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西畴县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

西畴县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 下列命题中正确的是( B.任何复数都不能比较大小 C.若 = ,则 z1=z2 D.若|z1|=|z2|,则 z1=z2 或 z1= 2. 两个随机变量 x,y 的取值表为 x y A.x 与 y 是正相关 B.当 y 的估计值为 8.3 时,x=6 C.随机误差 e 的均值为 0 D.样本点(3,4.8)的残差为 0.65 3. 直线 x+y﹣1=0 与 2x+2y+3=0 的距离是( A. B. C. D. ) 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 ) ) A.复数 a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d

座号_____

姓名__________

分数__________

^ 若 x,y 具有线性相关关系,且y=bx+2.6,则下列四个结论错误的是(

?? ? ? 4. 若函数 f ? x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? ? ? ? ? 的图象关于直线 x ? 对称,且当 2 12 ? ? 17 ? 2 ? ? ? x1 ,x2 ? ? ? ,? ? , x1 ? x2 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 f ? x1 ? x2 ? 等于( 3 ? ? 12
A. 2 B.
2 2

) D.
2 4

C.

6 2

5. 曲线 y=x3﹣3x2+1 在点(1,﹣1)处的切线方程为( A.y=3x﹣4 A、 22 B.y=﹣3x+2 B、 23 C.y=﹣4x+3 C、 24 D、 25

) D.y=4x﹣5

6. 在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? 7. 已知 {an } 是等比数列, a2 ? 2,a5 ? A. ?

? a7 ,则 k ?

1 ,则公比 q ? ( 4

) C.2 ) D.

1 2

B.-2

1 2

8. 已知 x>0,y>0,

+ =1,不等式 x+y≥2m﹣1 恒成立,则 m 的取值范围(

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A.(﹣∞, ]

B.(﹣∞,

] C.(﹣∞,

] D.(﹣∞, )

]

9. 已知集合 A ? ? x ? N | x ? 5? ,则下列关系式错误的是( A. 5 ? A A.x﹣2y+7=0 A. {?2, ?1, 0} B. 1.5 ? A B.2x+y﹣1=0 B. {?1, 0,1, 2} C.x﹣2y﹣5=0 C. {?2, ?1, 0} 10.过点(﹣1,3)且平行于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为(

C. ?1? A ) D.2x+y﹣5=0

D. 0 ? A

11.已知集合 A ? {?2, ?1,0,1, 2,3} , B ? { y | y ?| x | ?3, x ? A} ,则 A 【命题意图】本题考查集合的交集运算,意在考查计算能力.

B?(



D. {?1,, 0,1} )

12.已知集合 A={x|1≤x≤3},B={x|0<x<a},若 A?B,则实数 a 的范围是( A.[3,+∞) B.(3,+∞) C.[﹣∞,3]

D.[﹣∞,3)

二、填空题
13.已知向量 a, b 满足 a ? 4 , | b |? 2 , (a ? b) ? (3a ? b) ? 4 ,则 a 与 b 的夹角为 14.平面内两定点 M(0,一 2)和 N(0,2),动点 P(x,y)满足 为曲线 E,给出以下命题: ① ? m,使曲线 E 过坐标原点; ②对 ? m,曲线 E 与 x 轴有三个交点; ③曲线 E 只关于 y 轴对称,但不关于 x 轴对称; ④若 P、M、N 三点不共线,则△ PMN 周长的最小值为 2 m +4; ⑤曲线 E 上与 M,N 不共线的任意一点 G 关于原点对称的另外一点为 H,则四边形 GMHN 的面积不大于 m。 其中真命题的序号是 .(填上所有真命题的序号) ,且|ω|=5 ,则复数 ω= . 15.已知 z,ω 为复数,i 为虚数单位,(1+3i)z 为纯虚数,ω=
2

. ,动点 P 的轨迹

【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识,突出对向量的基础运算及化归能力的考查,属于容易题.

16.在复平面内,复数 17.下列四个命题:



对应的点关于虚轴对称,且

,则

____.

①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点 ②经过空间任意三点有且只有一个平面 ③过两平行直线有且只有一个平面 ④在空间两两相交的三条直线必共面

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其中正确命题的序号是



18.当 a>0,a≠1 时,函数 f(x)=loga(x﹣1)+1 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx﹣y+n=0 上,则 4m+2n 的最小值是 .

三、解答题
19.如图,正方形 ABCD 中,以 D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F,连接 CF 并 延长交 AB 于点 E. (Ⅰ)求证:AE=EB; (Ⅱ)若 EF?FC= ,求正方形 ABCD 的面积.

20.已知条件 p : 的取值范围.

4 ? ?1 ,条件 q : x2 ? x ? a2 ? a ,且 p 是的一个必要不充分条件,求实数 x ?1

21.已知等差数列{an},满足 a3=7,a5+a7=26.

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(Ⅰ)求数列{an}的通项 an; (Ⅱ)令 bn= (n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
*

22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 , (Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)证明:当 a ? ?2 时, f ( x) 有唯一的零点 x0 ,且 x0 ? (0, ) .

1 2

23.已知函数 f(x)=log2(x﹣3), (1)求 f(51)﹣f(6)的值; (2)若 f(x)≤0,求 x 的取值范围.

24.(14 分)已知函数 f ( x) ? mx ? a ln x ? m , g ( x) ?

x ,其中 m,a 均为实数. e x ?1

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(1)求 g ( x) 的极值; 3 分 (2)设 m ? 1, a ? 0 ,若对任意的 x1 , x2 ? [3, 4] ( x1 ? x2 ) , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 5分 (3)设 a ? 2 ,若对任意给定的 x0 ? (0,e] ,在区间 (0,e] 上总存在 t1 , t2 (t1 ? t2 ) ,使得 f (t1 ) ? f (t2 ) ? g ( x0 ) 成立, 求 m 的取值范围. 6 分
1 1 恒成立,求 a 的最小值; ? g ( x2 ) g ( x1 )

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西畴县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:A.未注明 a,b,c,d∈R. B.实数是复数,实数能比较大小. C.∵ 故选:C. 2. 【答案】 ^ ^ 【解析】选 D.由数据表知 A 是正确的,其样本中心为(2,4.5),代入y=bx+2.6 得 b=0.95,即y=0.95x+ ^ 2.6,当y=8.3 时,则有 8.3=0.95x+2.6,∴x=6,∴B 正确.根据性质,随机误差e的均值为 0,∴C 正确.样 ^ 本点(3,4.8)的残差e=4.8-(0.95×3+2.6)=-0.65,∴D 错误,故选 D. 3. 【答案】A 【解析】解:直线 x+y﹣1=0 与 2x+2y+3=0 的距离,就是直线 2x+2y﹣2=0 与 2x+2y+3=0 的距离是: = . = ,则 z1=z2,正确; D.z1 与 z2 的模相等,符合条件的 z1,z2 有无数多个,如单位圆上的点对应的复数的模都是 1,因此不正确.

故选:A. 4. 【答案】C 【 解 析 】

考 点:函数的图象与性质. 【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质,涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想,考查逻 辑推理能力、化归能力和计算能力,综合程度高,属于较难题型.首先利用数形结合思想和转化化归思想可得

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?? ? ,从而 f ? x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ,再次利用数形结合思想和转化化归思想 3? 12 2 3 ? ? 11? 可得 ? x1 ,f ? x1 ?? , 对称,可得 x1 ? x2 ? ? ,从而 ? x2 ,f ? x2 ?? 关于直线 x ? ? 11 12 6 6 ? 11? ? ? f ? x1 ? x2 ? ? 2 sin ? ? ? ?? . 3? 2 ? 3
2?

?

?? ?

?

? k? ? k ? Z ? ,解得 ? ?

?

5. 【答案】B 【解析】解:∵点(1,﹣1)在曲线上,y′=3x ﹣6x, ∴y′|x=1=﹣3,即切线斜率为﹣3. ∴利用点斜式,切线方程为 y+1=﹣3(x﹣1),即 y=﹣3x+2. 故选 B. 【点评】考查导数的几何意义,该题比较容易. 6. 【答案】A 【解析】 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ∴ k ? 22 . 7. 【答案】D 【解析】 试题分析:∵在等比数列 {a n } 中, a 2 ? 2, a 5 ? 考点:等比数列的性质. 8. 【答案】D 【解析】解:x>0,y>0, 所以(x+y)( + )=10+ 当且仅当 + =1,不等式 x+y≥2m﹣1 恒成立, ≥10 =16, ;
2

? a7 ? 7 a1 ?

7?6 d ? 21d ? a1 ? (22 ?1)d , 2

a 1 1 1 3 ,? q ? 5 ? ,? q ? . 4 a2 8 2

时等号成立,所以 2m﹣1≤16,解得 m ];

故 m 的取值范围是(﹣ 故选 D. 9. 【答案】A 【解析】

试题分析:因为 A ? ? x ? N | x ? 5? ,而 1.5 ? N , ?1? N,?.5 ? A, ?1 ? A ,即 B、C 正确,又因为 0 ? N 且

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0 ? 5 ,所以 0 ? A ,即 D 正确,故选 A. 1
考点:集合与元素的关系. 10.【答案】A 【解析】解:由题意可设所求的直线方程为 x﹣2y+c=0 ∵过点(﹣1,3) 代入可得﹣1﹣6+c=0 则 c=7 ∴x﹣2y+7=0 故选 A. 【点评】本题主要考查了直线方程的求解,解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程 x﹣ 2y+c=0. 11.【答案】C 【解析】当 x ?{?2, ?1, 0,1, 2,3} 时, y ?| x | ?3 ?{?3, ?2, ?1,0} ,所以 A 12.【答案】B 【解析】解:∵集合 A={x|1≤x≤3},B={x|0<x<a}, 若 A?B,则 a>3, 故选:B. 【点评】本题考查了集合的包含关系,考查不等式问题,是一道基础题.

B ? {?2, ?1, 0} ,故选 C.

二、填空题
13.【答案】 【

2? 3
解 析 】

14.【答案】①④⑤ 解析:∵平面内两定点 M(0,﹣2)和 N(0,2),动点 P(x,y)满足| ∴ ? =m ①(0,0)代入,可得 m=4,∴①正确; ②令 y=0,可得 x2+4=m,∴对于任意 m,曲线 E 与 x 轴有三个交点,不正确; ③曲线 E 关于 x 轴对称,但不关于 y 轴对称,故不正确; |?| |=m(m≥4),

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④若 P、M、N 三点不共线,|

|+|

|≥2

=2

,所以△ PMN 周长的最小值为 2

+4,正确;

⑤曲线 E 上与 M、N 不共线的任意一点 G 关于原点对称的点为 H,则四边形 GMHN 的面积为 2S△ MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m,∴四边形 GMHN 的面积最大为不大于 m,正确. 故答案为:①④⑤. 15.【答案】 ±(7﹣i) . 【解析】解:设 z=a+bi(a,b∈R),∵(1+3i)z=(1+3i) (a+bi)=a﹣3b+(3a+b)i 为纯虚数,∴ .

又 ω=

= .

=

,|ω|=

,∴

2 把 a=3b 代入化为 b =25,解得 b=±5,∴a=±15.

∴ω=± 故答案为±(7﹣i).

=±(7﹣i).

【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出. 16.【答案】-2 【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知: 所以 故答案为:-2 17.【答案】 ③ . 【解析】解:①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上,故错误; ②经过空间不共线三点有且只有一个平面,故错误; ③过两平行直线有且只有一个平面,正确; ④在空间两两相交交点不重合的三条直线必共面,三线共点时,三线可能不共面,故错误, 故正确命题的序号是③, 故答案为:③ 18.【答案】 2 .

【解析】解:整理函数解析式得 f(x)﹣1=loga(x﹣1),故可知函数 f(x)的图象恒过(2,1)即 A(2,1),

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故 2m+n=1.
m n ∴4 +2 ≥2 m n

=2

=2



当且仅当 4 =2 ,即 2m=n, 即 n= ,m= 时取等号.
m n ∴4 +2 的最小值为 2



故答案为:2

三、解答题
19.【答案】 【解析】证明:(Ⅰ)∵以 D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径半圆交于点 F, 且四边形 ABCD 为正方形, ∴EA 为圆 D 的切线,且 EB 是圆 O 的切线,
2 由切割线定理得 EA =EF?EC,

故 AE=EB. (Ⅱ)设正方形的边长为 a,连结 BF, ∵BC 为圆 O 的直径,∴BF⊥EC,
2 在 Rt△BCE 中,由射影定理得 EF?FC=BF = ,

∴BF=

=

,解得 a=2,

∴正方形 ABCD 的面积为 4.

【点评】本题考查两线段相等的证明,考查正方形面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维 能力的培养. 20.【答案】 ? ?1, 2? . 【解析】

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试题分析:先化简条件 p 得 ?3 ? x ? 1 ,分三种情况化简条件,由 p 是的一个必要不充分条件,可分三种情况 列不等组,分别求解后求并集即可求得符合题意的实数的取值范围.

1 4 x ? ? a ? 1? ? ? 0 ,当 a ? 时,q : ? ; ? ?1 得 p : ?3 ? x ? 1 ,由 x 2 ? x ? a 2 ? a 得 ? x ? a ? ? ? ? 2 x ?1 1 1 当 a ? 时, q : ? a ?1, ?a ? ;当 a ? 时, q : ? ?a, a ?1? 2 2 由题意得, p 是的一个必要不充分条件, 1 1 ? 1? 当 a ? 时,满足条件;当 a ? 时, ? a ?1, ?a ? ? ? ?3,1? 得 a ? ? ?1, ? , 2 2 ? 2? 1 ?1 ? 当 a ? 时, ? ?a, a ?1? ? ??3,1? 得 a ? ? , 2 ? 综上, a ?? ?1, 2? . 2 ?2 ?
试题解析: 由 考点:1、充分条件与必要条件;2、子集的性质及不等式的解法. 【方法点睛】本题主要考查子集的性质及不等式的解法、充分条件与必要条件,属于中档题,判断 p 是的什么 条件,需要从两方面分析:一是由条件 p 能否推得条件,二是由条件能否推得条件 p .对于带有否定性的命题 或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆 命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.本题的解答是根据集合思想解不等式求解的. 21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)设{an}的首项为 a1,公差为 d, ∵a5+a7=26 ∴a6=13, ,

∴an=a3+(n﹣3)d=2n+1; (Ⅱ)由(1)可知 ∴ 22.【答案】(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 3x(ax ? 2) , (1 分)
2

, .

2 2 或 x ? 0 ,解 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? , a a 2 2 ∴ f ( x) 的递增区间为 ( ??, 0) 和 ( , ??) , f ( x) 的递减区间为 (0, ) . (4 分) a a ②当 a ? 0 时, f ( x) 的递增区间为 ( ??, 0) ,递减区间为 (0, ??) . (5 分) 2 2 ③当 a ? 0 时,解 f ?( x) ? 0 得 ? x ? 0 ,解 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? a a
①当 a ? 0 时,解 f ?( x) ? 0 得 x ?
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∴ f ( x) 的递增区间为 ( , 0) , f ( x) 的递减区间为 ( ??, ) 和 (0, ??) . (7 分) (Ⅱ)当 a ? ?2 时,由(Ⅰ)知 ( ??, ) 上递减,在 ( , 0) 上递增,在 (0, ??) 上递减.
2 ? 2? a ?4 ? ? 0 ,∴ f ( x) 在 (??, 0) 没有零点. (9 分) ? a2 ?a? ?1? 1 ∵ f ? 0? ? 1 ? 0 , f ? ? ? (a ? 2) ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 上递减, ?2? 8 1 ∴在 (0, ??) 上,存在唯一的 x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 .且 x0 ? (0, ) (12 分) 2 1 综上所述,当 a ? ?2 时, f ( x) 有唯一的零点 x0 ,且 x0 ? (0, ) . (13 分) 2

2 a

2 a

2 a

2 a

∵f?

23.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 f(x)=log2(x﹣3), ∴f(51)﹣f(6)=log248﹣log23=log216=4; (2)若 f(x)≤0,则 0<x﹣3≤1, 解得:x∈(3,4] 【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,对数的运算性质,解答时要时时注意真数大于 0,以免 出错. 24.【答案】解:(1) g ?( x) ? 列表如下: x
g ?( x)

e(1 ? x) ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x = 1. ex

(?∞,1) ? ↗

1 0 极大值

(1,?∞) ? ↘ (1) = 1,∴y = g ( x) 的极 为 1, 无极小值. 3

∵ 分

g

g(x)

大值 (2)当 m ? 1, a ? 0 时, f ( x) ? x ? a ln x ? 1 , x ? (0, ??) . ∵ f ?( x) ?
x?a ? 0 在 [3, 4] 恒成立,∴ f ( x) 在 [3, 4] 上为增函数. x

设 h( x ) ?

1 ex e x ?1 ( x ? 1) ? ,∵ h?( x) ? > 0 g ( x) ex x2

在 [3, 4] 恒成立, ∴ h( x) 在 [3, 4] 上为增函数. 于 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? h( x2 ) ? h( x1 ) ,
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设 x2 ? x1 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

1 1 等价 ? g ( x2 ) g ( x1 )

即 f ( x2 ) ? h( x2 ) ? f ( x1 ) ? h( x1 ) .

1 ex 设 u( x) ? f ( x) ? h( x) ? x ? a ln x ? 1 ? ? ,则 u(x)在 [3, 4] 为减函数. e x a 1 e x ( x ? 1) e x ?1 x ?1 ∴ u?( x) ? 1 ? ? ? 在( 3 , 4 )上恒成立. ∴ 恒成立. ≤ 0 a ≥ x ? e ? x e x2 x e x ?1 ex?1 ( x ? 1) 1 1 3 设 v( x) ? x ? e x ?1 ? ,∵ v?( x) ? 1 ? ex?1 ? = 1 ? e x ?1 [( ? )2 ? ] ,x?[3,4], x 2 4 x x2 1 1 3 3 ∴ e x ?1 [( ? )2 ? ] ? e2 ? 1 ,∴ v?( x) < 0, v ( x ) 为减函数. x 2 4 4 2 ∴ v ( x ) 在[3,4]上的最大值为 v(3) = 3 ? e 2 . 3 2 2 2 2 ∴a≥3 ? e ,∴ a 的最小值为 3 ? e . 8分 3 3 (3)由(1)知 g ( x) 在 (0,e] 上的值域为 (0,1] .
∵ f ( x) ? mx ? 2ln x ? m , x ? (0, ??) , 当 m ? 0 时, f ( x) ? ?2ln x 在 (0,e] 为减函数,不合题意. 2 m( x ? ) m ,由题意知 f ( x) 在 (0,e] 不单调, 当 m ? 0 时, f ?( x) ? x 2 2 所以 0 ? ? e ,即 m ? .① m e 2 2 此时 f ( x) 在 (0, ) 上递减,在 ( ,e) 上递增, m m 3 ∴ f (e)≥1 ,即 f (e) ? me ? 2 ? m≥1 ,解得 m≥ .② e ?1 3 由①②,得 m≥ . e ?1 2 ∵ 1 ? (0, e] ,∴ f ( )≤ f (1) ? 0 成立. m 2 下证存在 t ? (0, ] ,使得 f (t ) ≥1. m 2 取 t ? e? m ,先证 e? m ? ,即证 2em ? m ? 0 .③ m 3 设 w( x) ? 2e x ? x ,则 w?( x) ? 2e x ? 1 ? 0 在 [ , ??) 时恒成立. e ?1 3 3 ∴ w( x) 在 [ , ??) 时为增函数.∴ w( x)≥w( ) ? 0 ,∴③成立. e ?1 e ?1 再证 f (e? m ) ≥1. 3 3 ∵ f (e? m ) ? me? m ? m ? m≥ 时,命题成立. ? 1 ,∴ m≥ e ?1 e ?1 3 综上所述, m 的取值范围为 [ 14 分 , ??) . e ?1
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