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2011-2012学年北京四中高二(上)期末数学试卷(理科)


一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 1. 分)抛物线 y =8x 的焦点坐标为( (5 ) A.(﹣2,0) B.(2,0) C.(0,2)
2

D.(1,0)

2. 分)若 a,b 是异面直线,直线 c∥a,则 c 与 b 的位置关系是( (5 ) A.相交 B.异面 C.平行 D.异面或相交

3. 分)已知 =(2,﹣3,1) =(4,2,x) (5 , ,且 ⊥ ,则实数 x 的值是( A.﹣2 B.2 C. ﹣ D.



4. 分)若双曲线 (5 A.2 B. C.

离心率为 2,则 a=( D.1



5. 分)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( (5



A.2

B.1

C.

D.

6. 分)已知△ ABC 的顶点 B、C 在椭圆 (5 边上,则△ ABC 的周长是( A. B.6 ) C.
2

上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC

D.12 )

7. 分)过点(2,4)作直线与抛物线 y =8x 只有一个公共点,这样的直线有( (5 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 8. 分)双曲线 8kx ﹣ky =8 的一个焦点是(0,3) (5 ,那么 k 的值是( A.﹣1 B.1 C. D.
2 2



9. 分)已知直线 l,m,n 和平面 α,β,在下列命题中真命题是( (5 A.若 α 内有无数多 条直线垂直于 β 内的一条直线, 则 α⊥β B.若 α 内有不共线 的三点到 β 的距 离相等, α∥β 则 C.若 l,m 是两条



相交直线, l∥α, m∥α,且 n⊥l, n⊥m,则 n⊥α D.若 l∥α,m∥β, α∥β,则 l∥m 10. 分)过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的长为 8, (5 则 p 的值是( ) A.2 B.4 C. D.
2

11. 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距 (5 离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( )

A.直线

B.圆

C.双曲线

D.抛物线 有公共点,则 k 的取值范围是( )

12. 分)已知直线 y=kx﹣2k﹣1 与曲线 y= (5 A. B. (﹣ , ]∪ (0, (﹣ , ]∪ +∞) ( ,+∞)

C. D. (﹣ ,﹣ ) (﹣ ,+∞) ∪( ,+∞)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13. 分)一个圆柱的侧面展开图是一个边长为 1 的正方形,则该圆柱的体积是 _________ . (4 14. 分)已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(﹣2 (4 _________ . ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是

15. 分)已知三棱锥 S﹣ABC 中,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC= (4 等于 _________ .

,则该三棱锥外接球的表面积

16. 分)已知椭圆 (4 范围为 _________ ,直线

的两焦点为 F1,F2,点 P(x0,y0)满足 与椭圆 C 的公共点个数 _________ .

,则|PF1|+PF2|的取值

三、解答题:本大题共 2 小题,每小题 12 分,共 24 分 17. (12 分)已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥AC,AB=AC=AA1,D,E,F 分别为 AB1,CC1,BC 的中点. (1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求证:B1F⊥平面 AEF;

(3)求二面角 B1﹣AE﹣F 的大小.

18. (12 分)已知椭圆 (1)求椭圆的方程.

(a>b>0)的右焦点为 F2(3,0) ,离心率为



(2)设直线 y﹣kx 与椭圆相交于 A,B 两点,M,N 分别为线段 AF2,BF2 的中点,若坐标原点 O 在以 MN 为直径 的圆上,求 k 的值. B 卷:一、选择题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分 2 19. 分)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和 (5 的最小值为( ) A. B.3 C. D.

20. 分)长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上,且 AB=2,AD= (5 的球面距离是( )

,AA1=1,则顶点 A、B 间

A.

B.

C.

D.2

21. 分)如图,平面 α⊥平面 β,α∩β=直线 l,A,C 是 α 内不同的两点,B,D 是 β 内不同的两点,且 A,B, (5 C,D?直线 l,M,N 分别是线段 AB,CD 的中点.下列判断正确的是( )

A.当|CD|=2|AB| 时,M,N 两点

不可能重合 B.M,N 两点可能 重合,但此时直 线 AC 与直线 l 不可能相交 C.当 AB 与 CD 相 交,直线 AC 平 行于 l 时,直线 BD 可以与 l 相 交 D.当 AB, 是异 CD 面直线时,MN 可能与 l 平行 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分 22. 分)如图,已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 A1B1 的中点,则异面直线 A1C 与 AE 所成角的余弦值 (5 是 _________ .

23. 分)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D,且 (5 的离心率为 _________ .

,则 C

24. 分)如图,直角坐标系 xOy 所在平面为 α,直角坐标系 x′Oy′(其中 y′与 y 轴重合)所在的平面为 β, (5 ∠xOx′=45°. (Ⅰ)已知平面 β 内有一点 P′(2 ,2) ,则点 P′在平面 α 内的射影 P 的坐标为 _________ ; 2 2 (Ⅱ)已知平面 β 内的曲线 C′的方程是(x′﹣ ) +2y ﹣2=0,则曲线 C′在平面 α 内的射影 C 的方程是 _________ .

三、解答题:本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分 25. (10 分)如图,平面 PAC⊥平面 ABC,△ ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形,E,F,O 分别为 PA,PB, AC 的中点,AC=16,PA=PC=10. (1)设 G 是 OC 的中点,证明:FG∥平面 BOE; (2)在△ ABO 内是否存在一点 M,使 FM⊥平面 BOE,若存在,请找出点 M,并求 FM 的长;若不存在,请说明 理由.

26. (10 分)设 b>0,椭圆方程为

,抛物线方程为 x =8(y﹣b) .如图所示,过点 F(0,b+2)作 x 轴

2

的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G,已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1. (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P,使得△ ABP 为直角三角形?若存 在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) .

2011-2012 学年北京四中高二(上)期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析
A 卷:一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 2 1. 分)抛物线 y =8x 的焦点坐标为( (5 ) A.(﹣2,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(1,0) 考点: 专题: 分析: 抛物线的简单 性质. 计算题. 根据抛物线的 标准方程,进而 可求得 p,根据 抛物线的性质 进而可得焦点 坐标. 解:抛物线
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解答:

点评:

y =8x, 所以 p=4, ∴焦点(2,0) , 故选 B. 本题主要考查 抛物线的简单 性质.属基础 题.

2

2. 分)若 a,b 是异面直线,直线 c∥a,则 c 与 b 的位置关系是( (5 ) A.相交 B.异面 C.平行 D.异面或相交 考点: 空间中直线与 直线之间的位 置关系. 阅读型. 若 a,b 是异面 直线,直线 c∥a,所以 c 与 b 可能异面,可 能相交. 解:由 a、b 是 异面直线,直线 c∥a 知 c 与 b 的 位置关系是异 面或相交, 故选 D.
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专题: 分析:

解答:

点评:

此题考查学生 的空间想象能 力,考查对异面 直线的理解和 掌握.

3. 分)已知 =(2,﹣3,1) =(4,2,x) (5 , ,且 ⊥ ,则实数 x 的值是( A.﹣2 B.2 C. ﹣ D.



考点:

专题: 分析:

向量的数量积 判断向量的共 线与垂直. 计算题;平面向 量及应用. 由题意根据向 量垂直其数量 积为 0 建立关于 实数 x 的方程解 方程求出实数 x 的值,再比对四 个选项,选出正 确选项即可
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解答:

解:∵ =(2, ﹣3, , = 1) (4, 2, , ⊥ , x) 且 ∴ =0,

点评:

∴8﹣6+x=0; ∴x=﹣2; 故选 A. 本题考查向量 的数量积判断 向量的共线与 垂直,解题的关 键是将垂直关 系转化为两向 量的内积为 0, 建立关于 x 的方 程求出 x 的值.

4. 分)若双曲线 (5

离心率为 2,则 a=(



A.2

B.

C.

D.1

考点: 专题: 分析:

双曲线的简单 性质. 计算题. 根据双曲线的
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离心率 e= ,得 到关于 a 的等 式,从而求出 a 的值. 解:双曲线

解答:

的离心率 e= =2,

点评:

解答 a=1. 故选 D. 本题考查了双 曲线的简单性 质,属于基础题 型. )

5. 分) (5 (2010?陕西)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(

A.2

B.1

C.

D.

考点: 专题: 分析:

解答:

由三视图求面 积、体积. 计算题. 由题意可知图 形的形状,求解 即可. 解:本题考查立 体图形三视图 及体积公式如 图,该立体图形 为直三棱柱所 以其体积为
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点评:

本题考查立体 图形三视图及 体积公式,是基 础题.

6. 分)已知△ ABC 的顶点 B、C 在椭圆 (5 边上,则△ ABC 的周长是( A. B.6 考点: 专题: 分析: 椭圆的简单性 质. 计算题;压轴 题. 由椭圆的定义 椭圆上一点到 两焦点的距离 之和等于长轴 长 2a,可得 △ ABC 的周长. 解:由椭圆的定 义椭圆上一点 到两焦点的距 离之和等于长 轴长 2a, 可得△ ABC 的 周长为 4a= , 所以选 C 本题主要考查 数形结合的思 想和椭圆的基 本性质,难度中 等
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上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC

) C. D.12

解答:

点评:

7. 分)过点(2,4)作直线与抛物线 y =8x 只有一个公共点,这样的直线有( (5 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 考点: 抛物线的简单 性质;直线与圆

2



专题: 分析:

解答:

锥曲线的综合 问题. 计算题. 先验证点点(2, 4)在抛物线 2 y =8x 上,进而 根据抛物线的 图象和性质可 得到答案. 解:由题意可知 点(2,4)在抛
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点评:

物线 y =8x 上 故过点(2,4) 且与抛物线 2 y =8x 只有一个 公共点时只能 是 i)过点(2,4) 且与抛物线 2 y =8x 相切 ii)过点(2,4) 且平行于对称 轴. 故选 B. 本题主要考查 抛物线的基本 性质.属基础 题.
2 2

2

8. 分)双曲线 8kx ﹣ky =8 的一个焦点是(0,3) (5 ,那么 k 的值是( A.﹣1 B.1 C. D.



考点: 专题: 分析:

双曲线的简单 性质. 计算题. 2 把双曲线 8kx 2 ﹣ky =8 的方程 化为标准方程
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,可得 9= ,

解答:

解方程求得实 数 k 的值. 解:解:根据题 意可知双曲线

8kx ﹣ky =8 在 y 轴上, 把双曲线 8kx 2 ﹣ky =8 的方程 化为标准方程
2

2

2

, ∴9= , ∴k=﹣1, 故选 A. 本题考查双曲 线的标准方程, 以及双曲线的 简单性质的应 用等基础知识, 考查运算求解 能力,考查数形 结合思想、化归 与转化思想.属 于基础题. )

点评:

9. 分)已知直线 l,m,n 和平面 α,β,在下列命题中真命题是( (5 A.若 α 内有无数多 条直线垂直于 β 内的一条直线, 则 α⊥β B.若 α 内有不共线 的三点到 β 的距 离相等, α∥β 则 C.若 l,m 是两条 相交直线, l∥α, m∥α,且 n⊥l, n⊥m,则 n⊥α D.若 l∥α,m∥β, α∥β,则 l∥m 考点: 空间中直线与 直线之间的位 置关系;空间中 直线与平面之 间的位置关系; 平面与平面之 间的位置关系. 空间位置关系 与距离.
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专题:

分析:

解答:

点评:

A.利用面面垂 直的定义判 断.B.利用面 面平行的性质 判断.C.利用 线面平行和线 面垂直的定义 进行判断. 利 D. 用线面平行的 性质定理和判 定定理证明. 解: α 内有无 当 数多条直线垂 直于 β 内的一条 直线时,该直线 不一定就垂直 α,所以就无法 证明 α⊥β, 所以 A 错误. 当 α 内有不共线 的三点不同时 在平面 β 的同侧 设,也有可能得 到到 β 的距离相 等,此时两个平 面是相交的.所 以 B 错误. 根据面面平行 的性质可知,当 两个平面平行 时,直线的位置 关系不确定,所 以无法确定 l∥m, 所以 D 错 误. 故选 C. 本题主要考查 空间直线和平 面的位置关系 的判断,要求熟 练掌握相应的 判定定理和性 质定理.
2

10. 分)过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的长为 8, (5 则 p 的值是( ) A.2 B.4 C. D.

考点: 专题:

分析:

抛物线的标准 方程. 计算题;圆锥曲 线的定义、性质 与方程. 由题意得直线 AB 的方程为
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y=x﹣ , 与抛物 线方程消去 y 关 于 x 的一元二次 方程,利用根与 系数的关系和 抛物线的定义 得出 |AB|=4p=8,从 而解出 p 的值. 解:直线 AB 的 方程为 y=x﹣ ,与抛物线方 程消去 y,得 x﹣ 3px+ =0
2

解答:

设 A(x1,y1) , B(x2,y2) 根据抛物线的 定义,得 |AB|=x1+x2+p=4 p=8 解之得 p=2 故选:A 本题给出直线 与抛物线相交, 在已知被截得 弦长的情况下 求焦参数 p 的 值.着重考查了 抛物线的标准 方程和直线与 圆锥曲线位置 关系等知识,属 于中档题.

点评:

11. 分) (5 (2004?北京)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与 直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( )

A.直线 考点:

B.圆 抛物线的定义; 棱柱的结构特 征. 由线 C1D1 垂直 平面 BB1C1C, 分析出|PC1|就 是点 P 到直线 C1D1 的距离, 则 动点 P 满足抛物 线定义,问题解 决. 解:由题意知,
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C.双曲线

D.抛物线

分析:

解答:

直线 C1D1⊥平 面 BB1C1C,则 C1D1⊥PC1,即 |PC1|就是点 P 到 直线 C1D1 的距 离, 那么点 P 到直线 BC 的距离等于 它到点 C1 的距 离, 所以点 P 的 轨迹是抛物线. 故选 D. 本题考查抛物 线定义及线面 垂直的性质.

点评:

12. 分)已知直线 y=kx﹣2k﹣1 与曲线 y= (5 A. B. (﹣ , ]∪ (0, (﹣ , ]∪ +∞) ( ,+∞)

有公共点,则 k 的取值范围是(



C. D. (﹣ ,﹣ ) (﹣ ,+∞) ∪( ,+∞)

考点: 专题:

直线与圆锥曲 线的关系. 数形结合;圆锥 曲线的定义、性
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分析:

质与方程. 易知该直线过 定点 A ﹣1) (2, , 作出曲线 y= 的

解答:

草图,易知该曲 线为双曲线的 一部分,结合渐 进线方程,利用 数形结合可得 答案. 解: y=kx﹣2k 由 ﹣1 得 y+1=k (x ﹣2) ,该直线过 定点 A ﹣1) (2, , 由 y= 得 (y>0) ,作出 草图如下: kAB=﹣ ,由图 知,当直线与曲 线 y= 有公共点时,

或k



所以,k 的取值 范围为(﹣ , ]∪( , +∞) . 故选 B.

点评:

本题考查直线 与圆锥曲线的 关系,考查学生 数形结合思想 及简单运算能 力.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13. 分)一个圆柱的侧面展开图是一个边长为 1 的正方形,则该圆柱的体积是 (4 .

考点: 专题: 分析:

解答:

旋转体(圆柱、 圆锥、圆台) . 计算题;空间位 置关系与距离. 通过侧面展开 图是一个边长 为 1 的正方形, 求出底面半径, 求出圆柱的高, 然后求圆柱的 体积. 解:∵圆柱的侧 面展开图是边 长为 1 的正方 形, ∴该圆柱的高 h=1, 底面周长 2πr=1,∴底面
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半径 r=



∴该圆柱的体 积 V=π? ?1=

故答案为: 点评:



本题考查圆柱 的体积,考查计 算能力,正确认 识圆柱的侧面 展开图与几何 体的关系,是解 题的突破口.

14. 分) (4 (2006?上海)已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(﹣2 的标准方程是 .

,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆

考点: 专题: 分析:

解答:

椭圆的标准方 程. 计算题. 先根据题意 a=2b,c=2 并 2 2 2 且 a =b +c 求 出 a, c 的值, b, 代入标准方程 得到答案. 解:已知
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∴ 所求; 故答案为:



点评:

本题主要考查 椭圆的标准方 程.属基础题. ,则该三棱锥外接球的表面积

15. 分)已知三棱锥 S﹣ABC 中,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC= (4 等于 4π . 考点: 专题: 分析: 球的体积和表 面积. 计算题;空间位 置关系与距离. 根据题意,证出 BC⊥平面 SAB,可得 BC⊥SB,得 Rt△ BSC 的中
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线 OB= SC, 同

理得到 OA= SC,因此 O 是三棱锥 S﹣ ABC 的外接球 心.利用勾股定 理结合题中数 据算出 SC=2, 得外接球半径 R=1,从而得到 所求外接球的 表面积. 解:取 SC 的中 点 O, 连结 OA、 OB ∵SA⊥平面 ABC, AC?平面 ABC, ∴SA⊥AC,可 得 Rt△ ASC 中, 中线 OA= SC 又∵SA⊥BC, AB⊥BC,SA、 AB 是平面 SAB 内的相交直线 ∴BC⊥平面 SAB,可得 BC⊥SB 因此 Rt△ BSC 中,中线 OB= SC ∴O 是三棱锥 S ﹣ABC 的外接 球心, ∵Rt△ SCA 中, AC= = ,SA=1 ∴SC= =2 ,可得外接球半 径 R= SC=1 因此,外接球的 表面积

解答:

点评:

S=4πR =4π 故答案为:4π 本题在特殊三 棱锥中求外接 球的表面积,着 重考查了线面 垂直的判定与 性质、勾股定理 和球的表面积 公式等知识,属 于中档题.

2

16. 分) (4 (2010?湖北) 已知椭圆 的取值范围为 ) ,直线

的两焦点为 F1, 2, P 0, 0) F 点 (x y 满足 与椭圆 C 的公共点个数 0 .

, 则|PF1|+PF2|

[2,2

考点: 专题: 分析:

椭圆的应用;椭 圆的简单性质. 压轴题. 当 P 在原点处时
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(|PF1|+|PF2|) mim=2,当 P 在 椭圆顶点处时, 取到 (|PF1|+|PF2|) ,故范 max= 围为 .因为 (x0,y0)在椭 圆 的

内部,则直线

解答:

上的点(x,y) 均在椭圆外,故 此直线与椭圆 不可能有交点. 解:依题意知, 点 P 在椭圆内 部.画出图形, 由数形结合可 得, P 在原点 当 处时 (|PF1|+|PF2|) min=2, 当 P 在椭圆顶点 处时,取到

(|PF1|+|PF2|) max 为 , 故范围为[2, ) . 因为(x0,y0) 在椭圆 的内 部, 则直线

上的点(x,y) 均在椭圆外, 故此直线与椭 圆不可能有交 点,故交点数为 0 个. 答案:[2, ) ,0.

点评:

本题考查椭圆 的性质及其应 用,画出图形, 数形结合事半 功倍.

三、解答题:本大题共 2 小题,每小题 12 分,共 24 分 17. (12 分)已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥AC,AB=AC=AA1,D,E,F 分别为 AB1,CC1,BC 的中点. (1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求证:B1F⊥平面 AEF; (3)求二面角 B1﹣AE﹣F 的大小.

考点:

专题:

分析:

直线与平面平 行的判定;直线 与平面垂直的 判定;二面角的 平面角及求法. 空间位置关系 与距离;空间 角. (1)取 AA1, 的中点 G,连接 DG,EG,根据 三角形中位线 定理及面面平 行的第二判定 定理可得平面 GDE∥平面 ABC,再由面面 平行的性质得 到 DE∥平面 ABC; (2)根据等腰 三角形三线合 一,可得 AF⊥BC,由面 面垂直的性质 定理和线面垂 直的性质定理
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可得 B1F⊥AF; 由勾股定理可 得 B1F⊥EF,最 后由线面垂直 的判定定理得 到 B1F⊥平面 AEF. (3)以 A 为坐 标原点,分别以 AB,AC,AA1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴

建立空间直角 坐标系 O﹣xyz, 分别求出平面 B1AE 和平面 AEF 的法向量, 代入向量夹角 公式,可得答 案. 证明: (1)取 AA1, 的中点 G, 连接 DG,EG ∵D, 为 AB1, E CC1 的中点, 则 DG∥AB, EG∥AC, 又∵DG,EG? 平面 GDE, DG∩EG=G, AB,AC?平面 ABC ∴平面 GDE∥ 平面 ABC, 又∵DG?平面 GDE ∴DG∥平面 ABC. (2)连结 AF, 则 AF⊥平面 BCC1B1. ∵AB=AC, 为 F BC 的中点 ∴AF⊥BC ∵棱柱 ABC﹣ A1B1C1 为直棱 柱 ∴平面 ABC⊥ 平面 BCC1B1. 又∵平面 ABC∩平面 BCC1B1=BC ∴AF⊥平面 BCC1B1, 又∵B1F?平面 BCC1B1, ∴B1F⊥AF, 在△ B1FE 中, B1F= AB,

解答:

B1= AB, EF= AB

由勾股定理易 得 B1F⊥EF, 又∵AF, EF?平 面 AEF, AF∩EF=F ∴B1F⊥平面 AEF. (3)以 A 为坐 标原点,分别以 AB,AC,AA1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴 建立空间直角 坐标系 O﹣xyz, 则 = ( ,

,﹣1)为平面 AEF 的法向量. 又 1) , ) , 设平面 B1AE 的 法向量为 = (x, y,z) ,则 , 即 =(1,0, =(0,1,

取 z=﹣1,则 = (1, ,﹣1) , 从而 cosθ= ,

即二面角 B1﹣ AE﹣F 是

arccos



点评:

本题考查的知 识点是直线与 平面平行的判 定,直线与平面 垂直的判定,二 面角的求法,熟 练掌握空间线 面关系判定的 方法和步骤是 解答(1) (2) 的关键.建立空 间坐标系将二 面角问题转化 为向量夹角问 题是解答(3) 的关键.

18. (12 分)已知椭圆

(a>b>0)的右焦点为 F2(3,0) ,离心率为



(1)求椭圆的方程. (2)设直线 y﹣kx 与椭圆相交于 A,B 两点,M,N 分别为线段 AF2,BF2 的中点,若坐标原点 O 在以 MN 为直径 的圆上,求 k 的值. 考点: 直线与圆锥曲 线的关系;椭圆 的标准方程.
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专题:

分析:

综合题;圆锥曲 线的定义、性质 与方程. (1)由题意得 ,解得 a,再结合 2 2 2 a =b +c ,可求 2 得b , 从而可得 椭圆的方程; (2)由椭圆的 方程与直线的 方程 y=kx 联立, 2 2 得(3+12k )x ﹣12×3=0,设 A (x1,1)B 2, y , (x y2) , =(x1 =

﹣3, 1) y ,

(x2﹣3,y2) , 依题意, AF2⊥BF2,由 ? =0 即

解答:

可求得 k 的值. 解: (1)由题意 得 ,得

a=2 . …(2 分) 2 2 2 结合 a =b +c , 2 解得 a =12, 2 b =3.…(4 分) 所以,椭圆的方 程为 + =1.

…(6 分) (2)由

, 得

(3+12k )x ﹣ 12×3=0.

2

2

设 A(x1,y1) , B(x2,y2) , 则 x1+x2=0, x1x2=﹣ , (10 … 分) 依题意, OM⊥ON, 易知,四边形 OMF2N 为平行 四边形,所以 AF2⊥BF2,… (12 分) 因为 =(x1 =

﹣3, 1) y ,

(x2﹣3,y2) , 所以 ? = 1 (x

﹣3) 2﹣3) (x 2 +y1y2=(1+k ) x1x2+9=0, 即

+9=0, 解得 k=± .…

点评:

(15 分) 本题主要考查 椭圆的几何性 质,直线与椭圆 的位置关系等 基础知识,同时 考查解析几何 的基本思想方 法和综合解题 能力,属于难 题.

B 卷:一、选择题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分 2 19. 分) (5 (2008?辽宁)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准 线的距离之和的最小值为( ) A. B.3 C. D.

考点: 专题: 分析:

抛物线的简单 性质. 计算题. 先求出抛物线 的焦点坐标,再 由抛物线的定 义可得 d=|PF|+|PA|≥|AF
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解答:

|,再求出|AF|的 值即可. 解: 依题设 P 在 抛物线准线的 投影为 P',抛物 线的焦点为 F, 则 , 依抛物线的定 义知 P 到该抛物 线准线的距离 为|PP'|=|PF|, 则点 P 到点 A (0,2)的距离 与 P 到该抛物线 准线的距离之 和

点评:

. 故选 A. 本小题主要考 查抛物线的定 义解题. ,AA1=1,

20. 分) (5 (2008?湖南) (文)长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上,且 AB=2,AD= 则顶点 A、B 间的球面距离是( )

A.

B.

C.

D.2

考点: 专题: 分析:

解答:

球内接多面体. 计算题;综合 题;压轴题. 先求长方体的 对角线,就是球 的直径,再求 AB 的球心角, 然后求 A、B 间 的球面距离. 解: ∵
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,∴ 设



BD1∩AC1=O, 则 , , ∴

点评:

, 故选 B 本题考查球的 内接体问题,考 查学生空间想 象能力,逻辑思 维能力,是基础 题.

21. 分) (5 (2010?西城区一模)如图,平面 α⊥平面 β,α∩β=直线 l,A,C 是 α 内不同的两点,B,D 是 β 内不 同的两点,且 A,B,C,D?直线 l,M,N 分别是线段 AB,CD 的中点.下列判断正确的是( )

A.当|CD|=2|AB| 时,M,N 两点 不可能重合 B.M,N 两点可能 重合,但此时直 线 AC 与直线 l 不可能相交

C.当 AB 与 CD 相 交,直线 AC 平 行于 l 时,直线 BD 可以与 l 相 交 D.当 AB, 是异 CD 面直线时,MN 可能与 l 平行 考点: 专题: 分析: 异面直线. 计算题;压轴 题. 由位置关系判 断就可,本题宜 用直接法来进 行判断,B 项正 确易证 解:对于 A 选 项,当 |CD|=2|AB|时, 若 A,B,C,D 四点共面 AC∥BD 时,则 M,N 两点能重 合.故 A 不对 对于 B 选项, 若 M,N 两点可能 重合,则 AC∥BD,故 AC∥l,此时直 线 AC 与直线 l 不可能相交,故 B对 对于 C 选项, 当 AB 与 CD 相交, 直线 AC 平行于 l 时,直线 BD 可以与 l 平行, 故 C 不对 对于 D 选项, 当 AB,CD 是异面 直线时,MN 不 可能与 l 平行, 故选 B. 考查图形的观 察能力与运用 相关知识证明 判断的能力.
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解答:

点评:

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分 22. 分)如图,已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 A1B1 的中点,则异面直线 A1C 与 AE 所成角的余弦值 (5 是 .

考点: 专题: 分析:

异面直线及其 所成的角. 空间角. 建立空间直角 坐标系,求出向
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向量坐标,利用 数量积求出异 面直线 A1C 与 AE 所成角的余 弦值. 解: D 为坐标 以 原点,建立空间 直角坐标如图; 设正方体的棱 长为 1, 则A (1, 0) 0, , A1(1,0,1) , B1(1,1,1,, ) C(0,1,0) , 因为 E 是棱 A1B1 的中点, 所 以E (1, , , 1) 所以

解答:









,即 , 所以异面直线 A1C 与 AE 所成 角的余弦值为

. 故答案为: .

点评:

本题主要考查 异面直线所成 的角的定义和 求法,找出两异 面直线所成的 角∠AEM (或其 补角) ,是解题 的关键.如果异 面直线所成的 角不容易找,则 可以通过建立 空间直角坐标 系,利用空间向 量来求解.

23. 分)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D,且 (5 的离心率为 .

,则 C

考点: 专题: 分析:

椭圆的简单性 质. 压轴题;数形结 合. 由椭圆的性质 求出|BF|的值,
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利用已知的向 量间的关系、三 角形相似求出 D 的横坐标,再由 椭圆的第二定 义求出|FD|的 值,又由 |BF|=2|FD|建立 关于 a、c 的方 程,解方程求出 的值. 解答: 解:如图,

, 作 DD1⊥y 轴于 点 D1,则由 ,得

,所以,

, 即 , 由椭

圆的第二定义 得

又由 |BF|=2|FD|,得 , a =3c ,解得 e= = , .
2 2

故答案为:

点评:

本小题主要考 查椭圆的方程 与几何性质、第 二定义、平面向 量知识,考查了 数形结合思想、 方程思想,本题 凸显解析几何 的特点:“数研 究形,形助数”, 利用几何性质 可寻求到简化 问题的捷径.

24. 分) (5 (2011?湖北)如图,直角坐标系 xOy 所在平面为 α,直角坐标系 x′Oy′(其中 y′与 y 轴重合)所在 的平面为 β,∠xOx′=45°. (Ⅰ)已知平面 β 内有一点 P′(2 ,2) ,则点 P′在平面 α 内的射影 P 的坐标为 (2,2) ; 2 2 (Ⅱ)已知平面 β 内的曲线 C′的方程是(x′﹣ ) +2y ﹣2=0,则曲线 C′在平面 α 内的射影 C 的方程是 (x 2 2 ﹣1) +y =1 .

考点: 专题: 分析:

平行投影及平 行投影作图法. 计算题;压轴 题. (I) 根据两个坐 标系之间的关 系,由题意知点 P′在平面上的 射影 P 距离 x 轴 的距离不变是 2,距离 y 轴的
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解答:

距离变成 2 cos45°,写 出坐标. (II)设出所给 的图形上的任 意一点的坐标, 根据两坐标系 之间的坐标关 系,写出这点的 对应的点,根据 所设的点满足 所给的方程,代 入求出方程. 解: (I)由题意 知点 P′在平面 上的射影 P 距离 x 轴的距离不变 是 2, 距离 y 轴的距离 变成 2 cos45°=2, ∴点 P′在平面 α 内的射影 P 的 坐标为(2,2) (II)设(x′﹣ )+2y ﹣2=0 上的任意点为 A (x0,y0) 在 ,A 平面 α 上的射影 是(x,y) 根据上一问的 结果,得到 x= ∵ x0,y=y0,
2 2

, ∴

点评:

∴(x﹣1) 2 2 +y =1, 故答案为: (2, 2)(x﹣1) ; 2 2 +y =1. 本题考查平行 投影及平行投 影作图法,考查

两个坐标系之 间的坐标关系, 是一个比较简 单的题目,认真 读题会得分. 三、解答题:本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分 25. (10 分)如图,平面 PAC⊥平面 ABC,△ ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形,E,F,O 分别为 PA,PB, AC 的中点,AC=16,PA=PC=10. (1)设 G 是 OC 的中点,证明:FG∥平面 BOE; (2)在△ ABO 内是否存在一点 M,使 FM⊥平面 BOE,若存在,请找出点 M,并求 FM 的长;若不存在,请说明 理由.

考点:

专题: 分析:

直线与平面垂 直的判定;直线 与平面平行的 判定. 证明题;空间位 置关系与距离. (1) PE 中点 取 H,连接 FH、 GH,利用三角 形中位线定理, 结合平面与平 面平行的判定 定理,证出平面 BEO∥平面 FGH,进而可得 FG∥平面 BOE; (2)等腰 Rt△ ABC 证出 BO⊥AC,从而 得到 BO⊥平面 APC,所以 BO⊥PQ,过 P 在平面 APC 内 作 PQ⊥EO,交 AO 于 Q,连接 BQ, BQ 中点 取 M, 连接 FM. 可 得 PQ⊥平面 BEO 且
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FM∥PQ,得 FM⊥平面 BEO,所以 BQ 中点即为满足 条件的点 M. 再 利用解三角形 的知识,可算出 PQ= ,得到 . 解答: 解: (1)取 PE 中点 H,连接 FH、GH, ∵F,H 分别为 PB,PE 中点, ∴△PBE 中, FH∥BE, ∵FH?平面 BEO,BE?平面 BEO, ∴FH∥平 面 BEO 同理,可得 HG∥平面 BEO ∵FH∩HG=H, FH、HG?平面 FGH ∴平面 BEO∥ 平面 FGH, ∵FG?平面 FGH, ∴FG∥平 面 BEO. … (5 分) (2)∵△ABC 是以 AC 为斜边 的等腰直角三 角形,且 O 为 AC 中点, ∴BO⊥AC, 又∵平面 PAC⊥平面 ABC, BO?平面 ABC,平面 ABC∩平面 APC=AC, ∴BO⊥平面 APC. 结合 PQ? 平面 APC,得 BO⊥PQ

过 P 在平面 APC 内作 PQ⊥EO, AO 交 于 Q, 连接 BQ, 取 BQ 中点 M, 连接 FM, ∵BO∩EO=O, BO、EO?平面 BEO, ∴PQ⊥平 面 BEO, ∵△PBQ 中, 点 F、M 分别为 PB、 的中点, QB ∴FM∥PQ,且 FM= PQ 结合 PQ⊥平面 BEO,得 FM⊥ 平面 BOE,即 BQ 中点 M 即为 所求. Rt△ PCQ 中, cos∠PCQ=

= ,得 CQ= PC= ∴PQ= = ,可得

因此,在平面 ABC 内,存在 △ ABO 的中线 BQ 上的点 M, 满足 M 为 BQ 的 中点时,FM⊥ 平面 BOE, 此时 …(12 分)

点评:

本题给出特殊 三棱锥,求证线 面平行并探索 了线面垂直,着 重考查了直线 与平面、平面与 平面垂直的判 定与性质,以及 线面平行的判 定等知识,属于 中档题.

26. (10 分) (2008?广东)设 b>0,椭圆方程为

,抛物线方程为 x =8(y﹣b) .如图所示,过点 F(0,

2

b+2)作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G,已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1. (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P,使得△ ABP 为直角三角形?若存 在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) .

考点:

专题: 分析:

椭圆的标准方 程;抛物线的标 准方程;圆锥曲 线的综合. 综合题;压轴 题;分类讨论. (1)先求出 G
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点的坐标,利用 导数求出过点 G 的切线斜率,得 到过点 G 的切 线方程,根据由 切线方程求得 的 F1 点的坐标, 与用椭圆方程 得 F1 点的坐标 应该相同,求出 b,椭圆和抛物 线的方程可得. (2)以∠PAB 为直角的 Rt△ ABP 只有 一个,以∠PBA 为直角的 Rt△ ABP 只有 一个,以 AB 为 直径的圆与抛 物线有两个交 点,根据直径对 的圆周角等于 直角,以∠APB 为直角的 Rt△ ABP 有两 个.所以,共得 到 4 个直角三角 形. 2 解: (1)由 x =8 (y﹣b)得 , 当 y=b+2 得 x=±4,∴G 点的 坐标为(4, b+2) , , y'|x=4=1, 过点 G 的切线 方程为 y﹣ (b+2)=x﹣4 即 y=x+b﹣2, 令 y=0 得 x=2﹣ b,∴F1 点的坐 标为 (2﹣b, , 0) 由椭圆方程得 F1 点的坐标为

解答:

(b,0) , ∴2﹣b=b 即 b=1,即椭圆和 抛物线的方程 分别为 和 x =8 (y﹣1) ; (7 分) (2)∵过 A 作 x 轴的垂线与抛 物线只有一个 交点 P,∴以 ∠PAB 为直角 的 Rt△ ABP 只 有一个, 同理∴以 ∠PBA 为直角 的 Rt△ ABP 只 有一个; 若以∠APB 为 直角,则点 P 在 以 AB 为直径的 圆上,而以 AB 为直径的圆与 抛物线有两个 交点. 所以,以∠APB 为直角的 Rt△ ABP 有两 个; 因此抛物线上 存在四个点使 得△ ABP 为直 角三角形. (15 分) 本题考查利用 导数求切线的 斜率,待定系数 法求椭圆和抛 物线的方程,体 现了分类讨论 的数学思想.
2

点评:

参与本试卷答题和审题的老师有: 安敬宝; caoqz; maths; 俞文刚; 733744; qiss; zhwsd; lily2011; wyz123; wfy814; xintrl;翔宇老师;wzj123;wsj1012;minqi5;涨停;zlzhan;刘长柏(排名不分先后)
菁优网 2013 年 12 月 21 日


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