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高中数学北师大版选修2-1 3.2.2.1抛物线的简单性质 课件(34张)_图文

2.2 抛物线的简单性质 -1- 第1课时 抛物线的简单性质 -2- 1.了解抛物线的轴、顶点、离心率、通径的概念. 2.掌握抛物线上的点的坐标的取值范围、抛物线的对称性、顶 点、离心率等简单性质. 3.会用顶点及通径的端点画抛物线的草图. -3- 一、抛物线y2=2px(p>0)的简单性质 1.对称性 抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫作抛 物线的轴.抛物线只有一条对称轴. 2.范围 抛物线y2=2px(p>0)在y轴的右侧,它的开口向右,这条抛物线上的 任意一点M的坐标(x,y)满足不等式x≥0;当x的值增大时,|y|也增大,这 说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.抛物线是无界曲线. -4- 3.顶点 抛物线y2=2px(p>0)和它的轴的交点叫作抛物线的顶点.抛物线 的顶点坐标是(0,0). 说明:(1)要掌握抛物线的简单几何性质,如范围、对称性、顶点、 开口方向等.学习利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法, 也就是坐标法.以抛物线y2=2px(p>0)为例,因为p>0,所以x≥0,即抛物 线在y轴右侧,同时x增大时,|y|也增大,说明抛物线向右上方和右下 方无限延展.以-y代替y,方程不变,故抛物线关于x轴对称. (2)顶点即抛物线与坐标轴的交点,抛物线与椭圆比较,它只有一 个焦点,一个顶点,一条对称轴. 4.离心率 抛物线y2=2px(p>0)上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的 比,叫作抛物线的离心率,用e表示,且e=1. -5- 【做一做1-1】 顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线,过点(16,4),则它的方程是( ) A.x2=y或y2=-64x B.y2=x或x2=-64y C.x2=-64y D.y2=x 答案:B 【做一做1-2】 若抛物线x2=2py(p>0)上一点P到准线及对称轴 的距离分别为5和4,则P的纵坐标为 ,p的值 为 . 解析:利用抛物线的定义和点P在抛物线上可解得. 答案:4或1 2或8 -6- 二、通径 , , ,- .连接这两点的线段叫作抛物线 交点的坐标分别为 2 2 的通径,它的长为2p.这就是抛物线的标准方程中2p的一种几何意 义. 【做一做2】 抛物线x2=-4y的通径为AB,O为坐标原点,则( A.通径AB的长为8,△AOB的面积为4 B.通径AB的长为8,△AOB的面积为2 C.通径AB的长为4,△AOB的面积为4 D.通径AB的长为4,△AOB的面积为2 1 解析:|AB|=2p=4,S△AOB= ×1×4=2. 2 答案:D ) 通过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的直线与抛物线两 -7- 三、抛物线标准方程的四种形式 图像 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 对称轴 顶点 焦点坐标 准线方程 x=-2 p x轴 原点 p ,0 2 x= p - ,0 2 y轴 p 0, 2 y= p 0,2 p 2 y=- p 2 p 2 -8- 四、抛物线的焦点弦 1.过抛物线焦点的直线与抛物线相交所截得的弦叫作抛物线的 焦点弦.设抛物线的焦点为F,焦点弦的两端点是A(x1,y1),B(x2,y2),则 由|AB|=|AF|+|BF|及焦半径公式(见上节)可得焦点弦长公式如下表: y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 标准方程 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 焦点弦长 |AB| x1+x2+p p-x1-x2 y1+y2+p p-y1-y2 2.焦点弦的性质 设 AB 为抛物线 y 2=2px(p>0)的焦点弦,A(x1,y 1),B(x2,y2),则 ① 2 y1y2=-p ;②x 1x 2= ;③|AB|=x1+x2+p;④以 AB 为直径的圆与准线相切; 4 1 1 2 2 ⑤|| + || = ;⑥若直线 AB 的倾斜角为 α,则|AB|=sin2 . 2 -9- 【做一做3】 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的 直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p= . 解析:∵F 得x 2 2 -3px+ =0.∴x A+xB=3p.由焦点弦长公式得 xA+xB+p=4p=8,解得 4 ,0 2 ,∴直线 AB 的方程为 y=x- ,将其与 y2=2px 联立, 2 p=2. 答案:2 -10- 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 根据几何性质求抛物线方程 【例1】 根据下列条件,求抛物线的标准方程. (1)顶点为坐标原点,对称轴为x轴,经过点P(4,2 3); (2)与抛物线y2=-16x共顶点,且焦点在直线y=3x+1上. 分析:(1)对称轴为x轴,过第一象限内的点P的抛物线只有开口向 右的一条;(2)求出直线与坐标轴的交点,即为抛物线的焦点,从而分 类求解. -11- 题型一 题型二 题型三 题型四 解 :(1)根据题意 ,设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0). 因为点 P(4,2 3)在抛物线上 , 所以 (2 3)2=2p×4,解得 2p=3. 故所求抛物线的标准方程为 y2=3x. (2)抛物线 y2=-16x 的顶点为坐标原点 , 故所求抛物线的顶点为坐标原点,直线 y=3x+1 与 x 轴的交点为 - ,0 ,与 y 轴的交点为(0,1), 故所求抛物线的焦点为 1 - ,0 3 1 3 或(0,1). -12- 题型一 题型二 题型三 题型四 当焦点为 2 p= , 3 1 - ,0 3 时,设抛物线的标准方程为 y2=-2px(p>0),则 4 =- x. 3 故所求抛物线的标准方程为 y 2 当焦点为(0,1)时,设抛物线的标准方程为 x2=2py(p>0),则 p=2, 故所求抛物线的标准方

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