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高中数学人教A版选修2-2学案:第一章1.5 1.5.1-1.5.2 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程-含解析


数学 1.5.1&1.5.2 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程 预习课本 P38~44,思考并完成下列问题 (1)连续函数与曲边梯形的概念分别是什么? (2)曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤是什么? [新知初探] 1.连续函数 如果函数 y=f(x)在某个区间 I 上的图象是一条连续不断的曲线, 那么就把它称为区间 I 上的连续函数. 2.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯 形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a,b]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形 (如 图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形 的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值, 即为曲边梯形的面积. 3.求变速直线运动的位移(路程) 数学 如果物体作变速直线运动,速度函数为 v=v(t),那么也可以采用分割、近似代替、求 和、取极限的方法,求出它在 a≤t≤b 内所作的位移 s. [点睛] 当 n→+∞时,所得梯形的面积不是近似值,而是真实值. [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)求汽车行驶的路程时,分割的区间表示汽车行驶的路程.( ) ) i-1 i ? ? i ?2 (2)当 n 很大时,函数 f(x)=x2 在区间? ? n ,n?上的值,只能用?n? 近似代替.( (3)mi=i2, ?mi=30.( i=1 4 ) (3)√ 答案:(1)× (2)× 2.将区间[1,3]进行 10 等分需插入________个分点,第三个区间是________. 答案:9 [1.4,1.6] 3.做直线运动的物体的速度 v=2t(m/s),则物体在前 3 s 内行驶的路程为________ m. 答案:9 求曲边梯形的面积 [典例] 求直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y=x2+1 所围成的曲边梯形的面积[参考公 1 式 12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1)]. 6 [解] 令 f(x)=x2+1. (1)分割:将区间[0,2]n 等分,分点依次为 2?n-1? 2 4 x0=0,x1=n,x2=n,…,xn-1= n ,xn=2. ?2i-2 2i? 第 i 个区间为? ?(i=1,2,…,n), ? n , n? 2i 2i-2 2 每个区间长度为 Δx= - = . n n n 2i (2)近似代替、求和:取 ξi= n (i=1,2,…,n), 数学 n n 2i 2 ?·Δx= ? ??2i?2+1?· Sn= ?f? ?n? ?? n ? ?n i=1 i=1 = 8 n 2 8 i +2= 3(12+22+…+n2)+2 n3 ? n i=1 3 1 8 n?n+1??2n+1? 4 2+n+ 2?+2. = 3· +2= ? n? n 6 3? (3)取极限:S= = Sn= ?4?2+3 + 12?+2? ?3? n n ? ? 14 14 ,即所求曲边梯形的面积为 . 3 3 求曲边梯形面积 (1)思想:以直代曲. (2)步骤:分割→近似代替→求和→取极限. (3)关键:近似代替. (4)结果:分割越细,面积越精确. [活学活用] 求由直线 x=1,x

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