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高中数学课件 7-2空间几何体的表面积和体积(完整版)


7.2 空间几何体的表面积和体积

知识梳理

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1.旋转体的侧面积与表面积公式: (1)圆柱的侧面积:S=2π rl,其中r 为底半径,l为母线长.

(2)圆锥的侧面积:S=π rl,其中r为 底半径,l为母线长.
(3)圆台的侧面积:S=π l(r+r′),其 中r′,r为上、下底半径,l为母线长. (4)球的表面积:S=4π R2,其中R为 球半径.

2.简单几何体的体积公式: (1)柱体的体积:V=Sh,其中S为底面 积,h为高. 1 ,其中S为底 (2)锥体的体积: ? Sh V 3 面积,h为高. 1 (3)台体的体积: ? ( S ? ? S ?S ? S )h V 3 其中S、S′为上、下底面积,h为高.

4 3 (4)球的体积: ? ? R ,其中R为球 V 3 半径.

拓展延伸

1.表面积是指几何体外表面的面积, 柱、锥、台体的表面积等于侧面积加底 面积,简单组合体的表面积应根据图形 来确定.
2.体积是指几何体占有空间部分的大 小,棱长为1个单位的正方体的体积是一 个体积单位.两个等底等高的同类几何体 的体积相等.

3.在圆台的侧面积公式中,分别令 r′=r,r′=0,即得圆柱、圆锥的侧面积 公式;在台体的体积公式中,分别令 S′=S,S′=0,即得柱体、锥体的体积公 式.
4.斜棱柱的体积等于垂直于侧棱的截 面(直截面)面积乘以侧棱长.

5.若多面体有一个半径为R的内切球, 其表面积为S,则该多面体的体积 1 V ? SR . 3 6.若棱锥的各侧面都与底面成θ 角, 则 S底 ? S侧 ? cos ? .

考点分析

考点1 求旋转体的表面积 例1 已知圆台的上、下底面半径分别 是10cm和20cm,其侧面展开图的扇环圆 心角为180°,求圆台的表面积.

例2 有三个球和一个正方体,第一个 球内切于正方体,第二个球与正方体的 各条棱都相切,第三个球过正方体的各 顶点,求这三个球的表面积之比.

例3 已知半径分别为R,r(R>r)的 两球外切,并内切于一个圆锥,这两球 与圆锥侧面的交线分别为圆O1,O2,求 圆锥夹在圆O1与O2之间的圆台的侧面积. 【解题要点】 作轴截面→求相关数据→代入公式求面 积.

考点2 求多面体的表面积

例4 已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底 面是平行四边形,∠ABC=60°,AB=a, 截面ABC1D1的面积为m,且与底面ABCD成 30°的二面角,求这个四棱柱的表面积.
C1 B1 A1 C D A B

D1

例5 正三棱锥P-ABC的底边长为a, D为侧棱PA上一点,且AD=2PD,若PA⊥ 平面BCD,求这个三棱锥的侧面积.
P D A C

B

例6 已知三棱台ABC-A1B1C1的上、下 底面积分别为a、b(a<b),各侧面与下 底面所成的二面角都为θ ,求这个三棱 台的侧面积. A C
A1
B C1

B1 【解题要点】 转化为多边形面积→用方程思想或解三 角形求边长→将侧面积转化为底面积.

考点3 求几何体的截面积 例7 已知圆台的上、下底面半径分别 为r,R(r<R),一个平行于底面的截面 将圆台的侧面分成面积相等的两部分, 求这个截面圆的面积.

例8 正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长 为 2 3,高为2,过点B作平行于棱AC的截 面,使截面与底面成60°的二面角,求 B1 C1 这个截面的面积.
A1

B

C

【解题要点】 A 确定截面形状与位置→用方程思想或解 三角形求相关数据.

考点4 求几何体的体积 例9 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 点E,F分别是棱AA1,CC1的中点,求四 棱锥A1-EBFD1的体积.
A1 B1 E A C1 F C D1

D

B

例10 已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的 底面是边长为4的菱形,∠ABC=60°, 侧棱长为6,在棱AB,CC1,CD上分别取 点E,F,G,使BE=3,CF=2,CG=1, 求多面体CFG-BB1E的体积.
C1 D1 G D F A1

B1

C
A E

B

例11 在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面 ABC,平面PAB⊥平面PBC,∠BPC=45°, PB=a,求这三棱锥外接球的体积.
P

A B

C

例12 在三棱锥P-ABC中,AB=10, BC=6,AC=8,各侧面都与底面成60° 的二面角,求这三棱锥内切球的体积.
P

A

B

C

例13 在棱长为2的正方体ABCD- A1B1C1D1中,E,F分别是BB1和CD的中点, 求三棱锥F-A1ED1的体积.
D1 A1 B1

C1

D
A

F

E
B

C

例14 四棱锥P-ABCD的底面是矩形, △PAD是边长为2的正三角形,且侧面 PAD⊥底面ABCD, PB⊥AC,点E为PD的中 点,求三棱锥P-BCE的体积.
P E

D
A

C

B

【解题要点】 用平几方法分析数量关系→用方程思想 或解三角形求边长→利用等积变换(换底 面,移顶点,图形割补)求体积.

考点5 以三视图为背景的表面积与体积问题

例15(09·宁夏∕海南卷)已知某几 何体的三视图如下(单位:cm),则该几 何体的全面积为 cm2.
3
4 6 正视图 6 3 6 俯视图 6 侧视图 3 4

3 3

例16 (09·天津卷)如图是一个几 何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a= .
3 3

a

3 正视图 1

2 侧视图

1

【解题要点】 俯视图 画几何体的直观图→确定直观图中的线 面位置关系→将三视图中的相关数据对 应到直观图.

考点6 求表面积或体积变量的最值 例17 圆锥的底面半径为5cm,高为 12cm,求该圆锥的内接圆柱的表面积的 最大值. P
D A C B

例18 如图,等腰三角形△ABC的底边 AB= 6 6 ,高CD=3,点E是线段BD上异 于B、D的动点,点F在BC边上,且EF⊥AB, 沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使 PE⊥AE,求四棱锥P-ACFE的体积的最大 P 值.
A C D F

E

B

例19 直角三角形ABC的三边长分别为a, b,c,在平面ABC内有一条直线l经过直 角顶点C,且点A,B位于直线l的同侧, 以直线l为轴将△ABC旋转一周,求由三 边旋转而成的曲面所围成的几何体的体 积的最大值. l A 【解题要点】 C 合理选取自变量→建立目 标函数→指出定义域→求 最值.

B

考点7 表面积或体积条件的转化 例20 已知一个圆台内切一个球,且圆 台的侧面积与球的表面积之比为4︰3, 求圆台的母线与底面所成的角.

例21 在三棱锥P-ABC中,O为△ABC 的垂心,PO⊥底面ABC,PB=PC,BC=2, 1 且这个三棱锥的体积为 ,求二面角 3 P P―BC―A的大小.

A
O

B

【解题要点】 C 将面积或体积条件转化为边角关系→用 方程思想求边角值.


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