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高邑县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

高邑县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 设函数 y=

的定义域为 M,集合 N={y|y=x2,x∈R},则 M∩N=(



A.? B.N C.[1,+∞)D.M

2. 已知两条直线 ax+y﹣2=0 和 3x+(a+2)y+1=0 互相平行,则实数 a 等于( )

A.1 或﹣3 B.﹣1 或 3 C.1 或 3 D.﹣1 或﹣3

3. 已知函数 f(x)满足 f(x)=f(π﹣x),且当 x∈(﹣ , )时,f(x)=ex+sinx,则(



A.

B.

C.

D.

11

4. 设 a , b 为正实数, a ? b ? 2 2 , (a ? b)2 ? 4(ab)3 ,则 loga b =(



A. 0

B. ?1

C.1

D. ?1或 0

【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识,意在考查代数变形能与运算求解能力.

5. 函数 g(x)是偶函数,函数 f(x)=g(x﹣m),若存在 φ∈( , ),使 f(sinφ)=f(cosφ),则实

数 m 的取值范围是( )

A.(

) B.( , ] C.(

) D.(

]

6. 已知命题 p : f (x) ? ax (a ? 0 且 a ? 1) 是单调增函数;命题 q : ?x ?(? , 5? ) , sin x ? cos x . 44
则下列命题为真命题的是( )

A. p ? q

B. p ? ?q

C. ?p ? ?q

D. ?p ? q

7. 函数 f (x) = ln x + 1 x2 +ax 存在与直线 3x ? y ? 0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是(



2

A. (0,??)

B. (??,2)

C. (2,??)

D. (??,1]

【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识,意在考查转化与化归的思想和基本运算能力.

8. 已知 x,y 满足

,且目标函数 z=2x+y 的最小值为 1,则实数 a 的值是( )

A.1 B. C. D.

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9. i 是虚数单位,计算 i+i2+i3=(

A.﹣1

B.1

) C.﹣i

10.已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为

数列{an}是(



A.公差为 a 的等差数列 B.公差为﹣a 的等差数列

C.公比为 a 的等比数列 D.公比为 的等比数列

D.i ,设物体第 n 秒内的位移为 an,则

11.若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=﹣1,其导函数 f′(x)满足 f′(x)>k>1,则下列结论中一 定错误的是( )

A.

B.

C.

D.

12.数列{an}满足 a1= ,

=

A. B. C. D.

﹣1(n∈N*),则 a10=(



二、填空题
13.已知平面上两点 M(﹣5,0)和 N(5,0),若直线上存在点 P 使|PM|﹣|PN|=6,则称该直线为“单曲型 直线”,下列直线中:

①y=x+1 ②y=2 ③y= x ④y=2x+1

是“单曲型直线”的是



14.平面向量 , 满足|2 ﹣ |=1,| ﹣2 |=1,则 的取值范围



15.定义:[x](x∈R)表示不超过 x 的最大整数.例如[1.5]=1,[﹣0.5]=﹣1.给出下列结论:

①函数 y=[sinx]是奇函数;

②函数 y=[sinx]是周期为 2π 的周期函数;

③函数 y=[sinx]﹣cosx 不存在零点;

④函数 y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2,﹣1,0,1}.

其中正确的是

.(填上所有正确命题的编号)

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?y ? m 16.设 m ? R ,实数 x , y 满足 ??2x ? 3y ? 6 ? 0 ,若 2x ? y ? 18 ,则实数 m 的取值范围是___________.
??3x ? 2 y ? 6 ? 0

【命题意图】本题考查二元不等式(组)表示平面区域以及含参范围等基础知识,意在考查数形结合的数学思

想与运算求解能力. 17.在(1+2x)10 的展开式中,x2 项的系数为

(结果用数值表示).

18.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与 AC 所成的角是

°.

三、解答题

19.如图,在四棱锥

中,等边

中点, 为 的中点,且

所在的平面与正方形

所在的平面互相垂直, 为 的

(Ⅰ)求证:

平面



(Ⅱ)求二面角

的余弦值;

(Ⅲ)在线段 上是否存在点 ,使线段 与

求出 的长,若不存在,请说明理由.

所在平面成 角.若存在,

20.已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (2)设 a> ,且当 x∈[ ,a]时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围.
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? ? 21.本小题满分 12 分 已知数列 an 中,a1 ? 3, a2 ? 5 ,其前 n 项和 Sn 满足 Sn ? Sn?2 ? 2Sn?1 ? 2n?1(n ? 3) .

Ⅰ求数列 ?an ?的通项公式 an ;



若 bn

?

log2

(

256 a2n ?

) 1

n ? N *,设数列?bn? 的前 n 的和为 Sn ,当 n 为何值时, Sn 有最大值,并求最大值.

22.已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1,底面三角形 ABC 为正三角形,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=2,AA1=4,E 为 AA1 的中点,F 为 BC 的中点 (1)求证:直线 AF∥平面 BEC1 (2)求 A 到平面 BEC1 的距离.

23.已知函数 f(x)=loga(1+x)﹣loga(1﹣x)(a>0,a≠1). (Ⅰ)判断 f(x)奇偶性,并证明; (Ⅱ)当 0<a<1 时,解不等式 f(x)>0.
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24.已知( + )n 展开式中的所有二项式系数和为 512, (1)求展开式中的常数项; (2)求展开式中所有项的系数之和.
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高邑县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B

【解析】解:根据题意得:x+1≥0,解得 x≥﹣1, ∴函数的定义域 M={x|x≥﹣1}; ∵集合 N 中的函数 y=x2≥0, ∴集合 N={y|y≥0}, 则 M∩N={y|y≥0}=N. 故选 B

2. 【答案】A 【解析】解:两条直线 ax+y﹣2=0 和 3x+(a+2)y+1=0 互相平行,
所以 = ≠ ,
解得 a=﹣3,或 a=1. 故选:A.

3. 【答案】D

【解析】解:由 f(x)=f(π﹣x)知, ∴f( )=f(π﹣ )=f( ),

∵当 x∈(﹣ , )时,f(x)=ex+sinx 为增函数

∵<<<,

∴f( )<f( )<f( ),

∴f( )<f( 故选:D

)<f(

),

4. 【答案】B.

11

a?b

【解析】 (a ? b)2 ? 4(ab)3 ? (a ? b)2 ? 4ab ? 4(ab)3 ,故 ? ? 2 2 ?

?2 2

ab

ab

?

(a ? b)2 (ab)2

?8?

4ab ? 4(ab)3 (ab) 2

?

4(ab ?

1 )?8? ab

ab ?

1 ab

?

2 ,而事实上 ab ?

1 ab

?

2

ab ? 1 ? 2 , ab

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∴ ab ?1 ,∴ loga b ? ?1,故选 B.
5. 【答案】A 【解析】解:∵函数 g(x)是偶函数,函数 f(x)=g(x﹣m), ∴函数 f(x)关于 x=m 对称,

若 φ∈( , ),

则 sinφ>cosφ, 则由 f(sinφ)=f(cosφ),



=m,

即 m=

= (sinφ× + cosαφ)= sin(φ+ )

当 φ∈( , ),则 φ+ ∈( , ),

则 < sin(φ+ )< ,

则 <m< ,
故选:A 【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质,利用辅助角公式是解决本 题的关键.

6. 【答案】D 【解析】

考点:1、指数函数与三角函数的性质;2、真值表的应用.

7. 【答案】D

【解析】因为 f ?(x) ? 1 ? x ? a ,直线的 3x ? y ? 0 的斜率为 3 ,由题意知方程 1 ? x ? a ? 3 ( x >0 )有解,

x

x

因为 x + 1 ? 2 ,所以 a ? 1,故选 D. x

8. 【答案】B

【解析】解:由约束条件

作出可行域如图,

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由图可知 A(a,a), 化目标函数 z=2x+y 为 y=﹣2x+z, 由图可知,当直线 y=﹣2x+z 过 A(a,a)时直线在 y 轴上的截距最小,z 最小,z 的最小值为 2a+a=3a=1,解 得:a= . 故选:B. 【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
9. 【答案】A
【解析】解:由复数性质知:i2=﹣1 故 i+i2+i3=i+(﹣1)+(﹣i)=﹣1 故选 A 【点评】本题考查复数幂的运算,是基础题.
10.【答案】A

【解析】解:∵



∴an=S(n)﹣s(n﹣1)=

=

∴an﹣an﹣1=

=a

∴数列{an}是以 a 为公差的等差数列 故选 A 【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式,等差数列的定义的应用,属于数列知识的简单 应用

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11.【答案】C 【解析】解;∵f′(x)= f′(x)>k>1, ∴

>k>1,



>k>1,

当 x=

时,f(

)+1>

×k=



即 f(



﹣1=

故 f( 所以 f( 故选:C.

)> )<

, ,一定出错,

12.【答案】C

【解析】解:∵

=

﹣1(n∈N*),





=﹣1,

∴数列

是等差数列,首项为

=﹣2,公差为﹣1.



=﹣2﹣(n﹣1)=﹣n﹣1,

∴an=1﹣ = .
∴a10= . 故选:C. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

二、填空题
13.【答案】 ①② .

【解析】解:∵|PM|﹣|PN|=6∴点 P 在以 M、N 为焦点的双曲线的右支上,即

,(x>0).

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对于①,联立

,消 y 得 7x2﹣18x﹣153=0,

∵△=(﹣18)2﹣4×7×(﹣153)>0,∴y=x+1 是“单曲型直线”.

对于②,联立

,消 y 得 x2= ,∴y=2 是“单曲型直线”.

对于③,联立

,整理得 144=0,不成立.∴

不是“单曲型直线”.

对于④,联立

,消 y 得 20x2+36x+153=0,

∵△=362﹣4×20×153<0∴y=2x+1 不是“单曲型直线”. 故符合题意的有①②. 故答案为:①②. 【点评】本题考查“单曲型直线”的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意双曲线定义的合理运用.

14.【答案】 [ ,1] .

【解析】解:设两个向量的夹角为 θ,

因为|2 ﹣ |=1,| ﹣2 |=1,

所以





所以



=

所以 5

=1,所以

,所以 5a2﹣1∈[

],

[ ,1],

所以



故答案为:[ ,1]. 【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义,求向量数量积的范 围.

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15.【答案】 ②③④

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【解析】解:①函数 y=[sinx]是非奇非偶函数; ②函数 y=[sinx]的周期与 y=sinx 的周期相同,故是周期为 2π 的周期函数; ③函数 y=[sinx]的取值是﹣1,0,1,故 y=[sinx]﹣cosx 不存在零点; ④函数数 y=[sinx]、y=[cosx]的取值是﹣1,0,1,故 y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2,﹣1,0,1}. 故答案为:②③④. 【点评】本题考查命题的真假判断,考查新定义,正确理解新定义是关键.

16.【答案】[?3, 6] .









17.【答案】 180 【解析】解:由二项式定理的通项公式 Tr+1=Cnran﹣r br 可设含 x2 项的项是 Tr+1=C7r (2x)r 可知 r=2,所以系数为 C102×4=180, 故答案为:180.
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【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用,属于基础题型,难度系数 0.9.一般地通项公式主要应 用有求常数项,有理项,求系数,二项式系数等.
18.【答案】 60° °.
【解析】解:连结 BC1、A1C1, ∵在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1A 平行且等于 C1C, ∴四边形 AA1C1C 为平行四边形,可得 A1C1∥AC, 因此∠BA1C1(或其补角)是异面直线 A1B 与 AC 所成的角, 设正方体的棱长为 a,则△A1B1C 中 A1B=BC1=C1A1= a, ∴△A1B1C 是等边三角形,可得∠BA1C1=60°, 即异面直线 A1B 与 AC 所成的角等于 60°. 故答案为:60°.

【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小,着重考查了正方体的性质、空间角的 定义及其求法等知识,属于中档题.

三、解答题

19.【答案】 【解析】【知识点】空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直

【试题解析】(Ⅰ)

平面

平面

平面



是等边三角形, 为 的中点,

, 是交线,

平面

(Ⅱ)取 分别以

的中点 , 底面

是正方形,



两两垂直.

的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系,









设平面 的法向量为





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平面 的法向量即为平面

的法向量



由图形可知所求二面角为锐角,

(Ⅲ)设在线段 上存在点

使线段 与

所在平面成

, 角,

平面 的法向量为



,解得

, , ,适合

在线段 上存在点 ,当线段 20.【答案】

时,与

【解析】解:(1)由|2x﹣1|+|2x+2|<x+3,得:



得 x∈?;

所在平 面成 角.



得 0<x≤ ;







综上:不等式 f(x)<g(x)的解集为 (2)∵a> ,x∈[ ,a], ∴f(x)=4x+a﹣1… 由 f(x)≤g(x)得:3x≤4﹣a,即 x≤

依题意:[ ,a]?(﹣∞,

]

∴a≤

即 a≤1…

∴a 的取值范围是( ,1]…

… .

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21.【答案】

? ? ? ? 【解析】Ⅰ由题意知 Sn ? Sn?1 ? Sn?1 ? Sn?2 ? 2n?1 n ? 3 , 即 an ? an?1 ? 2n?1 n ? 3
an ? (an ? an?1 ) ? (an ? an?1 ) ? ...... ? (a3 ? a2 ) ? a2
? 2n?1 ? 2n?2 ? ... ? 22 ? 5 ? 2n?1 ? 2n?2 ? ... ? 22 ? 2 ?1? 2 ? 2n ?1?n ? 3?

检验知 n=1, 2 时,结论也成立,故 an=2n+1.



由 bn

?

log2

(

256 a2n ?

) 1

?

log2

28 22n

? log2 28?2n

? 8 ? 2n

n? N*

法一: 当1 ? n ? 3 时, bn ? 8 ? 2n ? 0 ;当 n ? 4 时, bn ? 8 ? 2n ? 0 ;

当 n ? 5时, bn ? 8 ? 2n ? 0 故 n ? 3或n ? 4 时, Sn 达最大值, S3 ? S4 ? 12 .
法二:可利用等差数列的求和公式求解

22.【答案】

【解析】解:(1)取 BC1 的中点 H,连接 HE、HF,

则△BCC1 中,HF∥CC1 且 HF= CC1

又∵平行四边形 AA1C1C 中,AE∥CC1 且 AE=CC1 ∴AE∥HF 且 AE=HF,可得四边形 AFHE 为平行四边形, ∴AF∥HE, ∵AF?平面 REC1,HE?平面 REC1 ∴AF∥平面 REC1.…

(2)等边△ABC 中,高 AF=

= ,所以 EH=AF=

由三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是正三棱柱,得 C1 到平面 AA1B1B 的距离等于 ∵Rt△A1C1E≌Rt△ABE,∴EC1=EB,得 EH⊥BC1

可得 S△

= BC1?EH= ×

×= ,

而 S△ABE= AB×BE=2

由等体积法得 VA﹣BEC1=VC1﹣BEC,

∴ S△

×d= S△ABE× ,(d 为点 A 到平面 BEC1 的距离)

即 × ×d= ×2× ,解之得 d=

∴点 A 到平面 BEC1 的距离等于 .…

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【点评】本题在正三棱柱中求证线面平行,并求点到平面的距离.着重考查了正三棱柱的性质、线面平行判定 定理和等体积法求点到平面的距离等知识,属于中档题.
23.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)由

,得



即﹣1<x<1,即定义域为(﹣1,1), 则 f(﹣x)=loga(1﹣x)﹣loga(1+x)=﹣[loga(1+x)﹣loga(1﹣x)]=﹣f(x), 则 f(x)为奇函数. (Ⅱ)当 0<a<1 时,由 f(x)>0, 即 loga(1+x)﹣loga(1﹣x)>0, 即 loga(1+x)>loga(1﹣x), 则 1+x<1﹣x, 解得﹣1<x<0, 则不等式解集为:(﹣1,0). 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解,利用定义法以及对数函数的单调性是解决本 题的关键.

24.【答案】 【解析】解:(1)对(

+ )n,所有二项式系数和为 2n=512,

解得 n=9; 设 Tr+1 为常数项,则:

Tr+1=C9r

=C9r2r



由 ﹣r=0,得 r=3, ∴常数项为:C9323=672;

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(2)令 x=1,得(1+2)9=39. 【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题,也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题,是基础 题.
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