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4、2、3直线与圆的方程的应用11

4、2、3 直线与圆的方程的应用 一、 【学习目标】 1、坐标法求直线和圆的应用性问题; 2、面积最小圆、中点弦问题的解决方法. 【教学效果】 :教学目标的给出,有利于学生整体上把握课堂. 二、 【自学内容和要求及自学过程】 直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用,本节 通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用. 1、自学例 4、例 5,体会其中的解题方法和技巧(坐标法解题) <1>教材上例 4、例 5 都是用坐标法解决几何问题的,你能否总结 一下坐 标法(代数法)解决几何问题的步骤吗? <2>解决直线与圆的问题时,一般采用坐标法(代数法) 、几何法来解决问 题, 多数是采用圆心到直线的距离与半径的关系来解 4、例 5 采用了代数法,你能用几何法来完 决, 我们教材上例 成例 4 吗?试着作一下!

<3>比较几何法和坐标法,你认为那种方法比较简便实用? 结论:<1>第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问 题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运 算,解决代数问题;第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论;<2> 过点 P 2 作 P2 H ? OP .由已知,| OP | ? 4 , | OA | ? 10 . ,在 RT ? AOC 中,有
| CA | ? | CO | ? | OA | ,设拱圆所在的半径为 r , 则有 r
2 2 2 2 2 2

? ( r ? 4 ) ? 10
2 2

2

.

解得 r ? 14 . 5 . RT ? CP 2 H 中, | CP 2 | ? | CH | ? | P2 H | .根据图形我们 有 可以知道 | P2 H | ? | OA 2 | =2, | CH | ? r ? | OA 2 | ? 14 . 5 ? 4 ? 206 . 25 又
2 2 2 2

| OC | ? 14 . 5 ? 4 ? 10 . 5
| OH | ? | CH | ? | CO | ?

, 于是有我们可以很容易得到下列结论, 结论如下:
206 . 25 ? 10 . 5 ? 14 . 36 ? 10 . 5 ? 3 . 86

,所以支柱 A

2

P2



长度约为 3.86cm.<3>我们把两种方法比较,会发现坐标法同通俗易懂,而 几何法比较难想,繁琐,因此解题时要有所选择. 练习:完成教材练习 1、2、3、4 题. 2、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题 例 1、 求通过直线 2 x ? y ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的交点,
2 2

且面积最小的圆的方程. 结论:解法一:利用过两曲线交点的曲线系.我们可以设圆的方程为
x ? y
2 2

? 2 x ? 4 y ? 1 ? ? ( 2 x ? y ? 3 ) ? 0 .配方得到标准式方程如下所示
2 2

(x ? 1 ? ? ) ? ( y ? 2 ? ? / 2) r
2 2

? (1 ? ? ) ? ( 2 ? ? / 2 ) ? 3 ? ? 1 , 可 以 得 到
2 2 2

? ( 5 / 4 ) ? ? ? ? 4 ? 5 / 4 ( ? ? 2 / 5 ) ? 19 / 5 ,当 ? ? ? 2 / 5 时,此时半

1

径r ?

19 / 5 ,所求圆的方程为 ( x ? 3 / 5 ) ? ( y ? 9 / 5 )
2

2

? 19 / 5 .解法二:

利用平面几何知识.以直线与圆的交点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 连线为直径的 圆符合条件.把两个方程式联立, 消去 y , 5 x ? 6 x ? 2 ? 0 .因为判别式 得
2

大于零,我们可以根据根与系数的关系也即韦达定理得到线段 AB 的中点 的横坐标为 x 0 ? ( x 1 ? x 2 ) / 2 ? ? 3 / 5 , y 0 ? 2 x 0 ? 3 ? 9 / 5 ,又 半径 r ? 0 . 5 | x 1 ? x 2 | . 1 ? 2 2 ?
2 2

,所以所求的圆的方 19 / 5 (弦长公式)

程是: ( x ? 3 / 5 ) ? ( y ? 9 / 5 ) ? 19 / 5 .解法三: 我们可以求出两点的坐标, 根据两点间距离公式和中点坐标公式求出半径和圆心,求出圆的方程. 例 2、已知圆 O 的方程为 x ? y ? 9 ,求过点 A (1, 2 ) 所作的弦的中点
2 2

的轨迹. 结 论 :解法一:参数法(常规方法)设过 A 所在的直线方程为 y-2=k(x-1)(k 存在时) ,P(x,y),则 x ? y ? 9 , y ? kx ? ( 2 ? k ) ,消去
2 2

( y,得到如下方程 1 ? k ) x ? 2 k ( 2 ? k ) x ? k ? 4 k ? 5 ? 0 . 所以我们可以
2 2 2

得到下面结果 x 1 ? x 2 ? 2 k ( k ? 2 ) /( k ? 1 ) , 利用中点坐标公式及中点在直
2

线上,得: x ? k ( k ? 2 ) /( k ? 1 ), y ? ( ? k ? 2 ) /( k ? 1 ) (k 为参数).消去
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k 得 P 点的轨迹方程为 x ? y ? x ? 2 y ? 0 ,当 k 不存在时,中点 P(1,
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0)的坐标也适合方程.所以 P 点的轨迹是以点(1/2,1)为圆心, 5 / 2 为 半径的圆.解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法)我们可以设过点 A 的弦为 MN,则可以设两点的坐标为 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) .因为 M、N 都在 圆上,所以我们可以得到 x 1 ? y 1 ? 9 , x 2 ? y 2 ? 9 ,然后我们把两式向 减可以得到: ( x 1 ? x 2 ) ? [( y 1 ? y 2 ) /( x 1 ? x 2 )].( y 1 ? y 2 ) ? 0 ( x 1 ? x 2 ). 设 P (x,y)则 x ? ( x 1 ? x 2 ) / 2 , y ? ( y 1 ? y 2 ) / 2 .所以由这个结论和 M、N、P、A 四 点 共 线 , 可 以 得 到 ( y 1 ? y 2 ) /( x 1 ? x 2 ) ? ( y ? 2 ) /( x ? 1 )( x ? 1 ) . 所 以 2x+[(y-2)/(x1)] ? 2y=0,所以 P 点的轨迹方程为 x ? y ? x ? 2 y ? 0 (x=1 时也成立) ,
2 2
2 2 2 2

所以 P 点的轨迹是以点(1/2,1)为圆心, 5 / 2 为半径的圆.解法三:数形 结合(利用平面几何知识) ,由垂径定理可知 OP ? PA ,故点 P 的轨迹是 以 AO 为直径的圆. 【教学效果】 :这一部分知识内容比较艰涩,但是是高考的考点,要求基础 好的同学能完全彻底理解. 三、 【作业】 1、必做题:习题 4.2B 组的 2、3、4 题; 2、选做题:习题 4.2B 组第 5 题. 四、 【小结】
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本节课主要学习了坐标法解决圆和直线的应用性问题、中点弦问题、 面积最小圆问题.这节课的重点是中点弦问题, 中点弦问题时高考的一个考 点,也为我们以后学习双曲线、抛物线、椭圆做一个预演.这节课学习完以 后要求学生能达到熟练的解决中点弦问题以及有一定的解决综合性问题的 能力. 五、 【教学反思】 作为高一的学生,这部分知识比较艰涩,所以允许部分学生听不懂, 但是要求每一个学生都要知道,这部分内容是高考的考点.

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