ? = 0 2 2 2t 1? t (4) 、曲线 x = t, y = , z = t 在 (1,01) 1+ t t

t=

解: x ′(t ) =

2(1 + t ) ? 2t 2 1 1 = , y ′(t ) = ? 2 , z ′(t ) = , 2 2 (1 + t ) (1 + t ) t 2 t

→ 1? 1 ? 该的切线的方向向量为 s = ?1,?1, ? = {2,?2,1}, 于是得切线方程为: t = 1 对应着 (1,01) , 2? 2 ?

6

x ?1 y z ?1 ;法平面方程为 = = 2 ?2 1
2( x ? 1) ? 2 y + ( z ? 1) = 0 ,即 2 x ? 2 y + z ? 3 = 0 ?x 2 + y 2 + z 2 ? 3x = 0 (5) 、曲线 ? 在点 (1,1,1) ? 2 x ? 3 y + 5z ? 4 = 0
解:设 F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 ? 3 x , G ( x, y, z ) = 2 x ? 3 y + 5 z ? 4

Fx = 2 x ? 3 , Fy = 2 y Fz = 2 z 于是 n1 = {? 1 2 2} G x = 2 , G y = ?3 G z = 5 于是 n2 = {2 ? 3 5}
→ → → →



i j k → → → 所 以 切 线 的 方 向 向 量 s = n1 × n 2 = ? 1 2 2 ={ 16 9 ? 1} 于 是 得 切 线 方 程 为 : 2 ?3 5 x ?1 y ?1 z ?1 ;法平面方程为 = = 16 9 ?1
16( x ? 1) + 9( y ? 1) ? ( z ? 1) = 0 ,即 16 x + 9 y ? z ? 24 = 0
(6) 、曲线 ?

?x 2 + y 2 = 2
2 2 ?x + z = 2

在点 (1,1,1)

解:设 F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 ? 2 , G ( x, y, z ) = x 2 + z 2 ? 2

Fx = 2 x , Fy = 2 y Fz = 0 于是 n1 = 2{ 1 0} 1 G x = 2 x , G y = 0 G z = 2 z 于是 n2 = 2{ 0 1} 1
→ → → →



i j k → → → 所 以 切 线 的 方 向 向 量 s = n1 × n 2 = 1 1 0 = { ? 1 ? 1} 0 是 得 切 线 方 程 为 : 1 1 0 1 x ?1 y ?1 z ?1 ;法平面方程为 = = 1 ?1 ?1
( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( z ? 1) = 0 ,即 x ? y ? z + 1 = 0
2、 在曲线 x = t , y = 2 , z = t 3 上求一点,使在该点的切线与平面 x + 2 y + z = 10 平行 解:已知平面的法向为 n = { 2 1} ,曲线的切线的方向 s = 1 2t 1
→ →

{

3t 2 ,由题设可知

}

7



n ? s = 0 即 1 + 4t + 3t 2 = 0 解 得 t1 = ?1, t 2 = ?



1 , 所 求 的 点 是 ( ?1,1,?1) 或 者 3

1 1 1 ( ? , ,? ) 3 9 27
3、 求下列曲面在指定点的切平面和法线

x 在点 (1,1,1) z x 解: F ( x, y , z ) = y + ln ? z z → 1 1 Fx = , Fy = 1, Fz = ? ? 1, 切平面的法向为 n = { 1 ? 2},切平面为 1 x z
(1) 、

z = y + ln

( x ? 1) + ( y ? 1) ? 2( z ? 1) = 0 即 x + y ? 2 z = 0
法线为 (2) 、

x ?1 y ?1 z ?1 = = 1 1 ?2 z = x 2 + y 2 在点 (2,1,5)

解: F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 ? z

Fx = 2 x, Fy = 2 y, Fz = ?1, 切平面的法向为 n = {4 2 ? 1},切平面为
4( x ? 2) + 2( y ? 1) ? ( z ? 5) = 0 即 4 x + 2 y ? 5 = 0
法线为 (3) 、



x ? 2 y ?1 z ? 5 = = 4 2 ?1 e z ? z + xy = 3 在点 (2,1,0)

解: F ( x. y, z ) = e z ? z + xy ? 3

Fx = y , Fy = x, Fz = e z ? 1, 切平面的法向为 n = { 2 0},切平面为 1
( x ? 2) + 2( y ? 1) = 0 即 x + 2 y ? 4 = 0
法线为



x ? 2 y ?1 z = = 1 2 0

5、在曲面 z = xy 上求一点,使在该点的法线垂直于平面 x + 3 y + z + 9 = 0 平行 解:所求法线的方向为 n = { 3 1} 1 设 F ( x. y , z ) = xy ? z


Fx = y , Fy = x, Fz = ?1, 切平面的法向为 n = {y



x ? 1},

8

于是有向量 n = { 3 1} = λ {y 1 所以



x ? 1}

y x 1 得 x = ?3, y = ?1, z = 3 ,所求的点是 (? 3 ? 1 3) 。 = = 1 3 ?1
3) 处的切平面与 xoy 面的夹角的余弦

6、求 3 x 2 + y 2 + z 2 = 16 上的点 (? 1 ? 2 解: F ( x. y, z ) = 3 x 2 + y 2 + z 2 ? 16

Fx = 6 x, Fy = 2 y, Fz = 2 z , 切平面的法向为 n = {6 x 2 y 2 z} ( ?1, ?2,3) = {? 6 ? 4 6}, xoy 面的法方向为 k = {0 0 1}
夹角的余弦为 cos θ =




6 22

7、试证明: x + 证明: F ( x. y, z ) =

y + z = a 上任意一点处的切平面在三个坐标轴的截距之和为 a x+ y+ z? a

Fx =

1 1 1 , Fy = Fz = , 2 x0 2 y0 2 z0 1 1 1 ( x ? x0 ) + ( y ? y0 ) + ( z ? z 0 ) = 0 整理为 2 x0 2 y0 2 z0

切平面的方程为

x + x0

y + y0

z = x0 + y 0 + z 0 = a z0 x a x0
+

截距式方程为

y a y0

+

z a z0

=1

所以截距之和为 ( x0 + 8.7 习题

y0 + z 0 ) a = a a = a

1、求函数 z = x 2 + y 2 在点 (1 2) 处沿从该点到点 2


(

2 + 3 的方向的方向导数 ?z ?y = 2y =4

)

解: l = 1

{

3

}l



e

?1 =? ?2

3? ? 2 ?

?z ?x

(1, 2 )

= 2 x (1, 2) = 2

(1, 2 )

(1, 2 )

?z ?l

(1, 2 )

= 2×

1 3 + 4× =1+ 2 3 2 2 ? ?

2、求函数 z = cos( x + y ) 在点 ? 0

π? ? 处沿向量 {3 ? 4} 的方向导数 2?
9



解: l e = ?

?3 ?5

? 4? ? 5 ?

?z ?x

π ( 0, ) 2

= ? sin( x + y ) ?z ?l

π (0, ) 2

= ?1

?z ?y

π ( 0, ) 2

= ? sin( x + y )

π ( 0, ) 2

= ?1

π (0, ) 2

=

?3 4 1 + = 5 5 5 1 3 的方向导数 , cos β = 2 2

3、求函数 z = ln( x 2 + y 2 ) 在点 (1 1) 处沿方向余弦 cos α =


解: l e = ?

?1 ?2

3? ? 2 ?
(1,1)

?z ?x = 1 2

(1,1)

= ?z ?l

x x + y2
2

(1,1)

=

1 2

?z ?y

(1,1)

=

y x + y2
2

(1,1)

=

1+ 3 4 1 3 的方向导数 , cos β = 2 2

3、求函数 z = ln( x 2 + y 2 ) 在点 (1 1) 处沿方向余弦 cos α =


解: l e = ?

?1 ?2

3? ? 2 ?
(1,1)

?z ?x =1

(1,1)

= ?z ?l

2x x + y2
2

(1,1)

=1

?z ?y

(1,1)

=

2y x + y2
2

(1,1)

=

1+ 3 2

4、求函数 z = ln( e ? x +

x2 ) 在点 (1 1) 处沿方向 {a b}的方向导数 y
? ? a2 + b2 ?



解: l e = ?

?
2

a
2

b

? a +b 1

?z ?x

(1,1)

=

1

e ?x +

x y

2

( ?e ? x +

2x 2e ? 1 ) (1,1) = y e +1

?z ?y

(1,1)

=

e?x + a

x2 y
?

(?

x2 ?e ) = 2 (1,1) e +1 y

?z ?l

(1,1)

=

a2 + b2

2e ? 1 ? eb e(2a ? b) ? a + = e + 1 (e + 1) a 2 + b 2 (e + 1) a 2 + b 2

5、求函数 u = xy 2 + z 3 ? xyz 在点 (1 1 2 ) 处沿方向角 α =


π π π , β = , γ = 的方向导数 3 4 3

解: l e = ?

?1 ?2

2 2

1? ? 2?

?u ?x

(1,1, 2 )

= ( y 2 ? yz )) (1,1,1) = ?1

10

?u ?y ?u ?l

(1,1, 2 )

= (2 xy ? xz )) (1,1,1) = 0

?u ?z

(1,1,1)

= (3 z 2 ? xy )) (1,1,1) = 11

(1,1)

=5

6、求函数 u = ( ) z 在点 (1,1,1) 处沿方向 {2 1 ? 1}的方向导数

x y



解: l e = ?

? 2 ? 6

1 6

?1? ? 6? = ?1

?u ?x ?u ?z

(1,1,1)

=

z x z ?1 ( ) y y

(1,1,1)

=1

?u ?y ?u ?l

(1,1,1)

=?

zx x z ?1 ( ) y y
2 6 ? 1 6

(1,1,1)

(1,1,1)

x x = ( ) z ln y y

(1,1,1)

=0

(1,1,1)

=

=

1 6

7、求函数 z = x 2 ? xy + y 2 在点 (1 1) 处沿方向余弦的方向的方向导数,并指出 (1) 、沿什么方向的方向导数最大? (2) 、沿什么方向的方向导数最小? (3) 、沿什么方向的方向导数为零? 解: l e = {cos α


cos β } =1

?z ?x

(1,1)

= (2 x ? y ) (1,1) = 1 = cos α + cos β

?z ?y

(1,1)

= ?x + 2 y

(1,1)

?z ?l

(1,1)

(1) 、

?z ?l

(1,1)

= cos α + cos β = cos α + sin(

π 1 π 1 ? α ) = 2[ sin( ? α ) + sin α ] 2 2 2 2

= 2 sin(
当α = 大。 (2) α = 最小。 (3) α = 零。

π π 3π ? α + ) = 2 sin( ?α) 2 4 4
→ → 2? 2 {1 1} 时,也就是 i + j 方向时方向导数最 ?= 2 ? 2

? 2 π = β 时,即沿方向 ? 4 ? 2

→ → 5π 1 1 时,就是 cos α = ? , cos β = ? 时,也就是 ? i ? j 方向时方向导数 4 2 2

→ → 3π 1 1 时,就是 cos α = ? , cos β = 时,也就是 ? i + j 方向时方向导数为 4 2 2

11

8、求函数 u = x 2 + y 2 + z 2 ? xy + yz 在点 (1 1 1) 处的方向导数的最大值及相应的方向, 并指出在该点沿什么方向的方向导数为零? 解:

?u ?x

(1,1,1)

= (2 x ? y ) (1,1,1) = 1

?u ?y

(1,1,1)

= (2 y ? x + y ) (1,1,1) = 2

?u ?z

(1,1,1) →

= (2 z + y ) (1,1,1) = 3

grad u = { 2 3} 1
?z ?l ?u 由于 ?l

Max

(1,1,1)

= 14 ,相应的方向就是 grad u = { 2 3}的方向, 1 = grad u ? l e 所以当沿与 grad u = { 2 3}方向垂直的方向时,方向导数 1
→ → →



(1,1,1)

为零。 9、如果可微分函数 f ( x, y ) 在点 (1 2) 处沿该点到 (2,2 ) 的方向导数是 2 ,沿该点到 (1,1) 的 方向导数是 ? 2 试求: 、函数在该点的梯度(2) (1) 、函数从该点到点 (4 解: l1 = { 0} 1


6) 的方向导数

l 2 = {0 ? 1}
?z ?l 2 =2
(1, 2 )



?z ?l1
解得

(1, 2 )

=

?f ?f + 0× =2 ?x ?y =2, 4} ?f ?y 2

= 0×

?f ?f ? = ?2 , ?x ?y
→ → →

?f ?x


(1, 2 )

(1, 2 )

所以 grad f = 2( i + j )

(2) l3 = {3 、 所以



(l 3 ) e =


1 {3 4} 5 1 14 (6 + 8) = 5 5
→ → ( 0 , 0 ,0 )

?u ?l 3



(1, 2 )

= grad f ? (l3 ) e =

10、 f ( x, y , z ) = x 2 + 2 y 2 + 3z 2 + xy + 3x ? 2 y ? 6 z 设 解:

求 grad f

及 grad f

(1,1,1)

?f ?x

( 0 , 0 ,0 )

= (2 x + y + 3) (1,1,1) = 3

?f ?x ?f ?y

(1,1,1)

= (2 x + y + 3) (1,1,1) = 6 = (4 y + x ? 2) (1,1,1) = 3

?f ?y ?f ?z

( 0 , 0 ,0 )

= (4 y + x ? 2) ( 0 , 0, 0 ) = ?2

(1,1,1)

( 0 , 0 ,0 )

= (6 z ? 6) (0 , 0 , 0 ) = ?6

?f ?y

(1,1,1)

= (6 z ? 6)

(1,1,1)

=0

12



→ ( 0 , 0, 0 )







→ (1,1,1)



grad f
8.8 习题

= 3 i ? 2 j? 6 k

grad f

= 6 i+3 j

1、求函数 f ( x, y ) = 4( x ? y ) ? x 2 ? y 2 的极值 解: f x = 4 ? 2 x

f y = ?4 ? 2 y 联立
?x=2 ? ? y = ?2

? 4 ? 2x = 0 解得 ? ?? 4 ? 2 y = 0

f xx = ?2

f xy = 0

f yy = ?2 ,于是得 A = ?2.B = 0, C = ?2

AC ? B 2 = 4 > 0 ,且

A < 0 ,所以有极大值

Maxf ( x, y ) = f (2,?2) = 8
2、求函数 f ( x, y ) = xy +

8 27 + 的极值 x y 27 联立 y2

解: f x = y ?

8 x2

fy = x ?
? ?x = ? ?y = ? 4 3 9 2

?8 ? x2 + y = 0 ? 解得 ? 27 ?x ? 2 = 0 ? y ?

f xx =

16 x3

f xy = 1

f yy =

54 27 16 ,于是得 A = .B = 1, C = 3 4 27 y

AC ? B 2 = 4 > 0 ,且

A > 0 ,所以有极小值

4 9 M inf( x, y ) = f ( , ) = 18 3 2
3、求函数 f ( x, y ) = e x ? y ( x 2 ? 2 y 2 ) 的极值 解: f x = ( x 2 ? 2 y 2 + 2 x )e x ? y 联立解得 ?

f y = ( ? x 2 + 2 y 2 ? 4 y )e x ? y
?x 2 ? 2 y 2 + 2 x = 0 ? x = 2y ?
解得 ?

? x 2 ? 2 y 2 + 2x = 0 2 2 ?? x + 2 y ? 4 y = 0

? x = ?4 ? y = ?2

f xx = ( x 2 ? 2 y 2 + 4 x + 2)e x ? y f xy = (? x 2 + 2 y 2 ? 2 x + 4 y )e x ? y
13

f yy = ( x 2 ? 2 y 2 + 8 y ? 4)e x ? y
于是得 A = ?6e ?2 .B = ?8e ?2 , C = ?12e ?2

AC ? B 2 = 8e ?4 > 0 ,且

A < 0 ,所以有极大值

Maxf ( x, y ) = f (?4,?2) = 8e ?2
4、求函数 f ( x, y ) = x 3 + y 3 ? 3( x 2 + y 2 ) 的极值 解: f x = 3 x 2 ? 6 x 联立解得 ?

f y = 3y 2 ? 6y
?x = 0 ? ?y = 0 ?x = 2 ? ?y = 2 ?x = 0 ? ?y = 2 ?x = 2 ? ?y = 0

?3 x 2 ? 6 x = 0 2 ?3 y ? 6 y = 0

f xx = 6 x ? 6

f xy = 0

f yy = 6 y ? 6

于是得 A1 = ?6,.B1 = 0, C = ?6

AC ? B 2 = 36 > 0 ,且 Maxf ( x, y ) = f (0,0) = 0

A < 0 ,所以有极大值

于是得 A2 = 6,.B1 = 0, C = 6

AC ? B 2 = 36 > 0 ,且

A > 0 ,所以有极小值

M inf( x, y ) = f (2,2) = ?8
于是得 A3 = ?6,.B1 = 0, C = 6 同理点 ( 2,0) 不是极值点 4、 要造一个容积为 4m 3 无盖长方体水箱,应该如何选择长、宽、高,能使材料最省? 解:设长、矿、高为 x, y, z 于是得 xyz = 4

AC ? B 2 = ?36 < 0 点 (0,2) 不是极值点

S ( x, y , z ) = xy + 2 yz + 2 zx )
? xLx = xy + 2 xz + λxyz = 0 ? yL = xy + 2 yz + λ zxy = 0 ? y ? ? zL z = 2 xz + 2 yz + λxyz = 0 ? Lλ = xyz ? 4 = 0 ?

令 L( x, y , z , λ ) = 2( xy + yz + zx ) + λ ( xyz ? 4)

14

推出 x = y ,

z=

x 于是 x 3 = 8 2

解得 x = y = 2, z = 1

所以当 x = y = 2, z = 1 时表面积最小,材料最省。 7、求旋转抛物面 z = x 2 + y 2 与平面之间的最短距离

解: d 2 ( x, y ) =

( x + ? z ? 1) 2 3 ( x + y ? z ? 1) 2 + λ(z ? x 2 ? y 2 ) 3 2( x + y ? z ? 1) ? ?λ = 3 ? 1 ? x=y=z= ? 2 ? 1 λ=? ? 3 ? ?

令 L ( x, y , z , λ ) =

2( x + y ? z ? 1) ? ? 2λx = 0 ?Lx = 3 ? 2( x + y ? z ? 1) ?L y = ? 2λ y = 0 ? 3 2( x + y ? z ? 1) ? +λ = 0 ? Lz = ? 3 ? Lλ = z ? x 2 ? y 2 = 0 ? 1 1 1 d 2( , ) = 2 2 12 1 1 3 d( , ) = 2 2 6

8、在 z = 0 平面上求一点,使它到直线 x = 0, y = 0 的距离的平方和到平面 x + 2 y ? 16 = 0 距离的平方的和最小 解: 设所求的点为 ( x, y,0) 于是到 x = 0, y = 0 的距离的平方为 x 2 + y 2 , x + 2 y ? 16 = 0 到

( x + 2 y ? 16) 2 的距离的平方为 ,目标函数为 5

f ( x, y ) =

( x + 2 y ? 16) 2 + x2 + y2 5 8 ? x= ? 5 解得: ? 16 ?y = 5 ? 18 C = f xx = 5 ? 8 16 ? A > 0 ,所以在点 ? 0 ? 取极小值。 ?5 5 ?

2( x + 2 y ? 16) ? fx = + 2x = 0 ? 5 ? 4( x + 2 y ? 16) ? fy = + 2y = 0 5 ? 12 4 A = f xx = B = f xy = 5 5

AC ? B 2 =

12 × 18 ? 16 > 0 ,且 25

9、将周长为 2 p 的矩形绕它的一边旋转而构成圆柱体,问矩形的边长为多少时,圆柱体体
15

积最大? 解:设矩形的边为 x, y 则 x + y = p

V ( x, y ) = πx 2 y
? ? x = 2y ? 2p ? ?x = 3 ? ?y= p ? 3 ?

? Lx = 2πxy + λ = 0 ? L( x, y , λ ) = πx y + λ ( x + y ? p) ? L y = πx 2 + λ = 0 ?L = x + y ? p = 0 ? λ
2

所以当矩形的边长为

p 2p 时圆柱体体积最大。 , 3 3

10、求内界于椭球

x2 y2 z 2 + + = 1的长方体体积的最大值(各表面与坐标面平行) a2 b2 c2

解:设长方体的长、宽、高依次为 2 x, 2 y ,2 z 则 V ( x, y, z ) = xyz

令 L( x, y , z , λ ) = xyz + λ (

x2 y2 z 2 + + ? 1) a2 b2 c2
? x2 y2 z 2 = = =t ? a2 b2 c2 ? 2 ?x = a 2t, y 2 = b 2t, z 2 = c 2t ? 1 ? t2 = ? 3 ? ? 3 abc 9

? 2x 2 xL x = xyz + λ 2 = 0 ? a ? 2 ? yL = xyz + λ 2 y = 0 y ? b2 ? 2 ? L z = xyz + λ 2 z = 0 ? c2 2 2 ? x y z2 Lλ = 2 + 2 + 2 ? 1 = 0 ? a b c ?

x=

a 3

y=

b c z= 3 3

MaxV =

第八章习题解答完毕 2008 年 4 月 14

16


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