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广东省普宁市勤建学校2016_2017学年高一数学下学期第一次月考试题

普宁勤建中学 2016-2017 学年度高一第二学期第一次月考 数学试题
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴 的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每

小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在 选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须 用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答,答案无效。 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.命题“ ?x ? R,sin x ? 1 ”的否定是 A. ?x ? R,sin x ? 1 C. ?x ? R,sin x ? 1 B. ?x ? R,sin x ? 1 D. ?x ? R,sin x ? 1

2.已知向量 a ? ?1, ?2,1? ,则下列与 a 共线的向量 A. ?1, 2,1?
2

?

?

B. ?1, 2, ?1?

C.

? ?1, 2, ?1?

D.

? ?1, ?2, ?1?

3.抛物线 y ? 2 x 的焦点到其准线的距离为 A. 2 B. 1 C.

1 2

D.

1 4

4.与双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1有相同的渐近线的双曲线 E 的离心率为 16 9
5 4
C.

A.

5 3

B.

5 5 或 3 4
2

D.

5 5 或 3 3

2 2 ? a ?b ? a ?b 5. " a ? 0, b ? 0" 时“ ? ”的 ? ? 2 ? 2 ?

A. 充分不必要条件 C.充要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.平面内到 x 轴于与到 y 轴的距离之和为 1 的点的轨迹围成的图形的面积为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7.若 " p ? ?q " 为假命题, " ?p ? q " 为真命题,则 p, q 的真假为

1

A. p 假且 q 假 C. p 真且 q 假

B. p 假, q 真或 q 假 D. p 真, q 真或 q 假

8. 如图,已知向量 PA, PB, PC 均为单位向量 ,且两两夹角均为

??? ? ??? ? ??? ?

60? ,

??? ? ??? ? E , F 分别为 AC , BC 的中点,则向量 PE ? PF 等于
5 5 5 5 B. C. D. 8 6 4 2 ? ? ? ? ?? 9.已知 a ? ? 2,5,3? , b ? ?1, 2,1? , c ? ? x, 4, z ? ,若 a, b, c 三向量共面,则 x ? z 的值为
A. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10.已知 F1 , F2 分别为双曲线 C : 则 ?PF1F2 外接圆的半径为

x2 y 2 ? ? 1的左、右焦点,P 为 C 右支上一点,且 PF1 ? 2 PF2 , 4 5

A.

2 15 15

B.

4 15 15

C.

8 15 15

D.

16 15 15

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. 已知锐角△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 acosB=4csinC﹣bcosA, 则 cosC= 14.当 x∈R 时,一元二次不等式 x ﹣kx+1>0 恒成 立,则 k 的取值范围是 15.若△ABC 的内角满足 sinA+ sinB=2sinC,则 cosC 的最小值是 .
2





16.已知实数 x,y 满足

,若 z=ax+y 有最大值 7,则实数 a 的值为



三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.已知棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 B1C1,C1D1 的中点. (I)求 AD1 与 EF 所成角的大小; (II)求 AF 与平面 BEB1 所成角的余弦值. 18.已知数列{an}满足 a2= ,且 an+1=3an﹣1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式以及数列{an}的前 n 项和 Sn 的表达式;

2

(2)若不等式

≤m 对? n∈N*恒成立,求实数 m 的取值范围.

19.已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 (I)求 C 的 值; (II)若 =2,b=4 ,求△ABC 的面积.

=



20. 已知直棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC=CC1= BC1,得到的图形如图所示. (I)证明 BC1⊥平面 AB1C; (II)求二面角 E﹣AB1﹣C 的大小.

AB,E 是线段 CC1 的中点,连接 AE,B1E,AB1,B1C,

21.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点( ,﹣

),且离心率为



(I)求椭圆 C 的标准方程; (II)若点 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 C 上的亮点,且 x1≠x2,点 P(1,0),证明:△PAB 不 可能为等边三角形.

请考生从 22、23 题中任选一题作 答,如果多做,则按所做的第一题计分: 22.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25. (I)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; (II)直线 l 的参数方程为 且|AB|= ,求 l 的斜率. (t 为参数),α 为直线 l 的倾斜角,l 与 C 交于 A,B 两点,

23.已知函数 f(x)=|2x﹣a|+a. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≤6 的解集;

3

数学参考答案 BCDCA 13. BBADD .

14.﹣2<k<2.

15.



16.﹣ 17 .解:(I)建立如图所示的坐标系,D(0,0,0),A(1,0,0), E(0, ,1),F( ,1,1),D1(0,0,1), =(﹣1,0,1), =( , ,0),

设 AD1 与 EF 所成角为α ,∴cosα =|

|= ,

∴AD1 与 EF 所成角的大小为 60°; (II) =(0,0,1), =(﹣1,﹣ ,1),

设平面 BEB1 的法向量为 =(x,y,z),则 取 =(1,﹣2,0), ∵ =(﹣ ,1,1),



∴AF 与平面 BEB1 所成角的正弦值为|

|=



∴AF 与平面 BEB1 所成角的余弦值为 .

4

18.解:(1)∵an+1=3an﹣1(n∈N*),∴an+1﹣ =3(an﹣ ), ∴数列 是等比数列,首项为 3,公比为 3.

∴an﹣ =3×3n﹣1=3n, ∴an= +3n,

∴Sn= +

=



(2)不等式

≤m,化为:

≤m,



=

单调递减,

∴m≥

= .

∴实数 m 的取值范围是



19.解:(I)∵

=



∴ ∴C=

= .

,由正弦定理可得:

,可得:tanC=



5

(II)∵C=



=2,b=4

, )2﹣2× ,

∴由余弦定理 c2=a2+b2﹣2abcosC,可得:(2a) 2=a2+(4 整理可得:a2+4a﹣16=0,解得:a=2 ∴S△ABC= absinC= (2 ﹣2)× ﹣2, × =2 ﹣2



20.证明:(Ⅰ)∵直棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC=CC1= ∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,

AB,

以 C 为原点,CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,CC1 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设 AC=BC=CC1= AB=1,

则 B(0,1,0),C1(0,0,1),A(1,0,0),B1(0,1,1),C(0,0,0), =(0,﹣1,1), ∴? =0, =(﹣1,1,1), =(﹣1,0,0), =(﹣1,0,1),

=0﹣1+1=0,

∴BC1⊥AC,BC1⊥AB1, ∵AC∩AB1=A,∴BC1⊥平面 AB1C. 解:(Ⅱ)∵BC1⊥平面 AB1C,∴ E(0, ,0), =(0,﹣1,1)是平面 AB1C 的法向量,

=(﹣1,0, ),

设平面 AB1E 的法向量 =(x,y,z),



,取 x=1,得 =(1,﹣1,2),

设二面角 E﹣AB1﹣C 的大小为θ , 则 cosθ = ∴θ =30°. ∴二面角 E﹣AB1﹣C 的大小为 30°. = = ,

6

21.(I)解:由题意,得

,解得



∴椭圆 C 的标准方程为



(II)证明:证明:A(x1,y1), 则 |PA|= =

,且 x1∈[﹣ = ,且 x2∈[﹣ ,

, , ].

],

B(x2,y2),同理可得|PB|= y= 在[﹣ , ]上单调,

∴有 x1=x2?|PA|=|PB|, ∵x1≠x2,∴|PA|≠|PB|, ∴△PAB 不可能为等边三角形.

请考生从 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分: 22.解:(Ⅰ)∵在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25, ∴x +y +12x+11=0, 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ ,ρ 2=x2+y2, ∴C 的极坐标方程为ρ 2+ρ cosθ +11=0.
7
2 2

(Ⅱ)∵直线 l 的参数方程为 ∴直线 l 的直角坐标方程为 ∵l 与 C 交于 A,B 两点,且|AB|= ∴圆心(﹣6,0)到直线 l 的距离 d= ,

(t 为参数),α 为直线 l 的倾斜角, =0,

=



解得 cosα = 当 cosα =

, 时,l 的斜率 k=tanα =2;当 cosα =﹣ 时,l 的斜率 k=tanα =﹣2 .

23.解:(1)当 a=2 时,f(x)=|2x﹣2|+2, ∵f(x)≤6,∴|2x﹣2|+2≤6, |2x﹣2|≤4,|x﹣1|≤2, ∴﹣2≤x﹣1≤2 , 解得﹣1≤x≤3, ∴不等式 f(x)≤6 的解集 为{x|﹣1≤x≤3}. (2)∵g(x)=|2x﹣1|, ∴f(x)+g(x)=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3, 2|x﹣ |+2|x﹣ |+a≥3, |x﹣ |+|x ﹣ |≥ 当 a≥3 时,成立, 当 a<3 时,|x﹣ |+|x﹣ |≥ |a﹣1|≥ ∴(a﹣1)2≥(3﹣a)2, 解得 2≤a<3, ∴a 的取值范围是[2,+∞). >0, ,

8


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