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高中数学新课标人教A版必修1课件:1.1.3.1 并集、交集_图文

1.1.3 集合的基本运算 第1课时 并集、交集

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学习目标 1.理解两个集合的并集 与交集的含义,会求两个 简单集合的并集与交集. 2.能使用Venn图表达集 合的关系及运算,体会直 观图示对理解抽象概念的 作用.

特别关注 1.并集概念中的 “或”.(难点) 2.集合的交、并 运算.(重点) 3.数轴或Venn图 在解题中的运用.
2

1.集合A是集合B的子集的含义是:集合A中的 __________ 任何一个 元素都是集合B的元素. A=B 2.若A?B,同时B?A,则A与B的关系是______. 真子集 . 3.空集是任何非空集合的________

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1.并集、交集的概念及表示法

名称 自然语言描述

符号语 言表示

Venn图表示

对于两个给定 集合A、B, 并 所有属于A 由__________ 集 ________ 或属于B 的元 素组成的集合

A∪B= {x|x∈A或 __________ _______ x∈B}

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对于两个给定 集合A、B,由 属于集合A且 交 ____________ 属于集合B的 集 ____________ 所有 ____元素组成 的集合

A∩B= { x|x∈A且 _________ x∈B} _______

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2.并集与交集的运算性质 并集的运算性质 = B∪A A∪B___ 交集的运算性质 = B∩A A∩B___

A∪A=__ A
A∪?=__ A A?B?A∪B=__ B

A∩A=__ A
A∩?=__ ? A A?B?A∩B=__

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1.设集合A={x|x>-1},B={x|-2<x<2},则 A∪B=( ) A.{x|x>-2} B.{x|x>-1} C.{x|-2<x<-1} D.{x|-1<x<2}

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解析: 画出数轴,如下图所示,则A∪B如阴影部 分所示,故选A.

答案:

A

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2.设集合M={1,2,4,8},N={x|x是2的倍数},则 M∩N=( ) A.{2,4} B.{1,2,4} C.{2,4,8} D.{1,2,4,8} 答案: C

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3.已知集合A={x|x2+x=0},B={x|x≥0},则A∩B =________. 解析: A={x|x2+x=0}={0,-1}, ∴A∩B={0,-1}∩{x|x≥0}={0}. 答案: {0}

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4.已知集合A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若A∪B ={1,2,3,5},求x及A∩B.
解析: 由 A∪B={1,2,3,5},B={1,2,x2-1} 得 x2-1=3 或 x2-1=5. 若 x2-1=3 则 x=± 2; 若 x2-1=5,则 x=± 6; 综上,x=± 2 或± 6. 当 x=± 2 时,B={1,2,3},此时 A∩B={1,3}; 当 x=± 6时,B={1,2,5},此时 A∩B={1,5}.

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集合的交集、并集运算

(1) 若集合 A = {x|1≤x≤3} , B = {x|x > 2} ,则 A∩B 等于( ) A.{x|2<x≤3} B.{x|x≥1} C.{x|2≤x<3} D.{x|x>2}

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(2)已知集合 M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5 或 x>5},则 M∪N=( ) A.{x|x<-5 或 x>-3} B.{x|-5<x<5} C.{x|-3<x<5} D.{x|x<-3 或 x>5}

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由题目可获取以下主要信息:①题中两个集 合均为数集;,②分别求交集和并集.,解答本 题可借助数轴直观求解.

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[解题过程] (1)∵A={x|1≤x≤3},B={x|x>2}, ∴A∩B={x|2<x≤3},故选 A.

(2)由题意画出图形.可知 M∪N={x|x<-5 或 x> -3}.故选 A.

答案:

(1)A

(2)A

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[题后感悟] 此类题目首先应看清集合中元素的范 围,简化集合,若是用列举法表示的数集,可以据 交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合 运算的结果;若是用描述法表示的数集,可借助数 轴分析写出结果,此时要注意当端点不在集合中时 ,应用“空心圈”表示.

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1.①若本例(1)中问题改为求A∪B; ②本例(2)中,问题改为求M∩N. 解析: ①由例1中的数轴表示知A∪B={x|x≥1}. 故选B. ②由例1中的数轴表示知M∩N={x|-3<x<5},故 选C. 答案: ①B ②C

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已知集合的交集、并集求参数

已知 A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1 或 x >5},若 A∩B=?,求 a 的取值范围.

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由题目可获取以下主要信息: ①集合B非空; ②集合A不确定,且A∩B=?. 解答本题可分A=?和A≠?两种情况,结合数轴求解.

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[解题过程] 由 A∩B=?, (1)若 A=?, 有 2a>a+3,∴a>3. (2)若 A≠?, 如下图

?2a≥-1 ? ∴?a+3≤5 ? ?2a≤a+3

1 ,解得- ≤a≤2. 2

1 综上所述,a 的取值范围是{a|- ≤a≤2 或 a>3}. 2
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[题后感悟] 出现交集为空集的情形,应首先考 虑集合中有没有空集,即分类讨论.其次,与不 等式有关的集合的交、并运算中,数轴分析法直 观清晰,应重点考虑.

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2.设集合A={x|-1<x<a},B={x|1<x<3}且 A∪B={x|-1<x<3},求a的取值范围.

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解析: 如下图所示, 由A∪B={x|-1<x<3}知1<a≤3.

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3.设集合A={2,-1,x2-x+1},B={2y,-4, x+4},C={-1,7},且A∩B=C,求实数x,y的值 及A∪B. 解析: 由已知A={2,-1,x2-x+1},B={2y, -4,x+4}, C={-1,7}且A∩B=C得: 7∈A,7∈B且-1∈B, ∴在集合A中x2-x+1=7, 解得:x=-2或3. 当x=-2时,在集合B中,x+4=2,
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又 2∈A 故 2∈A∩B=C, 但 2?C,故 x=-2 不合题意,舍去. 当 x=3 时,在集合 B 中,x+4=7, 1 故有 2y=-1,解得 y=- ,经检验满足 A∩B=C. 2 1 综上知,所求 x=3,y=- . 2 此时,A={2,-1,7},B={-1,-4,7}, 故 A∪B={-1,2,-4,7}.

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集合交集、并集的运算性质

已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-x+2m= 0}.若A∩B=B,求m的取值范围. [策略点睛] 欲求a值需求B,而求B需先化简A,又 A∩B=B的含义是什么?即B?A,讨论集合B,列方 程求解.

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[规范作答] 依题设得 A={1,2}. 因为 A∩B=B,所以 B?A.4 分 (1)当 B=?时,方程 x2-x+2m=0 无实数解, 1 因此其判别式 Δ=1-8m<0,即 m> ;6 分 8 2 (2)当 B={1}或 B={2}时, 方程 x -x+2m=0 有相 同的实数解 x=1 或 x=2, 1 因此其判别式 Δ=1-8m=0,解得 m= , 8 1 2 代入方程 x -x+2m=0 解得 x= ,矛盾, 2 1 显然 m= 不符合要求;8 分 8
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(3)当 B={1,2}时, 方程 x2-x+2m=0 有两个不相等的实数解 x =1 或 x=2, 因此 1+2=1,2m=2. 显然第一个等式不成立.10 分 1 所以 m> .12 分 8

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[题后感悟] (1)已知方程解集之间的关系,如何求 有关参数值? ①明确参数满足的条件,需求哪个集合,设为M; ②化简每个集合; ③由集合间的关系求出集合M,或确定某一元素属 于集合M. ④求参数值.

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(2)解决上述问题时需注意什么问题? 求出参数值后,务必代入集合中检验是否满足元素 的互异性及其它条件. (3)常见集合间关系的等价转换 ①? (A∩B)?A∩B≠?,? (A∪B)?A∪B≠?; ②A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A; ③A∩B=??A,B中没有公共元素,且A,B都有可 能为?.

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4.设集合A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},若 A∩B=B,求a的值.

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解析:∵A∩B=B,∴B?A. ∵A={-2}≠?, ∴B=?或 B≠?. 当 B=?时, 方程 ax+1=0 无解,此时 a=0. 当 B≠?时, ? ? ? ? 1 ? 此时 a≠0,则 B=?-a? , ? ? ? 1 ∴-a∈A, 1 1 即有- =-2,得 a= . a 2 1 综上,得 a=0 或 a= . 2

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5.已知集合A={x|-3≤x≤7},B={x|m-1≤x≤2m+ 1},若A∪B=A,求实数m的取值范围.

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解析: ∵A∪B=A, ∴B?A, ①若 B≠?, 如图,

?m-1≥-3 ? ∴?2m+1≤7 ? ?m-1≤2m+1

,∴-2≤m≤3.

②若 B=?,则 m-1>2m+1 ∴m<-2,综上 m≤3.

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1.对并集概念的理解 “x∈A,或x∈B”包含三种情况:“x∈A,但 x?B”;“x∈B,但x?A”;“x∈A,且x∈B”.Venn 图如图.另外,在求两个集合的并集时,它们的公 共元素只出现一次.

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2.对交集概念的理解必须注意 (1)并不是任何两个集合都有公共元素,当集合A与B 没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是A∩B =?.如图. (2)概念中的“所有”两字的含义是,不仅“A∩B中的 任意元素都是A与B的公共元素”,同时“A与B的公 共元素都属于A∩B”. (3)特别地,还有如图所示的三种情形:

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3.集合的交、并运算 (1)对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的“ 交”、“并”定义求解,但要注意集合元素的互异性. (2)对于元素个数无限的集合,进行交、并运算时, 可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点 值取到与否.

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◎设集合A={x∈R|x2+2x+2-p=0},且 A∩{x|x>0}=?,求实数p的取值范围. 【错解】 依题意,方程x2+2x+2-p=0没有实数 解, 因此Δ=22-4(2-p)<0,解得p<1. 所以实数p的取值范围为{p|p<1}.

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【错因】 A∩{x|x>0}=?,表示方程x2+2x+2-p =0没有正实数解,此时等价于方程没有实数解或有 非正实数解,只有正确理解这一集合语言,才能正 确求解.

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【正解】 由题意,若 A=?, 则 Δ=22-4(2-p)<0, 所以 p<1 ① 若 A≠?,设方程有非正实数解 x1,x2, ?Δ≥0 则? (因为 x1+x2=-2<0), ?x1x2≥0
?4p-4≥0 即? ,解得 1≤p≤2 ?2-p≥0

②.

从而满足题意的实数 p 的取值范围是①、②的并集, 即 p≤2, 故实数 p 的取值范围为{p|p≤2}.
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练规范、练技能、练速度
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