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湖北武汉中学2013届高三上学期10月月考数学理试题

湖北武汉中学 2013 届高三 10 月月考

数学(理)试题
考生注意: 说明: 本试卷满分 150 分; 答题时间 120 分钟. 答卷前,考生务必将自己的姓名、学校、 班级、考号填写在答题纸密封线内相应位置.选择题每小题选出答案后,请将答案填在答题 卡中相应位置,非选择题答案写在答题纸指定位置,不能答在试题卷上,考试结束后,将答 题纸交回, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是 符合题目要求的. 1.已知点 A(-1,1) ,点 B(2,y) ,向量 a=(l,2) ,若 A B / / a ,则实数 y 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8
??? ?

2.已知等比数列 { a n }中 , a1 ? a 2 ? a 3 ? 40, a 4 ? a 5 ? a 6 ? 20, 则前 9 项之和等于 A.50
2

B.70

C.80

D.90

3. y ? (sin x ? co s x ) ? 1 是 A.最小正周期为 2π 的偶函数 B.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为π 的偶函数 D.最小正周期为π 的奇函数 4.在右图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列, 每一纵列成等比数列,那么 x+y+z 的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知各项均不为零的数列 { a n } ,定义向量
?? ? ?? ? * c n ? ( a n , a n ? 1 ), b n ? ( n , n ? 1), n ? N ,下列命题中真命题是

A.若 ? n ? N , 总 有 c n / / b n 成立,则数列 { a n } 是等差数列
*

B.若 ? n ? N , 总 有 c n / / b n 成立,则数列 { a n } 是等比数列
*

C.若 ? n ? N , 总 有 c n ? b n 成立,则数列 { a n } 是等差数列
*

D.若 ? n ? N , 总 有 c n ? b n 成立,则数列 { a n } 是等比数列
*

6.若 sin2x、sinx 分别是 sinθ 与 cosθ 的等差中项和等比中项,则 cos2x 的值为 A.
1? 8 33

B.

1? 8

33

C.

1? 8

33

D.

1? 4

2

第 1 页 共 15 页

7.如图是函数 y ? sin(? x ? ? ) 的图象的一部分,A,B 是图象上的一个最高点和一个最低 点,O 为坐标原点,则 O A ? O B 的值为 A. ? C. ?
9
2 1
2

??? ??? ? ?

1

B. ?
?1

1

2

?1

D. ?
3

9 1

2

?1

8.已知函数 f ( x ) ? cos x ( x ? (0, 2 ? )) 有两个不同的零点 x1,x2,且方程 f ( x ) ? m 有两个 不同的实根 x3,x4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为 A.
1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D.—

3 2

9.设函数 f(x) =ex(sinx—cosx) ,若 0≤x≤2012π ,则函数 f(x)的各极大值之和为 A.
e (1 ? e
?
1006?

)

1? e

?

B.

e (1 ? e 1? e e (1 ? e
?

?

2012? 2?

)

C



e (1 ? e 1? e

?

1006? 2?

)

2012?

D. 10.设函数 f ( x ) ? x ( ) ?
x

)

1? e

?

1

1 x ?1
?? ?

2
n(n ? N )
*

, A 0 为坐标原点,A 为函数 y ? f ( x ) 图象上横坐标为

的点,向量 a n ?

?

n

??????? ?? ? ? A k ? 1 A k , 向 量 i ? (1, 0 ), 设 ? n 为 向 量 a n 与 向 量 i 的夹

k ?1

角,满足 ? tan ? k ?
k ?1

n

5 3

的最大整数 n 是

A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上, 题两空的题,其答案按先后次序填写,填错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.设 f (sin ? ? cos ? ) ? sin 2 ? , 则 f ( ) 的值为
3 1



12.已知曲线 f ( x ) ? x

n ?1

( n ? N ) 与 直 线 x ? 1 交于点 P,若设曲线 y=f(x)在点 P 处的
*

切 线 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 为 x n , 则 log 2012 x1 ? log 2012 x 2 ? ? ? log 2012 x 2011 的 值 为 ____. 13.已知 sin x ? sin y ? ?
2 3
???? ??? ?

, co s x ? co s y ?

2 3

, 且 x,y 为锐角,则 tan(x -y)=



14.如图放置的正方形 ABCD,AB =1.A,D 分别在 x 轴、y 轴的正半 轴(含原点)上滑动,则 O C ? O B 的最大值是____.

第 2 页 共 15 页

15.由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项,将每个图形 的层数增加可得到这四个数列的后继项,按图中多边形的边数依次称 这些数列为“三角形数列”“四边形数列”?,将构图边数增加到 n 可 、 得到“n 边形数列” ,记它的第 r 项为 P(n,r) ,则(1)使得 P(3,r)>36 的最 小 r 的取值是 ; (2)试推导 P(n,r)关于,n、r 的解析式是____.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)
a 已知 O A ? (2 a sin x , a ), O B ? ( ? 1, 2 3 sin x cos x ? 1) , 为坐标原点, ? 0, 设 O
2

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? f ( x ) ? O A ? O B ? b, b ? a.

(I)若 a ? 0 ,写出函数 y ? f ( x ) 的单调速增区间; (Ⅱ)若函数 y=f(x)的定义域为[
?
2 , ? ],值域为[2,5],求实数 a 与 b 的值,

17. (本小题满分 12 分) 如图,某测量人员,为了测量西江北岸不能到达的两点 A,B 之间的距离,她在西江南 岸找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A,B;找到一个点 D,从 D 点可以观察到点 A, C;到一个点 E,从 E 点可以观察到点 B,C;并测量得到数据:∠ACD=90°,∠ADC= 60°,∠ACB =15°,∠BCE =105°,∠CEB =45°,DC=CE =1(百米) . (I)求△CDE 的面积; (Ⅱ)求 A,B 之间的距离.

第 3 页 共 15 页

18. (本小题满分 12 分) 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款, 旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习 期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过 6000 元.某大学 2010 届毕业生李顺在本科期间共申请了 24000 元助学贷款,并承诺在毕业后 3 年内(按 36 个月计)全部还清. 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月 1500 元, 13 个月开始, 第 每月工资比前一 个月增加 5%直到 4000 元.李顺同学计划前 12 个月每个月还款额为 500 元,第 13 个 月开始,每月还款额比前一月多 x 元. (I)若李顺恰好在第 36 个月(即毕业后三年)还清贷款,求 x 的值; (II)当 x=50 时,李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款?他还清贷款的那一个月的 工资余额是多少? (参考数据:1.0518 =2.406,1.0519=2.526,1.0520 =2.653,1.0521=2.786)

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? sin x . (I)当 x ? [0, ? ]时 , 求 f ( x ) 的值域;
2 (II)设 g ( x ) ? f ?( x ) ? 1, 若 g ( x ) ? 1 ? ax 在 [0, ? ? ) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 13 分) 已
2



f ( x ) ? ( x ? 1) , g ( x ) ? 10( x ? 1), 数 列 { a n }满 足 a1 ? 2, ( a n ? 1 ? a n ) g ( a n ) ? f ( a n ) ? 0,

bn ?

9 10

( n ? 2 )a(n ?

1).

第 4 页 共 15 页

(I)求证:数列{an,-1)是等比数列; (Ⅱ)当 n 取何值时,bn 取最大值,并求出最大值; (Ⅲ)若
t
m

?

t

m ?1

对 任 意 m ? N 恒成立,求实数 t 的取值范围.
*

bm

bm ?1

21. (本小题满分 14 分) 设曲线 C: f ( x ) ? ln x ? ex ( e ? 2.71828 ? ), f ?( x ) 表 示 f ( x ) 导函数. (I)求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)数列{an}满足 a1 ? e , a n ? 1 ? 2 f ? (
1 an ? 3 e ) .求证:数列{an}中不存在成等差数列

的三项; (Ⅲ)对于曲线 C 上的不同两点 A(x1,y1) ,B (x2,y2) 1<x2,求证:存在唯一的 ,x
x 0 ? ( x1 , x 2 ) ,使直线 AB 的斜率等于 f ? ( x 0 ).

第 5 页 共 15 页

参考答案
一、选择题: 1. 【考点分析】本题主要考查平面向量的运算和向量平行充要条件的基本运用. 【参考答案】 C 3 y-1 → → 【解题思路】AB=(3,y-1) ,∵AB∥a,∴ = ,∴y=7. 1 2 2. 【考点分析】本题主要考查等比数列的基本运算性质. 【参考答案】 B. 【 解 题 思 路 】 ?
a 4 ? a 5 ? a 6 ? ( a1 ? a 2 ? a 3 ) q
3 3

, ?

q

3

?

1 2



a 7 ? a 8 ? a 9 ? ( a 4 ? a 5 ? a 6 ) q =10,即 s 9 =70.

3. 【考点分析】本题考查三角函数的性质和同角三角函数的基本关系式的运用,考查基本运 算能力. 【参考答案】D 【 解 题 思 路 】 y ? (sin x ? cos x ) ? 1 ? 2 sin x cos x ? sin 2 x , 所 以 函 数
2

y ? (sin x ? cos x ) ? 1 是最小正周期为 ? 的奇函数。
2

4. 【考点分析】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式,考查观察分析和运算能力. 【参考答案】B 【解题思路】第一行是以 2 为首项,以 1 为公差的等差数列,第一列是以 2 为首项, 并且每一列都是以
1 2 5 8 3 8

由为公比的等比数列,由等差数列和等比数列的通项公式可求得

x ? 1, y ?

,z ?

,所以它们的和等于 2,故选 B。

5. 【考点分析】本题考查了等差数列和等比数列的判定,以及平行向量和垂直向量的基本结 论. 【参考答案】A
a n ?1 【解题思路】:由 c n / / b n ,可得,nan+1=(n+1)an,即 n ? 1 ? ,于是 an=na1,故 an n

选 A. 6. 【考点分析】本题考查等差中项和等比中项的定义以及三角变换,考查方程思想和运算能 力. 【参考答案】A 【解题思路】依题意有 2 sin 2 x ? sin ? ? cos ? , ①
s i nx ?
2

? i n? c o s s


1? 8
第 6 页 共 15 页

2 由①2-②× 得, 4 cos 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 0 ,解得 co s 2 x ? 2

33



又由 sin

2

o n x ? sin ? cos ? ,得 c s 2 x ? 1 ? si 2? ? 0 ,所以

1? 8

33

不合题意。故选 A。

7. 【考点分析】本题主要考查正弦函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像与性质以及数量积的坐标 表示,数形结合思想. 【参考答案】C T 5π π π 【解题思路】由图知 = - = ,∴T=π, ∴ω=2,∴y=sin(2x+φ) , 4 12 6 4 π π 将点?-12,0?的坐标代入得 sin?-6+φ?=0, ? ? ? ? π ∴φ= , 6 C.

2 π 2π → → π ∴A?6,1?,B? 3 ,-1?,∴OA· = -1,故选 OB ? ? ? ? 9

8.【考点分析】本题主要考查函数的零点和等差数列的定义,考查数形结合思想. 【参考答案】D ? 3? 【解题思路】设两个根依次为 ? , ? (? ? ? ) .而函数 y ? f ( x ) 的零点为 , ,则由图
2 2




5? 6



:

?
2

?? ? ? ?
3 2

3? 2

, ? ? ? ? 2? ?

?
2

?

3? 2









? ?

,? m ? cos

5? 6

? ?



9. 【考点分析】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和. 【参考答案】 B. 【解题思路】 ∵函数 (x) (sinx-cosx) ∴f′ f =ex , (x) x) (sinx-cosx) (sinx-cosx) = (e ′ +ex ′ x =2e sinx, ∵x∈(2kπ ,2kπ +π )时,f′(x)>0,x∈(2kπ +π ,2kπ +2π )时,f′(x) <0, ∴x∈(2kπ ,2kπ +π )时原函数递增,x∈(2kπ +π ,2kπ +2π )时,函数 f(x) =ex(sinx-cosx)递减,故当 x=2kπ +π 时,f(x)取极大值,其极大值为 f(2kπ +π ) =e2kπ+π[sin(2kπ +π )-cos(2kπ +π )]=e2kπ+π×(0-(-1))=e2kπ+π,又 0≤x≤2012π , ∴函数 f(x)的各极大值之和 S=e +e +e +?+e
π 3π 5π 2011π

e (1 ? e 1? e

?

2012 ? 2?

)

=

.故选

B. 10. 【考点分析】本题考查函数、数列与向量的综合应用,考查向量的夹角公式的运算及正 切函数的定义. 【参考答案】B 【解题思路】由题意知 An=(n,f(n), a n ? A 0 A n ,则θ n 为直线 A0An 的倾斜角, ) 所以 tanθ n=
f (n) n 1 ? 5 5 ?1? ? ? ? ? ,所以 tanθ 1=1,θ 1= ,tanθ 2= ,tanθ 3= , n ( n ? 1) 12 24 4 ?2?
n

?

?

第 7 页 共 15 页

tanθ 4= 则有 1+

9 80 5 12 5 24 13 8 5 3 139 80 13 8 9 80

+

=

<

<

=

?

,故满足要求的最大整数 n 是 3.故选

B. 二、填空题: 11. 【考点分析】本题主要考查了函数的概念和函数解析式,以及三角函数的基本运算. 【参考答案】 ?
8 9

【 解 题 思 路 】 设 x ? sin ? ? cos ? , 则 s i n2? ? x ? 1 , f ( x ) ? x ? 1 , 所 以
2

2

1 8 f( ) ? ? . 3 9

12. 【考点分析】本题主要考查了导数的几何意义的应用,数列的运算及对数的运算性质的 综合应用,考查了基本运算的能力. 【参考答案】 -1 【解题思路】f ′(x)=(n+1)xn,k=f ′(1)=n+1,点 P(1,1)处的切线方程为: y-1=(n+1) (x-1) ,令 y=0 得,x=1- 1 n n = ,即 xn= ,∴x1× 2×…×x2011 x n+1 n+1 n+1

1 1 2 3 2010 2011 = × × ×…× = ,则 log2012x1 +log2012x2 +…+log2012x2011 =log2012 ? 2 3 4 2011 2012 2012

(x1× 2×…×x2011)=log2012 x

1 2012

=-1.

13. 【考点分析】本题主要考查两角和与差的正弦余弦正切,同角三角函数的基本关系式, 正弦余弦函数的诱导公式及其运用,考查正弦函数的单调性. 2 14 【参考答案】 - 5 5 【解题思路】两式平方相加得:cos(x-y)= , 9 ∵x、y 为锐角,sinx-siny<0,∴x<y, 2 14 ∴sin(x-y)=- 1-cos2?x-y?=- , 9 sin?x-y? 2 14 ∴tan(x-y)= =- . 5 cos?x-y? 14.【考点分析】本题主要考查向量的线性运算和数量积的基本运算. 【参考答案】2 【解题思路】法一: 取 AD 的中点 M ,连接 OM .则.

第 8 页 共 15 页

OC ? OB ? ( OD ? DC ) ? ( OA ? AB ) ? OA ? OD ? AB ? DC ? OA ? DC ? OD ? AB ? 0 ? 1 ? OA ? AB ? OD ? AB ? 1 ? AB ? ( OA ? OD ) ? 1 ? AB ? 2 OM ? 1 ? 2 OM AB ? 1 ? 2 ? 1 2 ?1 ? 2

法二:设 ? BAx ? ? ,则 B (sin ? ? cos ? , sin ? ), C (cos ? , sin ? ? cos ? ), ( 0 ? ? ?
? OC ? OB ? ( c o s , s i n? ? c o s? ) ? ( s i n ? c o s? , s i n? ) ? ? ? s i n? c o s? ? c o s ? ? s i n ? ? s i n? c o s?
2 2

?
2

),

? 1 ? s i n2? ? 2

15. 【考点分析】本题考查等差数列的基本知识,递推数列的通项公式的求解等基本方法, 考察抽象概括能力以及推理论证能力. 【参考答案】 (1) r ? 9 . (2) P ( n , r ) ? 等) 【解题思路】 (1) P (3, r ) ? 的r ? 9 . (2)设 n 边形数列所对应的图形中第 r 层的点数为 a r ,则 P ( n , r ) ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a r 从图中可以得出:后一层的点在 n ? 2 条边上增加了一点,两条边上的点数不变, 所以 a r ? 1 ? a r ? n ? 2 , a1 ? 1 所以 { a r } 是首项为 1 公差为 n ? 2 的等差数列, 所以 P ( n , r ) ?
r 2 [ 2 ? ( r ? 1)( n ? 2 )] . (或 r ? ( n ? 2 ) r ( r ? 1) 2

r 2

[ 2 ? ( r ? 1)( n ? 2 )] . (或 r ?

( n ? 2 ) r ( r ? 1) 2

r ( r ? 1) 2

,

由题意得

r ( r ? 1) 2

? 36 ,

所以,最小

等)

三、解答题: 16. 【考点分析】本小题考查三角函数的性质,同角三角函数的关系,两角和的正、余弦公 式、诱导公式和向量等基础知识和基本运算能力,函数与方程、化归与转化、分类讨论 等数学思想. π [解析] (1)f(x)=-2asin2x+2 3asinxcosx+a+b=2asin?2x+6?+b, ? ? π π π ∵a>0,∴由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ 得, 2 6 2 π π kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 3 6

π π ∴函数 y=f(x)的单调递增区间是[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 3 6 π π 7π 13π (2)x∈[ ,π]时,2x+ ∈[ , ], 2 6 6 6 π 1 sin?2x+6?∈[-1, ] ? ? 2

第 9 页 共 15 页

当 a>0 时,f(x)∈[-2a+b,a+b]

? ? ?-2a+b=2 ?a=1 ∴? ,得? , ?a+b=5 ?b=4 ? ? ? ? ?a+b=2 ?a=-1 ∴? ,得? ? ? ?-2a+b=5 ?b=3

当 a<0 时,f(x)∈[a+b,-2a+b]
?a=-1 ?a=1 ? ? 综上知,? 或? ? ? ?b=3 ?b=4

17. 【考点分析】本题是解三角形的应用问题,考查三角形中的正弦定理、三角恒等变换、 三角函数性质等基础知识,主要考查运算求解、推理论证等能力. 解: (1)连结 DE,在?CDE 中, ? D C E ? 360 o ? 90 o ? 15 o ? 105 o ? 150 o , (1 分)
S ?CDE ? 1 2 D C ? C E ? sin 1 5 0 ?
o

1 2

? sin 3 0 ?
o

1 2

?

1 2

?

1 4

(平方百米)
? 3

(4 分) (5 分)

(2)依题意知,在 RT?ACD 中, A C ? D C ? tan ? A D C ? 1 ? tan 60 o 在?BCE 中, ? C BE ? 180 o ? ? BC E ? ? C EB ? 180 o ? 105 o ? 45 o ? 30 o 由正弦定理 得 BC
?
BC sin ? C E B ? CE sin ? C B E

(6 分)
? sin 4 5 ?
o

CE sin ? C B E

? sin ? C E B ?

1 sin 3 0
o

2

(7 分)
o

∵ cos 15 o

? cos(60 ? 45 ) ? cos 60 cos 45 ? sin 60 sin 45
0 o 0 o 0

(8 分) (9 分)

?

1 2

?

2 2

?

3 2

?

2 2

?

6 ? 4
2

2
2

在?ABC 中,由余弦定理 A B 2 可得 A B 2 ∴ AB
?
? 3 ?
2

? A C ? B C ? 2 A C ? B C cos ? A C B

(10 分) (11 分) (12 分)

2 ?2 3?

2

2?

6 ? 4

2

? 2?

3

2?

3

(百米)

18. 【考点分析】本题主要考查一元二次不等式的应用,数列的基本应用和等差数列的性质, 考查等价转化和建模能力.

(2)设李顺第 n 个月还清,则应有
1 2 ? 5 0 0 ? (5 0 0 ? 5 0 ) ? ( n ? 1 2 ) ? ( n ? 1 2 ) ? ( n ? 1 2 ? 1) 2
2 整理可得 n ? 3 n ? 828 ? 0 ,解之得 n ?

? 50 ? 24000

3?

3321 2

? 3 0 ,取 n ? 3 1 ,

第 10 页 共 15 页

即李顺工作 31 个月就可以还清贷款. 这个月,李顺的还款额为
2 4 0 0 0 ? [1 2 ? 5 0 0 ? (5 0 0 ? 5 0 ) ? (3 0 ? 1 2 ) ? (3 0 ? 1 2 ) ? (3 0 ? 1 2 ? 1) 2 ? 5 0 ] ? 4 5 0 元,

第 31 个月李顺的工资为 1500 ? 1.05 19 ? 1500 ? 2.526 ? 3789 元, 因此,李顺的剩余工资为 3789 ? 450 ? 3339 . …………………12 分 19. 【考点分析】本题考查函数、导数和三角函数知识的综合运用,利用导数研究函数的单 调性、值域,主要考查运算求解能力. 解: (Ⅰ) ? f ( x ) ? 1 ? co s x ? 0,? f ( x ) 在 [0, ? ] 上单调递增.
'

? f ( x ) m in ? f (0) ? 0, f ( x ) m ax ? f ( ? ) ? ?

所以函数 f ( x ) 的值域为 [0, ? ]
2

……………………. 5 分

(Ⅱ) g ( x ) ? co s x ,记 ? ( x ) ? cos x ? ax ? 1 ,则 ? '( x ) ? ? sin x ? 2 ax . 当a ? ?
1 2

时, ? "( x ) ? ? cos x ? 2 a ? 0 ,所以 ? '( x ) 在 [0, ? ? ) 上单调递增.

又 ? '(0) ? 0 ,故 ? '( x ) ? 0 .从而 ? ( x ) 在 [0, ? ? ) 上单调递增. 所以 ? ( x ) ? ? (0) ? 0 ,即 co s x ? 1 ? a x 在 [0, ? ? ) 上恒成立………….8 分
2

当a ? ?

1 2

时, ? " ( 0 ) ? ? 1 ? 2 a ? 0 ,? ? x 0 ? 0 , 使 x ? ( 0 , x 0 )时, ? " ( x ) ? 0 .

所以 ? ' ( x ) 在 ( 0, x 0 ] 上单调递减,从而 ? ' ( x ) ? ? ' ( 0 ) ? 0 , 故 ? ( x ) 在 ( 0 , x 0 ] 上单调递减, ? ( x ) ? ? ( 0 ) ? 0 这与已知矛盾. …… 综上,故 a 的取值范围为 a ? ?
1 2

. …………….12 分

20. 【考点分析】本题主要考查数列的基本应用和等比数列的性质,以及数列的通项公式考 查等价转化和函数方程思想. 解: (I)∵ ( a n ? 1 ? a n ) g ( a n ) ? f ( a n ) ? 0 , f ( a n ) ? ( a n ? 1) , g ( a n ) ? 10 ( a n ? 1) ,
2


( a n ? 1) (10a - 9a

( a n ? 1 ? a n )10(a
- 1) ? 0 .
*

n

- 1) ? (a

n

- 1)

2

? 0





n ?1

n

又 a 1 ? 2 ,可知对任何 n ? N , a n ? 1 ? 0 ,所以 a n ? 1 ?

9 10

an ?

1 10

.????2 分

第 11 页 共 15 页

9



a n ?1 ? 1 an ?1

?

10

an ? an

1

?1 ?

10 ?1

9 10


9 10
*

∴ ?a n ? 1? 是以 a 1 ? 1 ? 1 为首项,公比为 (II)由(I)可知 a n ? 1 = ( ∴bn ?
9 10 9 10 )
n ?1

的等比数列.???4 分

(n ? N ) .
9 10 ) .
n

( n ? 2 )( a n ? 1) ? ( n ? 2 )(

b n ?1 bn

( n ? 3 )( ?

9

9 1 10 ? (1 ? ) .???????????5 分 9 n 10 n?2 ( n ? 2 )( ) 10
b8 b7 ? 1,b8 ? b7 ;

)

n ?1

当 n=7 时,

当 n<7 时,

b n ?1 bn b n ?1 bn

? 1 , b n ?1 ? b n ;

当 n>7 时,

? 1 , b n ?1 ? b n .

∴当 n=7 或 n=8 时, b n 取最大值,最大值为 b 7 ? b 8 ?
m m ?1

9 10

8 7

.??8 分

(III)由

t

?

t

,得 t [

m

1 m ?2
*

?

10t 9 ( m ? 3)

]? 0

(*)

bm

b m ?1

依题意(*)式对任意 m ? N 恒成立, ①当 t=0 时, (*)式显然不成立,因此 t=0 不合题意.????9 分 ②当 t<0 时,由
1 m ?2
m

?

10t 9 ( m ? 3)

? 0 ,可知 t

m

? 0 (m ? N ) .
*

而当 m 是偶数时 t ③当 t>0 时,由 t ∴
1 m ?2 ? 10t 9 ( m ? 3) ? 0
m

? 0 ,因此 t<0 不合题意.????10 分
*

? 0 ( m ? N ),

∴t ?

9 ( m ? 3) 10 ( m ? 2 )



( m ? N )??11 分
*

设 h (m ) ?

9 ( m ? 3) 10 ( m ? 2 )

(m ? N )
*

第 12 页 共 15 页

∵ h ( m ? 1) ? h ( m ) ?

9(m ? 4) 10 ( m ? 3 )

?

9 ( m ? 3) 10 ( m ? 2 )

=?

9 10

?

1 ( m ? 2 )( m ? 3 )

? 0,

∴ h (1) ? h ( 2 ) ? ? ? h ( m ? 1) ? h ( m ) ? ? . ∴ h ( m) 的最大值为 h (1) ?
6 5


6 5

所以实数 t 的取值范围是 t ?

.?????????????13 分

21. 【考点分析】本题考查函数、导数和数列知识的综合运用,利用导数研究函数的单调性、 极值,主要考查运算求解、推理论证和化归转化等能力. 解: (I) f ? ( x ) ?
1 x ?e? 1 ? ex x ? 0 ,得 x ? 1 e

当 x 变化时, f ? ( x ) 与 f ( x ) 变化情况如下表:
x

1 (0, ) e

1 e

1 ( , ?? ) e

f ?( x )
f (x)

+ 单调递增
1 e

0 极大值

- 单调递减 …………(5 分)
? 2 ,∴ a n ? e ( 2 ? 1)
n

∴当 x ?

1 e

时, f ( x ) 取得极大值 f ( ) ? ? 2 ,没有极小值;
1 an ) ? 3 e ,∴ a n ? 1 ? 2 a n ? e , a n ?1 ? e an ? e

(II)∵ a n ? 1 ? 2 f ? (

………… (7 分) 假设数列 { a n } 中存在成等差数列的三项 a r , a s , a t ( r ? s ? t ) ,则 2 a s ? a r ? a t ,
2 e (2 ? 1) ? e (2 ? 1) ? e (2 ? 1), 2
s r t s ?1

? 2 ? 2 ,? 2
r t
t?r

s ? r ?1

?1? 2

t?r

又 s ? r ? 1 ? 0, t ? r ? 0,? 2

s ? r ?1

为 偶 数 ,1 ? 2

为奇数,假设不成立

因此,数列 { a n } 中不存在成等差数列的三项 ( III )( 方 法 1 ) ∵ f ? ( x 0 ) ? k A B , ∴
x 2 ? x1 x0

…………(10 分)
1 x0 ?e? ln x 2 ? ln x1 ? e ( x 2 ? x1 ) x 2 ? x1

,∴

? ln

x2 x1

?0

即 x 0 ln

x2 x1

? ( x 2 ? x1 ) ? 0 ,设 g ( x ) ? x ln

x2 x1

? ( x 2 ? x1 )

第 13 页 共 15 页

g ( x1 ) ? x1 ln

x2 x1

? ( x 2 ? x1 ) , g ( x 1 )

?
x1

? ln

x2 x1

? 0 , g ( x1 ) 是 x 1 的增函数,

∵ x1 ? x 2 ,∴ g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? x 2 ln

x2 x2

? ( x2 ? x2 ) ? 0 ;

g ( x 2 ) ? x 2 ln

x2 x1

? ( x 2 ? x1 ) , g ( x 2 )

?
x2

? ln

x2 x1

? 0 , g ( x 2 ) 是 x 2 的增函数,

∵ x1 ? x 2 ,∴ g ( x 2 ) ? g ( x1 ) ? x1 ln

x1 x1

? ( x1 ? x1 ) ? 0 ,

∴函数 g ( x ) ? x ln

x2 x1

? ( x 2 ? x1 ) 在 ( x1 , x 2 ) 内有零点 x 0 ,

………… (12 分)

又∵

x2 x1

? 1,? ln

x2 x1

? 0 ,函数 g ( x ) ? x ln

x2 x1

? ( x 2 ? x1 ) 在 ( x1 , x 2 ) 是增函数,

∴函数 g ( x ) ? x ln

x2 x1

? ( x 2 ? x1 ) 在 ( x1 , x 2 ) 内有唯一零点 x 0 , 命题成立………… (14 分)

(方法 2)∵ f ? ( x 0 ) ? k A B ,∴

1 x0

?e?

ln x 2 ? ln x1 ? e ( x 2 ? x1 ) x 2 ? x1



即 x 0 ln x 2 ? x 0 ln x1 ? x1 ? x 2 ? 0 , x 0 ? ( x1 , x 2 ) ,且 x 0 唯一 设 g ( x ) ? x ln x 2 ? x ln x1 ? x1 ? x 2 ,则 g ( x1 ) ? x1 ln x 2 ? x1 ln x1 ? x1 ? x 2 , 再设 h ( x ) ? x ln x 2 ? x ln x ? x ? x 2 , 0 ? x ? x 2 ,∴ h ? ( x ) ? ln x 2 ? ln x ? 0 ∴ h ( x ) ? x ln x 2 ? x ln x ? x ? x 2 在 0 ? x ? x 2 是增函数 ∴ g ( x1 ) ? h ( x1 ) ? h ( x 2 ) ? 0 ,同理 g ( x 2 ) ? 0 ∴方程 x ln x 2 ? x ln x1 ? x1 ? x 2 ? 0 在 x 0 ? ( x1 , x 2 ) 有解 ∵一次函数在 ( x1 , x 2 ) g ( x ) ? (ln x 2 ? ln x1 ) x ? x1 ? x 2 是增函数 ∴方程 x ln x 2 ? x ln x1 ? x1 ? x 2 ? 0 在 x 0 ? ( x1 , x 2 ) 有唯一解,命题成立………(14 分) 注:仅用函数单调性说明,没有去证明曲线 C 不存在拐点,不给分。 …………(12 分)

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