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无极县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

无极县第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 以 A. C. B. D. 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )

姓名__________

分数__________

2. 函数 f(x)=( )x2﹣9 的单调递减区间为( A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) =( A.16 ) B.﹣16 C.8
2



C.(﹣9,+∞) D.(﹣∞,﹣9)

3. 已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)﹣g(x)=x3﹣2x2,则 f(2)+g(2) D.﹣8 )

4. 集合 U=R,A={x|x ﹣x﹣2<0},B={x|y=ln(1﹣x)},则图中阴影部分表示的集合是(

A.{x|x≥1}

B.{x|1≤x<2}
x

C.{x|0<x≤1}

D.{x|x≤1} )

?a -1,x≤1 5. 已知函数 f(x)=? (a>0 且 a≠1),若 f(1)=1,f(b)=-3,则 f(5-b)=( 1 log ,x>1 ? x+1
a

1 A.- 4 3 C.- 4

1 B.- 2 5 D.- 4

6. 一个多面体的直观图和三视图如图所示,点 M 是边 AB 上的动点,记四面体 E ? FMC 的体 积为 V1 ,多面体 ADF ? BCE 的体积为 V2 ,则 A.

1 4

B.

1 3

V1 ?( V2 1 C. 2

)1111] D.不是定值,随点 M 的变化而变化

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7. 设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M,N,则当|MN|达到最小时 t 的值为( A.1 B. C. D.



8. 下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数为( A.y=x﹣1 B.y=lnx C.y=x3 D.y=|x|



9. 设 Sn 是等差数列 {an } 的前项和,若 A.1 A.1 B.2 B. C.3 C.2 D.4 D.4

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5



10.已知向量 =(1,n), =(﹣1,n﹣2),若 与 共线.则 n 等于(



11.与椭圆 A. C. B. D.

有公共焦点,且离心率

的双曲线方程为(



12.高三年上学期期末考试中,某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示,数据分组依次如下:[70,90), [90,110),[100,130),[130,150),估计该班级数学成绩的平均分等于( )

A.112 B.114 C.116 D.120

二、填空题

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13.已知函数

,则

__________;

的最小值为__________.

14.已知 f ( x ) 是定义在 R 上函数, f ?( x ) 是 f ( x ) 的导数,给出结论如下: ①若 f ?( x) ? f ( x) ? 0 ,且 f (0) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? e? x 的解集为 (0, ??) ; ②若 f ?( x) ? f ( x) ? 0 ,则 f (2015) ? ef (2014) ; ③若 xf ?( x) ? 2 f ( x) ? 0 ,则 f (2n?1 ) ? 4 f (2n ), n ? N ? ;

f ( x) ? 0 ,且 f (0) ? e ,则函数 xf ( x) 有极小值 0 ; x ex ⑤若 xf ?( x) ? f ( x) ? ,且 f (1) ? e ,则函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上递增. x
④若 f ?( x) ? 其中所有正确结论的序号是 .

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 15 . 设 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 , 则 z ? (a2 ? 1) x ? 3(a2 ? 1) y 的 最 小 值 是 ?20 , 则 实 数 ? x ? y ?1 ? 0 ?

a ? ______.
【命题意图】本题考查线性规划问题,意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力. 16. 一个正四棱台, 其上、 下底面均为正方形, 边长分别为 2cm 和 4cm ,侧棱长为 2cm ,

则其 表面积为__________ cm2 .
17.设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F , A, B 两点在抛物线上,且 A , B , F 三点共线,过 AB 的中点 M 作 y 轴
2

的垂线与抛物线在第一象限内交于点 P ,若 PF ? 18.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 ,

3 ,则 M 点的横坐标为 2

.

BC ? 3 , E 在 AC 上,若 BE ? AC ,
则 ED 的长=____________

三、解答题
19.已知函数 f(x)=loga(x2+2),若 f(5)=3; (1)求 a 的值; (2)求 的值; (3)解不等式 f(x)<f(x+2).

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20. (本小题满分 12 分) 在多面体 ABCDEFG 中, 四边形 ABCD 与 CDEF 均为正方形,CF ? 平面 ABCD ,

BG ? 平面 ABCD ,且 AB ? 2 BG ? 4 BH .
(1)求证:平面 AGH ? 平面 EFG ; (2)求二面角 D ? FG ? E 的大小的余弦值.

21.某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润与投资单位是万元) (1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式. (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资,才能 使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元.(精确到 1 万元).

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22.已知 F1,F2 分别是椭圆 且|PF1|=4,PF1⊥PF2. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)求点 P 的坐标.

=1(9>m>0)的左右焦点,P 是该椭圆上一定点,若点 P 在第一象限,

23.求函数 f(x)=

﹣4x+4 在[0,3]上的最大值与最小值.

24.已知等差数列{an}满足 a1+a2=3,a4﹣a3=1.设等比数列{bn}且 b2=a4,b3=a8 (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 cn=an+bn,求数列{cn}前 n 项的和 Sn.

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无极县第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:双曲线 ﹣4)和(0,4). ∴椭圆的焦点坐标是为(0,﹣2 ∴椭圆方程为 故选 D. 【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用,解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质. 2. 【答案】B 【解析】解:原函数是由 t=x 与 y=(
2

的顶点为(0,﹣2

)和(0,2

),焦点为(0,

)和(0,2 .

),顶点为(0,﹣4)和(0,4).

) ﹣9 复合而成,

t

∵t=x2 在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)为增函数; 又 y=( ) ﹣9 其定义域上为减函数,
x2 t

∴f(x)=( ) ﹣9 在(﹣∞,0)上是增函数,在(0,+∞)为减函数,
x2 ∴函数 ff(x)=( ) ﹣9 的单调递减区间是(0,+∞).

故选:B. 【点评】本题考查复合函数的单调性,讨论内层函数和外层函数的单调性,根据“同増异减”再来判断是关键. 3. 【答案】B 【解析】解:∵f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)﹣g(x)=x ﹣2x ,
3 2 ∴f(﹣2)﹣g(﹣2)=(﹣2) ﹣2×(﹣2) =﹣16. 3 2

即 f(2)+g(2)=f(﹣2)﹣g(﹣2)=﹣16. 故选:B. 【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法,考查计算能力. 4. 【答案】B 【解析】 解: 由 Venn 图可知, 阴影部分的元素为属于 A 当不属于 B 的元素构成, 所以用集合表示为 A∩ (?UB) . A={x|x2﹣x﹣2<0}={x|﹣1<x<2},B={x|y=ln(1﹣x)}={x|1﹣x>0}={x|x<1}, 则?UB={x|x≥1}, 则 A∩(?UB)={x|1≤x<2}.

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故选:B. 【点评】本题主要考查 Venn 图表达 集合的关系和运算,比较基础. 5. 【答案】 【解析】解析:选 C.由题意得 a-1=1,∴a=2. 若 b≤1,则 2b-1=-3,即 2b=-2,无解. 1 1 1 ∴b>1,即有 log2 =-3,∴ = ,∴b=7. b+1 b+1 8 3 ∴f(5-b)=f(-2)=2-2-1=- ,故选 C. 4 6. 【答案】B 【 解 析 】

考 点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 7. 【答案】D 【解析】解:设函数 y=f(x)﹣g(x)=x ﹣lnx,求导数得 = 当 当 所以当 时,y′<0,函数在 时,y′>0,函数在 时,所设函数的最小值为 上为单调减函数, 上为单调增函数
2

所求 t 的值为 故选 D 【点评】可以结合两个函数的草图,发现在(0,+∞)上 x >lnx 恒成立,问题转化为求两个函数差的最小值 对应的自变量 x 的值.
2

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8. 【答案】D 【解析】解:选项 A:y= 在(0,+∞)上单调递减,不正确;

选项 B:定义域为(0,+∞),不关于原点对称,故 y=lnx 为非奇非偶函数,不正确;
3 3 3 3 选项 C:记 f(x)=x ,∵f(﹣x)=(﹣x) =﹣x ,∴f(﹣x)=﹣f(x),故 f(x)是奇函数,又∵y=x 区间

(0,+∞)上单调递增,符合条件,正确; 选项 D:记 f(x)=|x|,∵f(﹣x)=|﹣x|=|x|,∴f(x)≠﹣f(x),故 y=|x|不是奇函数,不正确. 故选 D 9. 【答案】A 【解析】1111]

9(a1 ? a9 ) S9 9a 2 试题分析: ? ? 5 ? 1 .故选 A.111] S5 5(a1 ? a5 ) 5a3 2
考点:等差数列的前项和. 10.【答案】A 【解析】解:∵向量 =(1,n), =(﹣1,n﹣2),且 与 共线. ∴1×(n﹣2)=﹣1×n,解之得 n=1 故选:A 11.【答案】 A 【解析】解:由于椭圆的标准方程为:

2 2 2 则 c =13 ﹣12 =25

则 c=5 又∵双曲线的离心率 ∴a=4,b=3 又因为且椭圆的焦点在 x 轴上, ∴双曲线的方程为:

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故选 A 【点评】运用待定系数法求椭圆(双曲线)的标准方程,即设法建立关于 a,b 的方程组,先定型、再定量,
2 2 若位置不确定时,考虑是否两解,有时为了解题需要,椭圆方程可设为 mx +ny =1(m>0,n>0,m≠n),双 2 2 曲线方程可设为 mx ﹣ny =1(m>0,n>0,m≠n),由题目所给条件求出 m,n 即可.

12.【答案】B 【解析】解:根据频率分布直方图,得; 该班级数学成绩的平均分是 =80×0.005×20+100×0.015×20 +120×0.02×20+140×0.01×20 =114. 故选:B. 【点评】本题考查了根据频率分布直方图,求数据的平均数的应用问题,是基础题目.

二、填空题
13.【答案】 【解析】【知识点】分段函数,抽象函数与复合函数 【试题解析】 当 当 故 时, 时, 的最小值为

故答案为: 14.【答案】②④⑤ 【解析】解析:构造函数 g ( x) ? e f ( x) , g ?( x) ? e [ f ( x) ? f ?( x)] ? 0 , g ( x) 在 R 上递增,
x x

∴ f ( x) ? e

? ex f ( x) ? 1 ? g ( x) ? g (0) ? x ? 0 ,∴①错误; f ( x) f ?( x) ? f ( x) ? 0 , g ( x) 在 R 上递增,∴ g (2015) ? g (2014) , 构造函数 g ( x ) ? , g ?( x) ? x e ex ∴ f (2015) ? ef (2014) ∴②正确; 2 2 构造函数 g ( x) ? x f ( x) , g ?( x) ? 2xf ( x) ? x f ?( x) ? x[2 f ( x) ? xf ?( x)] ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g (2n?1 ) ? g (2n ) ,∴ f (2n?1 ) ? 4 f (2n ) ,∴③错误;
由 f ?( x) ?

?x

f ( x) xf ?( x) ? f ( x) ? xf ( x) ?? ? 0 ,∴函数 xf ( x) 在 (0, ??) 上递增,在 (??, 0) 上递 ?0得 ? 0 ,即 x x x

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减,∴函数 xf ( x) 的极小值为 0 ? f (0) ? 0 ,∴④正确;

ex e x ? xf ( x) 得 f ?( x) ? ,设 g ( x) ? e x ? xf ( x) ,则 2 x x x e ex x x ? ? g ( x) ? e ? f ( x) ? xf ( x) ? e ? ? ( x ? 1) ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,∴当 x x x ? 0 时, g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ,∴⑤正确. 15.【答案】 ?2
由 xf ?( x) ? f ( x) ? 【 解 析 】

16.【答案】 12 3 ? 20 【解析】

考 点:棱台的表面积的求解. 17.【答案】2

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【解析】 由题意, 得 p ? 2 ,F (1, 0) , 准线为 x ? ?1 , 设 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) , 直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

2k 2 ? 4 代入抛物线方程消去 y ,得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 1 .又设 P( x0 , y0 ) , k2 1 1 2 1 1 2 则 y0 ? ( y1 ? y2 ) ? [k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1)] ? ,所以 x0 ? 2 ,所以 P( 2 , ) . 2 2 k k k k 1 3 因为 | PF |? x0 ? 1 ? 2 ? 1 ? ,解得 k 2 ? 2 ,所以 M 点的横坐标为 2. k 2
2 2 2 2

18.【答案】

21 2

【解析】在 Rt△ABC 中,BC=3,AB= 3,所以∠BAC=60° . 3 因为 BE⊥AC,AB= 3,所以 AE= ,在△EAD 中,∠EAD=30° ,AD=3,由余弦定理知,ED2=AE2+AD2 2 3 3 3 21 21 -2AE· AD· cos∠EAD= +9-2× ×3× = ,故 ED= . 4 2 2 4 2

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)∵f(5)=3, ∴ 即 loga27=3 解锝:a=3… (2)由(1)得函数 则 即为 化简不等式得 ∵函数 y=log3x 在(0,+∞)上为增函数,且
2 2 ∴x +2<x +4x+6…



, …

=

(3)不等式 f(x)<f(x+2),

… 的定义域为 R.

即 4x>﹣4, 解得 x>﹣1, 所以不等式的解集为:(﹣1,+∞)… 20.【答案】 【解析】【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识,意在考查

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空间想象能力、逻辑推理能力,以及转化的思想、方程思想.

∵ GH ? 平面 AGH ,∴平面 AGH ? 平面 EFG .……………………………5 分

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21.【答案】 【解析】解:(1)投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元, 由题设 f(x)=k1x,g(x)=k2 由图知 f(1)= ,∴k1= 又 g(4)= ,∴k2= 从而 f(x)= ,g(x)= (x≥0) ,(k1,k2≠0;x≥0)

(2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10﹣x 万元,设企业的利润为 y 万元 y=f(x)+g(10﹣x)= ,(0≤x≤10),

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,∴

(0≤t≤



当 t= ,ymax≈4,此时 x=3.75 ∴当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,企业获得最大利润约为 4 万元. 【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题.解题 的关键是换元,利用二次函数的求最值的方法求解. 22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由已知得:|PF2|=6﹣4=2, 在△PF1F2 中,由勾股定理得, 即 4c =20,解得 c =5. ∴m=9﹣5=4; (Ⅱ)设 P 点坐标为(x0,y0),由(Ⅰ)知, ∵ , , , ,
2 2





,解得



∴P(

).

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查了椭圆的简单性质,属中档题. 23.【答案】 【解析】解:∵ ∵x∈[0,3],∴x=2, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x 0 (0,2) 2 (2,3) f′(x) f(x) 4 ﹣ 单调递减 0 极小值 + 单调递增 1 3
2 ,∴f′(x)=x ﹣4,

2 由 f′(x)=x ﹣4=0,得 x=2,或 x=﹣2,

由上表可知, 当 x=0 时,f(x)max=f(0)=4, 当 x=2 时, .

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24.【答案】 【解析】解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则由 解得: , ,可得 ,…

∴由等差数列通项公式可知:an=a1+(n﹣1)d=n, ∴数列{an}的通项公式 an=n, ∴a4=4,a8=8 设等比数列{bn}的公比为 q,则 解得 ∴ (2)∵ ∴ = = , . , , ; … , ,

∴数列{cn}前 n 项的和 Sn=

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