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山东省山师附中2013-2014学年高二下学期期中考试文科数学含答案


2.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标为 A. (1, 0)
x

B. (0,1)

C. (0, ?1)

D. (?1, 0)

3. 曲线 y ? e 在点 (0,1) 处的切线斜率为 A. 1 B. 2 C. e D.

1 e

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 4. 双曲线 4 5
A. y ? ?

5 x 4

B. y ? ?

5 x 2

C. y ? ?

5 x 5

D. y ? ?

2 5 x 5

5. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点为 F1 、 F2 ,一直线过 F1 交椭圆于 A 、 B 两点,则 ?ABF2 的 16 7

周长为 A.32

B.16

C.8

D.4

3 6. 已知 f ( x) ? x ? sin x , f ?( x ) 为 f ( x ) 的导函数,则 f ?( ) 的值等于

?

2

A.

3? 2 4

B.

3? 2 ?1 4

C. ?

3? 2 4

D.

3? 2 ?1 4

7.在复平面内,复数 z ? A. 1 ? 2i

3?i (i 为虚数单位)等于 1? i B. 1 ? 2i C. 1 ? 3i D. ?1 ? 3i
1 ,则椭圆的方程是 2
D.

8. 已知中心在原点的椭圆的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于

A.

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 4 2

x2 y2 ? ?1 4 3

9. 函数 f ( x) ? x3 ? 3x 在区间 (?1,1) 上 A.有最大值,但无最小值 C.无最大值,但有最小值 10.双曲线与椭圆 B.有最大值,也有最小值 D.既无最大值,也无最小值.

x2 y 2 ? ? 1 有公共的焦点, 它们的离心率互为倒数,则双曲线的标准方程为 16 64
B.

A.

y 2 x2 ? ?1 36 12

x2 y 2 ? ?1 36 12

C.

y 2 x2 ? ?1 12 36

D.

x2 y 2 ? ?1 12 36

第Ⅱ卷( 非选择题
注意事项:

共 80 分)

1.第Ⅱ卷共 11 道题.其中 11~15 题为填空题,16~21 题为解答题. 2.第Ⅱ卷所有题目的答案,考生需用 0.5 毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内,在试 卷上答题不得分. 二、填空题(本大题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分. ) 11. 复数 z ? 1 ? 2i (其中 i 为虚数单位)的虚部为__________. 12. 抛物线 y ? 4 x 的准线方程是_______________.
2

13.已知函数 f ? x ? ? x ? mx ? ? m ? 6? x ? 1 既存在极大值又存在极小值,则实数 m 的取值
3 2

范围是

.

14. 设椭圆的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若 ?F1 F2 P 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为_________. 15. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,下列结论中正确的是
3 2

① ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0

②函数 y ? f ( x ) 的图像是中心对称图形

③若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 上单调递减 ④若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0

三、解答题(本答题共 6 题,满分 55 分) 16. (本小题 8 分) 已知双曲线的渐近线方程为 3x ? 4 y ? 0 ,并且经过点 M ?1,3? ,求双曲线的 标准方程.

17.(本小题 8 分)设函数 f ( x) ? x 3 ? 12x ? 2, x ? R,求函数 f ( x) 在区间 ?0,3? 上的最小值.

18. (本小题 9 分) 抛物线的焦点 F 在 y 轴正半轴上, 过 F 斜率为 且 ?OAF ( O 为坐标原点)的面积为 4 ,求抛物线的标准方程.

1 的直线 l 和 x 轴交于点 A , 2

19.(本小题 10 分)已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? ax2 ? 1 在区间 ?1, ?? ? 上为单调增函数,求 a 的取 值范围.

20. (本小题 10 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ln x , h( x) ? x2 ? x ? a . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)设函数 k ( x) ? f ( x) ? h( x) ,若函数 k ( x) 在 [1,3] 上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值 范围.

21. (本小题 10 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的点到椭圆右焦点 F 的最大距离 a 2 b2

为 3 ? 1,离心率 e ?

3 ,直线 l 过点 F 与椭圆 C 交于 A, B 两点. 3

(I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) C 上是否存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有点 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由.

三、解答题(本答题共 6 题,满分 55 分) 16.解法一:设双曲线方程: 9 x ?16 y ? ? -------------------------------2 分
2 2

将 M ?1,3? 代入方程可得: ? ? 9 ? 16 ? 9 ? ?15 ? 9 ? ?135 ---------------5 分

所求方程为

y2 x2 ? ? 1 -------------------------8 分 135 15 16

解法二:因为双曲线的渐近线方程为 3x ? 4 y ? 0

x2 y2 b 3 ? 1 ,代入点 M ?1,3? (1)若双曲线焦点在 x 轴上,则 ? 设双曲线的方程为 2 ? 9 2 a 4 a a 16
得, ?

15 ? 1 ,无解. a2

………………3 分

(2)若双曲线焦点在 y 轴上,则

y2 x2 a 3 ? 设双曲线的方程为 ? 2 ? 1 ,代入点 M ?1,3? 9 2 b b 4 b 16
………………8 分

y2 x2 ? ?1 解得, b ? 15 .双曲线方程为: 135 15 16
2

17.解: f ' ( x) ? 3x2 ?12 ,令 f ' ( x) ? 0 得, x ? ?2 当 x ??0,3? 时, f ' ( x)、f ( x) 的变化情况如下表:

………………………………2 分

x
f ' ( x)
f ( x)

?0, 2?
?
单调递减

2
0 极小值

? 2,3?
+ 单调递增 …………………6 分

又 f (0) ? 2, f (3) ? ?7, f (2) ? ?14 , 所以, f ( x ) 在区间 ?0,3? 上的最小值为 ?14 . …………………8 分 18.解:设抛物线方程为 x2 ? 2ay(a ? 0) 则焦点 F 坐标为 (0, ) ,直线 l 的方程为 y ? 它与 x 轴的交点为 A(?a, 0) , 所以 ?OAF 的面积为 ………………1 分

a 2

1 a x? , 2 2

……………………………5 分

1 a ?a ? ? 4 ,……………………………7 分 2 2

2 解得 a ? 4 ,所以抛物线方程为 x ? 8 y .……………………………9 分

19.解: f ( x) ? 6 x ? 2ax ……………………………1 分
' 2

因为 f ( x) ? 2 x3 ? ax2 ? 1 在区间 ?1, ?? ? 上单调递增,

所以 f ' ( x) ? 0 对任意 x ??1, ?? ? 恒成立…………………………4 分

?6x2 ? 2ax ? 0, x ??1, ??? ,
? a ? 3 x 对任意 x ??1, ??? 恒成立
………………………6 分 ………………………8 分

设 h( x) ? 3x, x ??1, ??? ,则 a ? h( x)min

h( x)min ? 3,? a ? 3.
20.解:

………………………10 分

(Ⅰ) f ( x) 的定义域是 (0,??) ,令 f ?( x) ? 2 x ? 当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; 当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 所以 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值,又 f (1) ? 1 , 所以 f ( x) 的极小值为 1,无大值. (Ⅱ) k ( x) ? f ( x) ? h( x) ? x ? 2 ln x ? a 所以 k ?( x) ? 1 ?

2 ? 0 ,得 x ? 1 ………………2 分 x

……………………5 分

( x ? 0)

2 ,令 k ?( x) ? 0, 得 x ? 2 ,令 k ?( x) ? 0, 得 0 ? x ? 2 , x
……………………7 分

所以 k ( x) 在 (0,2) 单调递减,在 (2,??) 递增

要使函数 k ( x) 在 [1,3] 上恰有两个不同零点,则需

?k (1) ? 0 ? ? k ( 2) ? 0 ?k (3) ? 0 ?

……………………9 分

所以 2 ? 2 ln 2 ? a ? 3 ? 2 ln 3 ……………………10 分

?a ? c ? 3 ? 1 ? ? ?a ? 3 21.解: (I)由条件知 ? c ,解得 , ? 3 ? ? ? c ?1 ? 3 ? a
所以 b ? a ? c ? 2 ,故椭圆方程为
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 .……………………4 分 3 2

(Ⅱ)C 上存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立. 由 (Ⅰ)知 C 的方程为 2 x + 3 y =6. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ).
2

2

(ⅰ) 当 l 垂直于 x 轴时,由 OA ? OB ? (2,0) 知,C 上不存在点 P 使 OP ? OA ? OB 成 立. (ⅱ) 当l不垂直x轴时,设 l的方程为y ? k ( x ? 1) 将 y ? k ( x ? 1)代入2x 2 ? 3 y 2 ? 6, 并化简得 ……………………5 分

(2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

6k 2 3k 2 ? 6 于是 x1 ? x 2 ? , x1 x2 = , 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
C 上的点 P 使 OP ? OA ? OB 成立的充要条件是 P点的坐标为( , x1 ? x2 , y1 ? y2) 设 P( x0 , y0 ) ,则 ?

? x0 ? x1 ? x2 ? y0 ? y1 ? y2

……………………7 分

所以 x0 ?

6k 2 ?4k , y0 ? .因为 P 在椭圆上, 2 2 ? 3k 2 ? 3k 2
4 2

将 x0 , y0 代入椭圆方程,得: 3k ? 4k ? 4 ? 0 ,所以 k 2 ? 2, k ? ? 2 , 当 k ? ? 2 时, P( ,

3 2

2 ) , l的方程为 2x ? y ? 2 ? 0 ; 2

当k ?

3 2 2 时, P( ,? ) , l的方程为 2x ? y ? 2 ? 0 .……………………9 分 2 2 3 2 2 ) 使 OP ? OA ? OB 成立, 2
……………………10 分

综上,C 上存在点 P( ,?

此时 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 .


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